Kezdőlap


Cím:	1938. A XX. Károly Irén fizikai tanulóverseny tételei
Füzet:	1939/január, 113 - 115. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1$ kg súlyú, $30^{\circ}$ -os hajlásszögű lejtőre $1$ kg-os kockát helyezünk. Hogy a kocka le ne csússzék, cérnával a lejtő felső végéhez ütött szöghöz erősítjük. Ezután a cérnát elégetjük, hogy a kocka lecsúszhassék. Csúszás közben mennyi lesz a lejtőből és kockából álló rendszer súlya? Ha a kocka helyett $1$ kg-os hengert helyezünk a lejtőre, az a cérna elégetése után legurul a lejtőn. Mennyivel könnyebb a rendszer ekkor?

Megoldás.

1^{0}

. A lejtő súlya legyen

Q_{1}

, hajlásszöge

α

, a reáhelyezett kockáé

Q_{2}

. Ha utóbbi nyugalomban van a lejtőn, a két testből álló rendszer súlya

Q_{1} + Q_{2}

. (Párhuzamos erők eredője az erők összegével egyenlő.)

Ha a kocka csúszni kezd (súrlódás nélkül), akkor ezen mozgást a

Q_{2}

-nek a lejtő irányába eső összetevője,

Q_{2} sin α

létesíti és állandóan fenntartja. Ebből pedig az következik, hogy a

Q_{2} sin α

mozgató erőnek a nehézségi erő irányába eső összetevője,

Q_{2} sin α \cdot sin α = Q_{2} sin^{2} α

lefelé mozgat és így nem gyakorol nyomást.¹ A rendszer súlya eszerint

\begin{matrix} Q = Q_{1} + Q_{2} - Q_{2} sin^{2} α = Q_{1} + Q_{2} cos^{2} α . \\ Ha Q_{2} = Q_{1}, akkor Q = Q_{1} (1 + cos^{2} α) * * \\ α = 30^{\circ} esetében cos α = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, Q = Q_{1} (1 + \frac{3}{4}) = 1 \cdot 75 Q_{1} \\ Q_{1} = 1 kg, tehát Q = 1 \cdot 75 kg . \end{matrix}

2^{0}

. Ha kocka helyett

Q_{2}

súlyú hengert helyezünk a lejtőre, akkor

Q_{2} sin α

erő hatása alatt haladó és forgó mozgás jön létre. A forgás tengelye a henger geometriai tengelye. Homogén tömegű henger esetén a forgó henger tengelye szabad tengely, azaz a forgás folytán a henger tengelyére erő nem hat. Vizsgálnunk kell a haladó mozgást, ill. ennek gyorsulását.
Jelölje

m

a henger tömegét,

r

a sugarát,

v

a haladó mozgás sebességét, ha a henger a lejtőn

l

hosszúságú utat tett meg,

ω

a forgó mozgás szögsebességét az

l

hosszúságú út végén és

K

a henger tehetetlenségi nyomatékát tengelyére nézve.
A henger mozgási energiája két részből áll: a haladó mozgás energiája,

\frac{1}{2} m v^{2}

és a forgó mozgás energiája,

\frac{1}{2} K ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m r^{2}

\frac{v^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{4} m v^{2}

.³
Ezen energiák összegét az

m g sin α

erő munkája létesíti, melyet az

l

úton át végzett. Tehát

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4} m v^{2} = m g l sin α \\ \frac{3}{4} v^{2} = g l sin α, v^{2} = \frac{4}{3} g l sin α . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy

v^{2}

értéke az egyenletesen változó mozgás törvénye szerint változik¹ ha ezen mozgás gyorsulása

γ

, akkor

\begin{matrix} v^{2} = \frac{4}{3} g l sin α = 2 γ l és innen γ = \frac{2}{3} g sin α . \end{matrix}

Ennek megfelelőleg az erő:

\frac{2}{3} Q_{2} sin α

.
Ezen erőnek a függőleges irányba eső összetevője lefelé mozgat és így nem gyakorol nyomást a nehézségi erő irányában; ennek nagysága:

