|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nehézsége miatt nem tűztük ki megoldásra, de bizonyára többen kíváncsiak a moszkvai Olimpiászon kitűzött következő feladat megoldására:
Bizonyítsuk be, hogy a alakú számok, alkalmas kitevő mellett tetszőlegesen megadott számjegysorozattal kezdődhetnek.
Megoldás: A tétel azt jelenti, hogy akármilyen egész szám , található olyan egész szám, hogy (egy jegyű szám) éppen -nek valamelyik egész számú hatványával egyenlő. Minthogy egy jegyű szám kisebb -nél, a tétel úgy is megfogalmazható, hogy tetszőleges egész számhoz van olyan és egész szám, hogy A bizonyítandó egyenlőtlenség helyett tekintsük a alapú logaritmusát, vagyis igazoljuk, hogy Ez az egyenlőtlenség azt jelenti, -nek van olyan egész többszöröse, hogy ha -t egy alkalmas egész számmal megnöveljük és -et ugyanannyival, ezek közrefogják. Ebben az értéke nem lényeges, sőt még -ból és -ből is csak annyi a fontos, hogy a legközelebbi egész számtól mennyire vannak. Ugyanis és ugyanazon két szomszédos egész szám közé esik. Ha tehát minden két egész szám közt kijelöljük azt a két számot, mely úgy helyezkedik el köztük, mint és az őket közrefogó egész számok közt, akkor a bizonyítandó állítás azt mondja, hogy egymás utáni többszörösei közt van olyan, amelyik az egyik kijelölt intervallumba esik.
Még áttekinthetőbbé válik a feladat, ha ezeket az intervallumokat egymásra helyezzük. Képzeljük el a számegyenest és rajta kijelölve az egész számokat és az említett intervallumokat. Vegyünk egy egységnyi kerületű kört és képzeljük e köré csavarva a számegyenest. Ekkor az összes egész számok ugyanarra a pontjára esnek a körnek. Nevezzük ezt a továbbiakban -pontnak. Az összes kijelölt intervallumok pedig fedni fogják egymást. Jelöljük közös kezdőpontjukat -gyel, végpontjukat -vel.
A többszöröseit is hasonlóan fel kell gombolyítanunk a körre és azt kell bebizonyítani, hogy az így keletkező végpontok közt lesz olyan, amelyik és közé esik. Az sem lényeges, hogy és hogyan keletkezett, mert az állítás a kör bármely , ívére igaz.
Tovább is egyszerűsíthetjük a feladatot. Ha találunk egy olyan többszöröst, mely a -ponttól kisebb távolságra esik, mint , akkor a kétszer ilyen távolságra, a háromszor ilyen távolságra kerül a körön a -ponttól stb. Ezeket a többszörösöket sorra felrajzolva az egész körön, egynek az , ívre kell esnie, mert két-két pont távolsága feltevés szerint kisebb ennél az ívnél. Ez a meggondolás csak akkor nem volna alkalmazható, ha a -pontba esik, vagyis ha egész. Ez azonban azt jelentené, bogy , azaz amiből , ami lehetetlen, mert a baloldal osztható -tel, a jobb pedig nem. tehát nem racionális szám.
A kívánt tulajdonságú többszörös viszont létezik, ha egyáltalán létezik két olyan többszöröse -nek, melyek a kívánt távolságnál kevesebbre vannak egymástól bárhol a körön. Ha ugyanis és ilyen , akkor mindkettőből ugyanazt a számot levonva ugyanilyen távolságú pontokat kapunk. Vonjunk le -t, kapjuk, hogy a -hoz a kívánt távolságnál közelebb van, tehát -t választhatjuk -nek.
