Kezdőlap


Cím:	A 181. feladat egy érdekes megoldása
Szerző(k):	Bíró József
Füzet:	1950/október, 192. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1950/február: 181. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 181. feladat a következő egyenletrendszer megoldását tűzte ki:

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{3} x & + a^{2} y & + a z & + u & = 0, \\ b^{3} x & + b^{2} y & + b z & + u & = 0, \\ c^{3} x & + c^{2} y & + c z & + u & = 0, \\ d^{3} x & + d^{2} y & + d z & + u & = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Ezt az egyenletrendszert úgy is tekinthetjük, hogy az a

\begin{matrix} P (v) = x v^{3} + y v^{2} + z v + u \end{matrix}

harmadfokú polinom együtthatóinak (

x

y

z

u

) meghatározását kívánja, ha ismerjük négy helyen a polinom értékét. Az egyenletrendszer első három egyenlete szerint

P (a) = 0

P (b) = 0

P (c) = 0

, vagyis

a

b

c

nulla helyei a

P (v)

polinomnak, másszóval gyökei a

P (v) = 0

harmadfokú egyenletnek.
Tudjuk, hogyha egy szám egy egyenletnek gyöke, akkor a nullára redukált egyenlet baloldalából kiemelhető az e gyökhöz tartozó gyöktényező. Így ha

a

b

c

különböző számok, akkor polinomunk így alakítható szorzattá:

\begin{matrix} P (v) = x v^{3} + y v^{2} + z v + u = x (v - a) (v - b) (v - c) . \end{matrix}

(1)

Az egyenletrendszer negyedik egyenlete szerint

P (d) = 1

, tehát

P (d) = x (d - a) (d - b) (d - c) = 1

, s innen

\begin{matrix} x = \frac{1}{(d - a) (d - b) (d - c)} . \end{matrix}

Most már könnyen meghatározhatjuk az

y

z

, és

u

gyököket is, ha az (1) azonosság jobboldalát polinommá alakítjuk:

\begin{matrix} x v^{3} + y v^{2} + z v + u = x v^{3} - x (a + b + c) v^{2} + x (a b + b c + c a) v - x a b c . \end{matrix}

Az azonosság fennállása azt jelenti, hogy

v

egyes hatványainak együtthatói a bal- és jobboldalon egyenlők kell, hogy legyenek, tehát

\begin{matrix} y = - x (a + b + c) = - \frac{a + b + c}{(d - a) (d - b) (d - c)}, \\ z = x (a b + b c + c a) = \frac{a b + b c + c a}{(d - a) (d - b) (d - c)}, \\ u = - x a b c = - \frac{a b c}{(d - a) (d - b) (d - c)} . \end{matrix}