Bizonyára mind tudtok már ábrázolni bármilyen komplex számot a számsíkon s arra is rájöttetek, hogy a $z_1$-től $z_2$-höz mutató vektor $z_2-z_1$ (az a vektor, melyet $z_1$-hez hozzáadva, $z_2$-be jutunk); hogy a téglalap többi csúcsa: $-5-2i=z_1$, $5-2i=-z_1$, $5+2i=-z_1$; és hogy a hatszögé meg $\sqrt[]{3}+1/2i$, $\sqrt[]{3}+3/2i$, $2i$, $-\sqrt[]{3}+3/2i$, $-\sqrt[]{3}+1/2i$. A többi kérdésre még nem árulom el a választ, hátha van még, aki töri a fejét, az hadd gondolkodhasson tovább. Most már el is tudjuk valahogy képzelni a komplex számokat, össze is tudjuk adni őket, de szorozni még nem mindig. Ha tiszta képzetes számot szorzunk valóssal, pl. $\left(-5\right)\cdot \left(7i\right)=-35i$ kell, hogy legyen az algebra szerint, de két képzetes számot is össze tudunk szorozni, ha továbbra is úgy számolunk, mint az algebrában eddig: $\left(3i\right)\cdot \left(8i\right)=\left(3\cdot 8\right)\cdot \left(i\cdot i\right)=-24$, mert $i^2=-1$. Speciálisan ki tudjuk számítani $i$ további hatványait. Tudjuk, hogy $i$-nek az a jellemző tulajdonsága, hogy $i^2=-1$. Ennélfogva $i^3=i^2\cdot i=-i$, $i^4=i^2\cdot i^2=1$, $i^5=i^4\cdot i=i$, $i^6=i^4\cdot i^2=-1$, $i^7=i^4\cdot i^3=-i$ és mondjuk pl. $i^{75}={\left(i^4\right)}^{18}\cdot i^3=-i$ kell, hogy legyen.
‐ Hát két tetszőleges komplex szám szorzatán mit értünk? Az algebrától várjuk ismét a megoldást. Próbáljuk meg úgy szorozni őket, ahogy többtagúakat szoktunk:

argz. (Pl. $arg\left(1+i\right)={45}^{\circ }$, $arg\left(7\right)=0$, $arg\left(-2\right)={180}^{\circ }$, stb.) Ekkor a szorzat-vektor irányszöge a tényezők irányszögének összege; abszolút értéke pedig a két tényező abszolút értékének (a két vektor hosszának) szorzata.
Az összeadás geometriai jelentését aránylag könnyű volt leolvasni, ha a számot valós és képzetes részével jellemeztük. A szorzat jellemzésére az irányszög és az abszolút érték bizonyult alkalmasnak. Ez is két olyan adat, mely egyértelműen meghatározza a vektort. Próbáljuk meg ezekkel kifejezni a komplex számot. Legyen egy komplex szám $z=x+yi$, abszolút értéke $r$, irányszöge $\phi$ (37. ábra). Ekkor $x=r\cdot \text{cos}\phi$, $y=r\cdot \text{sin}\phi$ és könnyű látni, hogy ez minden $\phi$-re igaz, nemcsak hegyes szögekre.

 

37. ábra

 

Így $z=r\left(\text{cos}\phi +i\text{sin}\phi \right)$. Most már a szorzás fenti geometriai értelmét is újra vissza tudjuk fordítani az algebra nyelvére. Legyen



Itt a baloldalon kijelölt szorzást másképp is el tudjuk végezni: (2) szerint

$\begin{array}{c}{\displaystyle z\cdot w=rt\left\{\left(\text{cos}\phi \cdot \text{cos}\psi -\text{sin}\phi \cdot \text{sin}\psi \right)+i\left(\text{sin}\phi \text{cos}\psi +\text{cos}\phi \text{sin}\psi \right)\right\}\mathrm{.}}\end{array}$

(2$\text{'}$) jobboldalához viszont úgy jutottunk, hogy a (2) szerint elvégzett szorzásnak kihámoztuk a geometriai jelentését és azt fordítottuk vissza a számok nyelvére. A két eredménynek tehát ugyanazt a komplex számot kell jelentenie. ‐ Még lehet az, hogy ugyanazt a számot jelentik, de más alakban írva, ahogy pl. két különböző alakú tört egyenlő lehet. Azok is két-két számból tevődnek össze, mint a komplex szám valós, meg képzetes részből. ‐ Pl. $\frac{7}{8}=\frac{105}{120}$, anélkül, hogy a számlálójuk, meg a nevezőjük megegyeznék. Komplex számoknál azonban ez sem lehet, mert ha pl. $7+8i=105+120i$ volna, akkor elsőfokú egyenletünk volna $i$-re, amiből (és bármely hasonló összefüggésből) $i$ valósnak adódnék: $i=-\frac{98}{112}=-\frac{7}{8}$, ez pedig lehetetlen. Így a fenti egyenlőségben is külön a valós résznek, külön a képzetes résznek egyenlőnek kell lennie, amiből
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{cos}\left(\phi +\psi \right)=\text{cos}\phi \text{cos}\psi -\text{sin}\phi \text{sin}\psi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(\phi +\psi \right)=\text{sin}\phi \text{cos}\psi +\text{cos}\phi \text{sin}\psi \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$

