|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A síkgörbék fonalas szerkesztései közül a kör szerkesztése a legrégibb és a legegyszerűbb.
Fogjunk fonalat, ceruzát és rajzszöget. Kössük a fonal egyik végét a rajzszögre és szúrjuk be rajszögünket a rajztáblánkra helyezett papírlapba. A fonal másik végén csináljunk hurkot. Ebbe tegyük bele ceruzánkat. Ceruzánkat mozgassuk úgy, hogy a fonal mindig kifeszüljön. Ekkor ceruzánk kört ír le. Még egyszerűbb, ha a fonalból hurkot csinálunk és ezt rátesszük rajzszögünkre. A hurkot ceruzánk segítségével kifeszítjük. Ceruzánkat úgy mozgassuk, hogy a hurok mindig kifeszüljön!
1. ábra 2. ábra
Ugyancsak egyszerű és rég ismert az ellipszis fonalas szerkesztése is. Fonal segítségével a következőképpen biztosíthatjuk, hogy ceruzánk két ponttól vett távolságának az összege ne változzék meg. Szúrjunk be rajztáblánkra helyezett papírlapba két rajzszöget. Ezekhez kössük egy fonal két végét. A fonal hossza nagyobb legyen, mint a két rajzszög közötti távolság. A fonalat ceruzával feszítsük ki. Ha ceruzánkat úgy mozgatjuk, hogy a fonal mindig feszüljön, akkor ceruzánk ellipszist ír le. Az ellipszisnél is el lehet kerülni a fonal lerögzítését azzal, hogy összekötjük a fonal két végét és az így keletkezett hurkot átvetjük a két rajzszögön.
Bizonyára sokan látták a kör és ellipszis fonalas szerkesztését és hallottak a hiperbola szerkesztéséről is, de valószínűleg kevesen vannak, akik látták is. Ennek az az oka, hogy a hiperbola fonalas szerkesztésére ismert eljárások közös hibája, hogy fonalon kívüli más segédeszköz is kell hozzájuk s így nehézkesek.
A leginkább ismert módszernél fonalon kívül vonalzót is alkalmaznak. Ezzel kapcsolatban sem egyöntetű a kivitelezés. Egy tankönyv ezt ajánlja:
3. ábra
Vastagabb favonalzó egyik sarka közelében fűrészeljünk bevágást (az ábrán ), a másik sarka közelében verjünk szöget , erre hurkoljunk zsinórt, a zsinór szabad vége érjen a vonalzó pontjához. Az szakaszt, amennyivel a zsinór rövidebb a vonalzónál, nevezzük el a szerkesztés alapszakaszának. Most üssünk a rajzlapba két szöget , melyek az alapszakasznál nagyobb távolságra legyenek egymástól. Toljuk rá a vonalzó bevágását az egyik szögre, kössük a zsinór végét a másikra. Ha most úgy rajzolunk görbét, hogy a ceruza a zsinórt a vonalzóhoz nyomja és egyúttal ki is feszíti, a vonalzó pedig forog körül, akkor hiperbolaágat kapunk.
Más tankönyv befűrészelés helyett azt ajánlotta, hogy lukasztott vonalzót akasszunk rá az egyik szegre. Az eljárás egyszerűbb ‐ hiszen nem kell fűrészelnünk ‐ viszont nagyobb hibaforrást okoz. A szerző meg is jegyzi, hogy hozzávetőleg hiperbolaágat ír le.
A hiperbolával kapcsolatban említett mindkét fonalas szerkesztés nehézségekkel jár (alkalmas vonalzó, fonal rögzítése a vonalzóhoz). Talán ez az oka annak, hogy alig akad, aki el is készítené az eszközt.
Akadtak is, akik megkísérelték a hiperbola fonalas szerkesztését egyszerűsíteni. Egy ilyen egyszerűsített eljárás a hiperbola úgynevezett gyűrűs szerkesztése.
