Kezdőlap


Cím:	Síkgörbék fonalas szerkesztése 2.
Szerző(k):	Molnár József
Füzet:	1950/május, 117 - 121. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II.

Folyóiratunk előző számában kör, ellipszis, hiperbola fonalas szerkesztéséről volt szó. A következőkben kevésbé ismert görbék fonalas szerkesztéseit fogom tárgyalni. Az ellipszishez hasonlóan felvethetjük azt a kérdést is, hogy milyen görbét alkotnak azok a pontok, melyeknek három adott pontból vett távolságuk összege állandó. Ezt a görbét is könnyen megrajzolhatjuk. Rajztáblánkra rakjunk papirost és szúrjunk az

F_{1}

F_{2}

F_{3}

pontokba rajzszögeket. Ez a három rajzszög legyen a három fókusz. Egy fonal egyik végét rögzítsük

F_{1}

-hez, a másik végére pedig kössünk egy hurkot és abba illesszük be ceruzánkat. A fonal ezen szabad végével megkerüljük az

F_{2}

és

F_{3}

fókuszpontot, ahogyan azt az 1. ábra mutatja. A hurokba helyezett ceruzát úgy mozgatjuk, hogy a fonal mindig megfeszüljön körös-körül. Közben vigyázzunk arra, hogy a fonal az

F_{2} F_{3}

, szakaszon mindig csak egyszeresen szerepeljen. Ezt úgy érhetjük el, hogy amikor a mozgó

P

pont két fókusszal egy egyenesbe esik, a megfelelő fonalat átrakjuk azon a fókuszon, mely a fentiek teljesülését gátolná¹. Az így leírt görbének tetszőleges

P

pontja a három fókuszhoz képest úgy helyezkedik el, hogy az ezektől vett távolságok összege állandó, ez a távolság a fonal hosszánál az

F_{2} F_{3}

, szakasszal rövidebb.

Ha a fonalat jó hosszúra választjuk, akkor a görbe csaknem kör alakú. A fonal hosszát mind kisebbre választva a görbe mind határozottabban eltér a kör alaktól és tojás alakú lesz. Előfordulhat az is, hogy valamelyik fókusz a görbevonalra esik és ekkor a görbének ennél a fókusznál szögpontja van. Tovább rövidítve a fonalat, olyan görbéket is kaphatunk, ahol a görbén kívül is lesz fókuszpont (2. ábra). Általában véve minden lehetséges kombináció előfordulhat, attól kezdve, hogy mind a három fókusz a görbén belül van, egészen addig, hogy mind a három a görbén kívül van (1. és 2. ábra). A fonal hosszát csak addig lehet rövidíteni, míg a görbe folytonosan kisebbedve egy

M

ponttá zsugorodik össze (2. ábra). Ez az

M

pont azzal a tulajdonsággal bír, hogy a három fókuszpont által meghatározott háromszög csúcsaitól vett távolságainak összege a legkisebb.
Megjegyzem még, hogy három fókusz esetén másképpen is rendezhetjük a fonalat (3. ábra). Hasonló eljárással négy- vagy több fókuszú görbéket is rajzolhatunk. Négy és öt fókusz esetére is matat egy-egy alkalmas fonalmenetet a 3. ábra.

3. ábra.

Ezek mintájára tetszőleges számú fókusz esetén is el lehet rendezni a fonalat, több fókusz esetén azonban a fonal többszöri megtörése miatt fellépő súrlódás jelentősen megnehezíti a szerkesztést.

\begin{matrix} * \end{matrix}

Vizsgáljuk most más oldalról egy háromfókuszos görbe tulajdonságait: közelítsük az egyik fókuszt pl.

F_{3}

-t

F_{2}

-höz. Minél közelebb van

F_{3} F_{2}

-höz, annál inkább tojás alakú a görbe. Mikor

F_{3}

összeesik az

F_{2}

-vel, végeredményben csak két fókusz van

F_{1}

és

F_{2}

azonban az

F_{2}

-től vett távolságot kétszer kell tekinteni, vagyis a görbére nézve most a

P F_{1} + 2 P F_{2}

távolságösszeg lesz állandó, jelöljük értékét

k

-val. Úgy szokás mondani, az

F_{2}

fókusznak itt kétszeres súlya van.

4. ábra.

Ez a görbe tehát két különböző súlyú fókusszal rendelkező tojásgörbe; a szakirodalomban Descartes-féle ovális néven ismeretes görbék közé tartozik. Így nevezik általában azokat a görbéket, melyeket a

q_{1} P F_{1} + q_{2} P F_{2} = k

összefüggés jellemez, ahol

q_{1}

és

q_{2}

különböző pozitív számokat,

k

pedig egy állandó értéket jelent.² Ezek a görbék jelentős szerepet töltenek be a fénytanban.
Ha a Descartes-féle ovális fókuszait változatlanul hagyjuk és a fonal hosszát változtatjuk, akkor konfokális Descartes-féle oválisok rajzolunk. Ezek között az oválisok között van olyan, melynek fókusza a görbére esik. Ilyenkor szögpontja van a görbének. Olyan is lehet, melyen kívül esik az egyik fókusz, azonban nincs olyan görbe, melyen mindkét fókusz kívül lenne. Természetesen fonallal nemcsak

q_{1} = 1

és

q_{2} = 2

súllyal, hanem más egész súlyokkal rendelkező Descartes-féle oválist is lehet szerkeszteni.
Nem csak két fókusz, hanem három és több fókusz is szerepelhet különböző súlyokkal. A 3. ábra utolsó fonalmenetéről pl. leolvashatjuk, hogy ott az