Így a trigonometriai függvények két jól ismert összefüggésének egy újabb levezetését is kaptuk mellékeredményül. ¹
Speciálisan, ha $w=z$, akkor nyerjük (2$\text{'}$)-ből:

$\begin{array}{c}{\displaystyle z^2=r^2\left(\text{cos}2\phi +i\text{sin}2\phi \right)\mathrm{.}}\end{array}$

Ha ezt még megszorozzuk $z$-vel, $z^3=r^3\left(\text{cos}3\phi +i\text{sin}3\phi \right)$ és ha ezt folytatjuk, általában:

$\begin{array}{c}{\displaystyle z^n=r^n\left(\text{cos}n\phi +i\text{sin}n\phi \right)\mathrm{.}}\end{array}$

(3)

A (2$\text{'}$) és (3) összefüggéseket Moivre-féle formuláknak nevezzük.
Eddig nem esett szó az inverz műveletekről. A kivonáshoz nem is kell sok. Akár (2)-ből, de abból is, hogy egy szám negatívja az a szám, amelyet hozzáadva, 0-t kapunk, következik, hogy $-\left(x+yi\right)=-x-yi$ s így két komplex szám különbsége:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \left(u+vi\right)-\left(x+yi\right)=\left(u-x\right)+\left(v-y\right)i}\end{array}$

(4)

Nehezebb valamivel az osztás kérdése, de arra is megtalálhatjátok a választ. Ha így fogalmazzuk a feladatot: keressünk olyan komplex számot, amellyel egy adott komplex számot (pl. $-2+i$-t) megszorozva, egy másik adott komplex számot kapunk (pl. $3+2i$-t), akkor a szorzás geometriai jelentéséből könnyű megtalálni a választ. De az algebra is útbaigazít, csak az algebra nyelvén kell megfogalmazni a feladatot. Az osztást az algebrában törtekkel jelölhetjük ki: $\frac{u+vi}{x+yi}\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">példánkban</span>}\frac{3+2i}{-2+i}\right)$ és akkor a kérdés az, át lehet-e ezt a törtet alakítani közönséges komplex számmá. Hasonló feladat, mint a gyöktelenítés, ha egy tört nevezőjében négyzetgyökös kifejezés is szerepelt. Olyan komplex számmal kellene ezt a törtet bővíteni, hogy a nevezőből valós szám legyen a bővítés után, tehát, hogy az $i$ első hatványát tartalmazó tag összevonás után ne maradjon. Ilyen van sok is. Egyet különösen könnyű megtalálni. Keressétek meg! Ha megtaláltátok, akkor meg is tanultatok számolni komplex számokkal és itt lesz az alkalom, hogy megpróbáljuk új tudományunkat a geometriában is értékesíteni. Egy kérdést azonban még tisztázni kell. Többször mondtuk azt, hogy valami igaz, ha az új számokkal is úgy lehet számolni, mint az algebrában szokás. Az új műveleteket minden esetre úgy értelmeztük, hogy azt mondtuk, számoljunk továbbra is úgy, mint az algebrában. Pl. szorozzunk két komplex számot úgy, ahogy kéttagú kifejezést kéttagúval szoktunk (de ne felejtsük el azután, hogy $i^2=-1$). De az már nem biztos, hogy igaz ez akkor is, ha a kéttagúak tagjai nem vagy valós, vagy tiszta képzetes számok, hanem mindegyikük egy-egy tetszőleges komplex szám.
Ez viszont kétségbeejtő, mert hiszen az algebrában annyi mindent csináltunk, hogy azt mind végigpróbálni, hogy igaz-e komplex számokra is, az kivihetetlen. Ilyenkor egy reményünk marad: hátha csak sok, de nem lényegesen másmilyen dolog az, amit csináltunk.
A szorzás geometriai jelentését keresve, a kéttagú szorzását kéttagúval két lépésben végeztük el, ami az algebrában mindig megtehető, ilyenformán:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+b\right)\left(c+d\right)=a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)=\left(ac+ad\right)+\left(bc+bd\right)\mathrm{.}}\end{array}$

