Cím: Bizonyítsuk be Csebisev tételét 2.
Szerző(k):  Kalmár László 
Füzet: 1950/március, 90 - 91. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emlékezzünk, azért kezdtünk (2nn)-nel foglalkozni, mert azt reméltük, ez a szám megérzi, hogy vannak prímszámok n és 2n között; vagyis, ha feltételezzük, hogy n és 2n között nincs prímszám, akkor (2nn) prímtényezős felbontásából kisebb érték adódik (2nn) számára, mint amekkora valójában. Nézzük meg hát most, milyen egyenlőtlenség adódik (2nn) számára a 9. és 10. feladatok megoldásával bizonyított tételek segítségével.

 

11. Tegyük fel, hogy n és 2n között nincs prímszám. Mutassuk meg, hogy akkor (2nn) nem lehet nagyobb, mint 2n-nek annyiadik hatványa, ahány prímszám van 2n-ig, megszorozva a 2n/3-ig terjedő prímszámok szorzatával.
 

Ha az így kapott egyenlőtlenséget sikerül megcáfolni, akkor bebizonyítottuk, lehetetlen, hogy ne legyen n és 2n között prímszám. Igen ám, de a kapott egyenlőtlenségben még két ismeretlen valami szerepel: a prímszámok száma 2n-ig és a prímszámok szorzata 2n/3-ig. Ezekre próbáljunk olyan egyenlőtlenségeket megállapítani, aminek segítségével a 11. feladatban szereplő egyenlőtlenségből egyszerűbb (de még mindig megcáfolható) egyenlőtlenséget kaphatunk.
 

12. Mutassuk meg, hogy n14 esetén n-ig (n-et is beleértve, ha prímszám) legfeljebb n2-1 számú prímszám van. (Az 1 nem számít prímszámnak.)
 

A prímszámok szorzatának vizsgálatára megint a (2nn)-et vesszük igénybe. Hiszen ez osztható az n és 2n közötti prímszámokkal, tehát azok szorzatával is.
 

13. Mutassuk meg, hogy ha n legalább 5, akkor (2nn) kisebb, mint 4n-1.
 

14. Mutassuk meg, hogy ha egyáltalában van n és 2n között prímszám, akkor az ilyen prímszámok szorzata kisebb, mint 4n-1. (Itt az n=1 eset kivételével.)
 

15. Jelöljük Pn-el az n számig terjedő prímszámok szorzatát. Mutassuk meg, hogy Pn4n.
 

16. Tegyük fel ismét, hogy n és 2n között nincs prímszám.
Mutassuk meg, hogy akkor (2nn) nem lehet nagyobb mint (2n)2n2-142n3 feltéve, hogy n100.