F_{1}

fókusz egyszeres súlyú, az

F_{2}

3-szoros és í. t. Így a görbe egyenlete:

P F_{1} + 3 P F_{2} + ... = k

(Írjuk be a hiányzó tagokat!)
Az említett görbék mind olyan görbék, melyen fekvő pontoknak az

F_{1}

F_{2}

F_{3}

...

F_{n}

rögzített pontoktól való távolságaikat adott állandókkal szorozva állandó összeget kapunk, azaz melyekre

\begin{matrix} q_{1} P F_{1} + q_{2} P F_{2} + q_{3} P F_{3} + ... + q_{n} P F_{n} = k, \end{matrix}

ahol

q_{1}

q_{2}

q_{3}

...

q_{n}

és

k

adott állandók. Egy egyenesen fekvő fókuszú ilyen görbék fonalas szerkesztése a XVII. század végén Tschirnhaus hollandi matematikusnál található először.³
Vizsgáljuk meg most, hogy milyen görbéket kapunk, ha pontok helyébe valamilyen görbét teszünk. Keressük azon pontok geometriai helyét, melyek távolságainak összege egy adott ponttól és egy adott körtől véve állandó

(k)

. Ennek fonalas szerkesztése is egyszerű. A kört helyettesíthetjük egy hurokkal (5. ábra).

5. ábra.

A fonal egyik végét kössük az

F_{1}

-hez, a másik végét pedig a hurokhoz. A fonalat feszítsük ki ceruzánkkal és mozgassuk úgy, hogy a. fonal kifeszítve maradjon. Megállapíthatjuk, hogy a görbe vonal, amit kaptunk, egy ellipszis íve. Ugyanis egy tetszőleges

P

pont távolságainak összege

F_{1}

-től és a kör

F_{2}

középpontjától, ha

r

a kör sugara,

k + r

és ez állandó. Ha a fonal hossza nagyobb, mint

F_{1} F_{2} + r

, akkor teljes ellipszist kapunk. Ha azonban a fonal hosszát ennél a távolságnál kisebbre vesszük, akkor az ellipszis csak a körig fut. (Hogy folytatódik onnan?) A szerkesztést elvégezhetjük úgy is, hogy hurok helyett

F_{2}

körül

r

sugárral kört rajzolunk, s az

F_{1}

és

F_{2}

-höz rögzített fonal hosszát

k + r

-nek vesszük, de az ellipszist ekkor csak az előre lerajzolt körig rajzolhatjuk.
Még akkor is meg tudjuk szerkeszteni a görbét, ha egy vagy több fókusz helyébe kör helyett valamilyen más Tschirnhaus-féle görbét teszünk. Például megrajzolhatjuk azon pontok mértani helyét, melyek távolságainak összege egy ponttól és egy Descartes-féle oválistól állandó. Ekkor az oválist a szerkesztéshez föntebb használt fonalmenettel helyettesítjük és a ceruza számára szolgáló hurokhoz, meg az adott ponthoz kötünk adott hosszúságú fonaldarabot.
Aki kíváncsi a keletkező görbékre, rajzolja meg őket. Ez bizonyosan meg fogja könnyíteni a választ az alábbi kérdésekre.

201. A cikkben nem tárgyaltuk meg teljesen azon pontok geometriai helyét, melyek egy ponttól és egy körtől vett távolságainak összege állandó. Adjuk a kérdés teljes tárgyalását, minden lehetőséget figyelembe véve.

202. Adva legyen két ‐

F_{1}

F_{2}

középponttal rendelkező ‐

K_{1}

K_{2}

, kör. Jelöljük egy tetszőleges pont távolságát a két körtől

d_{1}

, ill.

d_{2}

-vel.
Mi a mértani helye azon pontoknak, melyekre

d_{1} : d_{2}

állandó?

¹Ugyanez volt a nehézség ez ellipszis a szerkesztésekor, ha a fonal két vége volt rögzítve.

²Ha a Descartes-féle ovális, két $n = \frac{q_{1}}{q_{2}}$ törésmutatójú anyag érintkezési görbéje, akkor az $F_{1}$ -ből kiinduló sugárnyaláb törés után $F_{2}$ -n megy át. Innen ered ezek fénytani jelentősége és annak magyarázata, hogy $F_{1}$ , $F_{2}$ -t fókusznak nevezik.

³Műve: ,,Medicina mentis''(1695. Leipzig, első kiadás: 1686. Amszterdam). A kutatás módszereit vizsgálva példaképpen használja ezeket a görbéket.