Két ilyen többszörös létezését már könnyű megmutatni. Osszuk a kört -nél kisebb egyenlő részekre, vagyis válasszunk egy egész számot úgy, hogy legyen és osszuk a kört számú egyenlő ívre. Ha találunk -nek két olyan többszörösét, melyek ugyanazon ívre esnek, akkor ezek távolsága kisebb mint , tehát még inkább kisebb -nél. Jelöljük ki a körön sorra a , , , , -nek megfelelő pontokat, akkor kapunk számú pontot. Valamelyik ívre kell legalább pontnak esnie (mindegyik ívhez számítsuk hozzá a kezdőpontját) mert, ha mindegyik íven csak pont volna, ez még összesen legfeljebb számú pont volna. Egy ilyen pontpárnak megfelelő többszörösök legyenek és , ezek tehát kisebb távolságra esnek egymástól, mint .
Mint mondtuk, ekkor a -hoz lesz közelebb, mint és akkor van ennek egy olyan többszöröse; , mely és közé esik a körön.
Ez igaz bármely és -re. Jelentse most és ismét azt a két pontot, melyek olyan messze vannak -tól, mint és az őket megelőző legnagyobb egész számtól. Gombolyítsuk most újra le a számegyenest az egységnyi kerületű körről, vagyis nézzük meg, mit mondanak eredményeink a számok pontos értékét és nem csak az egész számoktól való eltérését nézve. Jelöljük -rel a alatti legnagyobb egész számot, -sel az alatti legnagyobb egészet. , , azaz . Ekkor , mert egész szám, tehát egyenlőségben . Végül , és a fentiekben találtunk olyan -et, melyre , azaz , és értelmét beírva vagyis .
Ha pozitív, akkor ezt a számot választva -nek bizonyítottuk a kívánt egyenlőtlenséget. Ha azonban , akkor óvatosabban kell eljárnunk. Mivel egy határozott szám, csak -nek egy későbbi többszörösét kell keresnünk, mely egy egész számtól eltekintve szintén és közé esik. Ilyet sem nehéz találni. Gyerünk ismét vissza az egységnyi kerületű körre. A megtalált -ből most menjünk tovább. Ismét mérjük fel -t annyiszor egymásután, míg egyszer körüljárják a végpontok a kört. Mivel -nél kisebb lépésekben haladunk eközben, tehát újra kell egy végpontnak és közé esnie. Ha -nek még ez a többszöröse is alatt marad, akkor annyiszor járjuk hasonlóan körül a kört, míg már -nek egy -nál nagyobb többszörösét kapjuk, mely egy egész számtól eltekintve ismét és közé esik. Erre végezve el a fenti meggondolást nyerjük, hogy megoldása a kívánt egyenlőtlenségnek.
Megjegyzés: A bizonyításban csak akkor használtuk fel, hogy -ről van benne szó, amikor megmutattuk, hogy ez irracionális szám. és tetszőleges olyan számok lehettek, melyekre . Amit bizonyítottunk, az tehát minden irracionális számra igaz. Nevezzük egy szám ,,tört részének'' azt a és közé eső számot, mely úgy keletkezik, hogy -ból egy alkalmas egész számot levonunk. Jelöljük ezt -val. Ekkor azt bizonyítottuk be, hogy ha tetszőleges irracionális szám, akkor az , , , számsorozatnak, ha elég hosszan folytatjuk, a , számköz bármely kis részébe is esik eleme. Ezt rövidebben úgy szoktuk mondani, hogy egy irracionális szám többszöröseinek törtrészei mindenütt sűrűen helyezkednek el a , intervallumban. Az állítás biztosan nem igaz racionális számra, mert annak többszöröseit véve, ezek közt van egész szám s onnan a további többszörösök tört része már ismétlődik, tehát összesen csak véges számú különböző értéket vehetnek fel. Így nem is helyezkedhetnek el mindenütt sűrűen a , intervallumban.
A ,,tört rész'' elnevezés helytelen, mert épp az itt bizonyított tétel is irracionális számok ,,tört részéről'' szól, az pedig éppen nem törtszám, hanem irracionális. A kifejezés azonban elterjedt. Jól jegyezzük tehát meg, hogy egy szám tört része egyáltalán nem köteles törtszám lenni, csak és közé eső racionális vagy irracionális számot jelent. |
PDF | MathML