A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emlékezzünk, azért kezdtünk -nel foglalkozni, mert azt reméltük, ez a szám megérzi, hogy vannak prímszámok és között; vagyis, ha feltételezzük, hogy és között nincs prímszám, akkor prímtényezős felbontásából kisebb érték adódik számára, mint amekkora valójában. Nézzük meg hát most, milyen egyenlőtlenség adódik számára a 9. és 10. feladatok megoldásával bizonyított tételek segítségével.
11. Tegyük fel, hogy és között nincs prímszám. Mutassuk meg, hogy akkor nem lehet nagyobb, mint -nek annyiadik hatványa, ahány prímszám van -ig, megszorozva a -ig terjedő prímszámok szorzatával. Ha az így kapott egyenlőtlenséget sikerül megcáfolni, akkor bebizonyítottuk, lehetetlen, hogy ne legyen és között prímszám. Igen ám, de a kapott egyenlőtlenségben még két ismeretlen valami szerepel: a prímszámok száma -ig és a prímszámok szorzata -ig. Ezekre próbáljunk olyan egyenlőtlenségeket megállapítani, aminek segítségével a 11. feladatban szereplő egyenlőtlenségből egyszerűbb (de még mindig megcáfolható) egyenlőtlenséget kaphatunk.
12. Mutassuk meg, hogy esetén -ig (-et is beleértve, ha prímszám) legfeljebb számú prímszám van. (Az 1 nem számít prímszámnak.) A prímszámok szorzatának vizsgálatára megint a -et vesszük igénybe. Hiszen ez osztható az és közötti prímszámokkal, tehát azok szorzatával is. 13. Mutassuk meg, hogy ha legalább 5, akkor kisebb, mint . 14. Mutassuk meg, hogy ha egyáltalában van és között prímszám, akkor az ilyen prímszámok szorzata kisebb, mint . (Itt az eset kivételével.) 15. Jelöljük -el az számig terjedő prímszámok szorzatát. Mutassuk meg, hogy . 16. Tegyük fel ismét, hogy és között nincs prímszám. Mutassuk meg, hogy akkor nem lehet nagyobb mint feltéve, hogy . |