Itt tehát csak azt kellett tudnunk, hogy kéttagú összeggel hogy szorzunk meg egy számot (tudniillik a $\left(c+d\right)$ összeadás eredményét), azután, hogy hogy szorzunk egy számmal kéttagú összeget (ezt kétszer is alkalmaztuk). Még ezek közül is elég az egyiket tudni, ha a másik helyett csak annyit tudunk, hogy a szorzat tényezői felcserélhetők. Azt is bizonyára legtöbben tudjátok, hogy többtagúak szorzását mindig szét lehet bontani kéttagúak szorzására. Pl. $a\cdot \left(b+c+d\right)=a\left[b+\left(c+d\right)\right]=ab+a\left(c+d\right)=ab+\left(ac+ad\right)=ab+ac+ad$, stb. Nagyon sok számolást megpróbálhatnánk még szétboncolni ilyen egyszerűbb lépésekre, mindig azt találnánk, hogy visszavezethető az összeadás és szorzás következő öt tulajdonságára:
$a+b=b+aa\cdot b=b\cdot a\phantom{\left(bc\right)=\left(ab\right)\cdot c}$ (kommutatív műveletek),
$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+ca\cdot \left(bc\right)=\left(ab\right)\cdot c$ (asszociatív műveletek),
végül $a\left(b+c\right)=ab+ac\phantom{a\cdot \left(bc\right)=\left(ab\right)\cdot c}$ (a szorzás az összeadással szemben disztributív művelet).
Ajánlom, próbáljatok meg néhány algebrai számítást szételemezni ezekre a lépésekre. Lehet, nem mindre fogtok rátalálni, különösen az asszociatív törvényekre nem, de ne felejtsétek el, hogy többtagú összeget, ill. többtényezős szorzatot azért írhatunk zárójelek nélkül, mert úgyis mindegy a végeredmény szempontjából, melyik két tagnál, ill. tényezőnél kezdem a szorzást és hogy folytatom. (Persze, csak a végeredmény szempontjából mindegy, a részletösszegek és a részletszorzatok egészen mások lesznek.) Így több tagot, ill. több tényezőt zárójelek nélkül írni, az már az asszociatív törvény alkalmazása. Hogy ez nem magától értetődő, arra rávilágít a hatványozás példája. Ez már nem asszociatív művelet, pl. ${\left(3^3\right)}^3=3^9=19683$ még nem is nagy szám, de már $3^{\left(3^3\right)}=3^{27}=7\mathrm{,}625\mathrm{,}597\mathrm{,}484\mathrm{,}961$; vagy ${\left(9^9\right)}^9=9^{81}$ egy 76 jegyű szám, két sorban még le lehet írni, $9^{\left(9^9\right)}$, számjegyeivel viszont már egy 740 kötetes könyvtár is megtelnék ².
Így a feladat már egyáltalán nem ijesztő, magatok is utánaszámolhattok, hogy ez az öt tulajdonság igaz marad akkor is, ha $a$, $b$, $c$ komplex számokat jelentenek és a műveleteket köztük úgy végezzük, ahogy azokban megállapodtunk. Lássatok hát ismét munkához. Gyors válaszotokat várom a következőkre:
Mi lesz két konjugált komplex szám szorzata? Mi a geometriai jelentése?
Keressünk olyan komplex számot, mely két komplex szám hányadosával egyenlő. Mi az osztás geometriai jelentése? Hogy nyerhetjük a hányadost algebrai úton?
Keressünk olyan komplex számot, melynek a négyzete $i$. Hány ilyen szám van?
Mely számok köbe $i$? Hát ilyen hány van?
Melyek azok a számok, melyeknek hatodik hatványa 1? Hogy helyezkednek el ezek a számsíkban?
Ha $n$ tetszőleges egész szám és $w$ egy tetszőleges komplex szám, keressünk olyan $z$ számot, melyre $z^n=w$. Hány különböző ilyen számot találhatunk? A további kérdések már nem ilyen sürgősek, így azok már beleszámítanak a pontversenybe is.
7. Legyen $z_1$, $z_2$, $z_3$ a komplex számsík három pontja. Hol feküsznek azok a $z$ pontok, amelyekre:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}:\frac{z-z_1}{z-z_2}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">valós szám?</span>}}\end{array}$

8. Kiszámíthatjuk-e egy tetszőleges komplex szám négyzetgyökét úgy, hogy közben csak valós számokkal végzünk alapműveleteket, vagy gyökvonásokat? Ha igen, hogyan?

---

¹Figyeljük meg azt is, hogy a szokásos meggondolások csak hegyes szögekre adják az eredményt és külön vizsgálják az érvényességét az egyes szögnegyedekben. Itt értelmezhetjük minden negyedre mindjárt a cosinus és sinus függvényeket úgy, hogy egy komplex szám valós, ill. képzetes része osztva az abszolút értékével. S ekkor levezetésünk egyszerre adja az összefüggést bármekkora szögekre. Ha ezeket az összefüggéseket felhasználtuk volna, akkor természetesen sokkal rövidebben célhoz értünk volna. Mégis ez a hosszadalmasabb út elemibb volt, hisz végigjárhatták velünk olyanok is, akik trigonometriáról még nem is hallottak és sokkal tanulságosabb is pl. éppen abban, hogy ezeket a goniometriai azonosságokat is közben újra bebizonyítottuk.

²V. ö. Elemente der Mathematik. III. köt., 20. l.