4. ábra
Ennél a szerkesztés a következőképen történik: Két rajzszöget szúrunk rajzlapunkba és ezekhez rögzítjük egy fonal két végét. A fonal hossza legyen nagyobb mint a két rajzszög közötti távolság. Az így lerögzített fonalra, gyűrűt húzunk, mely összetartja a két rajzszöghöz futó fonalát. Fogjuk meg bal kezünkkel a gyűrű által keletkezett hurok végét és feszítsük ki. Ugyanakkor ceruzánkat helyezzük el a gyűrűbe és mozgassuk ügyelve arra, hogy a hurok mindig feszesen maradjon és fonalunkon a hurkot mindig ugyanazon a ponton fogjuk. A ceruza hiperbolaívet ír le. Ez a szerkesztési eljárás sem olyan egyszerű azonban mint az ellipszis fonalas szerkesztése, most a gyűrű nehézkessé is teszi a szerkesztést, meg pontatlanná is. Mindjárt látni fogjuk, hogy teljesen fölösleges is a gyűrű. Olyan tisztán fonalas szerkesztést fogok ismertetni, mely egyszerűségben és eleganciában vetélkedik az ellipszis szerkesztésével és teljesen megoldja a hiperbola fonalas szerkesztését.
Szúrjunk papírlapba két rajzszöget és a beszúrt két rajzszögre kössünk egy-egy fonalat. A két rajzszög helyét jelöljük és -vel, a fogott két fonalvéget és -rel. A két fonalat keresztezzük és a fonalak végét bal kezünkkel fogjuk meg. A kereszteződéssel keletkezett hurokba ‐ jelöljük ennek a helyét -vel ‐ helyezzük el ceruzánkat. Feszítsük ki a fonal két végét. Ekkor folytán állandó, egyenlő a két fonal hosszának különbségével. és pontban a fonalakat jól fogva ceruzánkat úgy mozgassuk, hogy , , és szakasz mindig feszüljön. (Természetesen ceruzánk csak úgy tud mozgást végezni, ha bal kezünk is elmozdul). Ceruzánk mozgás közben hiperbolaívet ír le. Hogy mozgás közben és ne mozduljon el egymástól, azt úgy érjük el legkönnyebben, ha a két fonalat és pontban csomóra kötjük és a csomót fogjuk meg, vagy ha mindjárt csak egy, elég hosszú fonalat veszünk és annak két végét rögzítjük és -ben.
5. ábra 6. ábra Ez a szerkesztési eljárás igen közel áll a gyűrűs szerkesztéshez. Annyiban tér el, hogy a fonalak kereszteződésével kiküszöbölődik a gyűrű. Ezzel viszont kettős eredmény született: tisztán fonalas és pontosabb szerkesztés!
Ha a két rajzszög helyét nem változtatjuk és csak a fonalakat más két és pontjukban kötjük össze, akkor az előbbivel közös gyújtópontú hiperbolát kapunk. Az ilyen hiperbolák közül igen érdekes az elfajult eset, mikor , vagyis az szakasz felezőpontja. Ebben az esetben a pont mozgásában egyenesszakaszt ír le. Ez tehát azok közé a szerkesztési eljárások közé tartozik, amely egyenes szerkesztésére az egyenes egyik jellemző tulajdonságát használja fel, mégpedig azt, hogy és két rögzített ponttól mindig egyenlő távolságra van.
Érdekes, hogy olyan műszer, amely az egyenes valamely jellemző tulajdonságát használja fel egyenesszakasz leírására, csak 1864 óta ismeretes. Ez a műszer az inverzor nevű készülék, mellyel a körsorokról szóló cikkben is találkozunk.
Úgy gondolom a cikk tartalmának megértése nem okozott nagyobb nehézséget. Aki megértette miről van szó, az könnyen tud megoldást találni a következő problémákra is:
1. A lukas vonalzóval történő hiperbolaszerkesztésnél valóban csak hozzávetőleg kapunk hiperbolaágat? Határozzuk meg a keletkező görbe egyenletét alkalmasan választott koordináta-rendszerben.
2. Határozzuk meg azon pontok geometriai helyét, amelyek két körtől egyenlő távolságra vannak.
Kárteszi F. ‐ Erdősi J.: A tér megismerése (Bp 1948, 142. o.)Lóky Béla: Geometria a gimnáziumok és reálgimnáziumok VII‐VIII. o. számára és magánhasználatra (Bp. 1930, 125. o.),Lásd pl. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete (Kolozsvár 1943, 71. o.). |
PDF | MathML 