\frac{2}{3} Q_{2} sin^{2} α

.
Most tehát a rendszer súlya:

\begin{matrix} Q = Q_{1} + Q_{2} - \frac{2}{3} Q_{2} sin^{2} α . \end{matrix}

α = 30^{\circ}

sin α = \frac{1}{2}

és így

\begin{matrix} Q = Q_{1} + Q_{2} - \frac{1}{6} Q_{2} = Q_{1} + \frac{5}{6} Q_{2} . \\ Ha Q_{1} = Q_{2} = 1 kg, Q = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} kg . \end{matrix}

Kallós István (Vörösmarty Mihály g. VIII. o. Bp. VIII.)

II.

A Nap közepének színképében egy bizonyos vonal hullámhossza

5900

Å

egység. Ez a vonal

0, 04

Å

egységnyi eltolódást mutatott, amikor a színképet a Nap egyenlítőjében a Nap szélétől jövő fény adta. Számítsuk ki ezekből az adatokból, hogy mekkora a Nap egyenlítője egy pontjának kerületi sebessége?

Megoldás. Ha a fény terjedési sebessége

c

és a fényforrás, mely

n

rezgésszámnak megfelelő színű sugarat bocsát ki,

v

sebességgel közeledik a megfigyelő felé, akkor a megfigyelő olyan színű sugarat lát, melynek rezgésszáma

\begin{matrix} n_{1} = n \frac{c}{c - v} ... \end{matrix}

(1)

A Nap széle a közepéhez képest, a tengelye körül való forgása miatt, közeledhetik felénk, ill. távolodhatik tőlünk. Az előbbi képletben tehát

v

a kerületi (lineáris) sebességet jelenti, a Nap egyenlítőjén.
Ha

n

rezgésszám esetén a hullámhossz

λ

, míg

n_{1}

rezgésszámhoz

λ_{1}

hullámhossz tartozik, akkor

\begin{matrix} n = \frac{c}{λ}, n_{1} = \frac{c}{λ_{1}} és így \frac{n}{n_{1}} = \frac{λ_{1}}{λ} ... \end{matrix}

(2)

1)-ből

\frac{n}{n_{1}} = \frac{c - v}{c} = 1 - \frac{v}{c}

; 2) alapján

\frac{λ_{1}}{λ} = 1 - \frac{v}{c}

és innen

v = \frac{λ - λ_{1}}{λ} c ...

(3)
Ha a fényforrás közeledik, a színkép vonala az ibolya felé tolódik, rezgésszáma növekszik, tehát

λ_{1} < λ

.
A megadott értékekkel

\begin{matrix} v - \frac{0, 04}{5900} \cdot 3 \cdot 10^{5} {kmsec}^{- 1} = \frac{12000}{5900} {kmsec}^{- 1} \sim 2, 034 {kmsec}^{- 1} . \end{matrix}

Ha a fényforrás távolodik, akkor a színkép vonalai a vörös felé tolódnak el, rezgésszámuk kisebb, hullámhosszuk nagyobb lesz (

λ_{1} > λ

) és

\begin{matrix} n_{1} = n \frac{c}{c + v}, \frac{n}{n_{1}} = 1 + \frac{v}{c}, \frac{λ_{1}}{λ} = 1 + \frac{v}{c}, v = \frac{λ_{1} - λ}{λ} c . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy ugyanazon értéket kapjuk

v

-re, mint az előbb.

Margulit György (Bolyai g. VIII. o. Bp. V.).

Jegyzet.

1^{0}

. Néhány megoldás Doppler elvét arra az esetre alkalmazta, amidőn a megfigyelő közeledik a fényforráshoz, ill, távolodik tőle. A numerikus eredmény bizonyos pontosságig itt is ugyanaz.

2^{0}

1 Ångström = 0, 1 μ μ = 10^{- 7}

mm. (L. pl. X. évf. 451. fizikai feladatában). Fölösleges a fény terjedési sebességét

Å

egységekre változtatni, mert a

\frac{λ - λ_{1}}{λ}

viszonyban számlálót és nevezőt ugyanazon mértékkel fejeztük ki, tehát e viszony puszta szám.

¹A másik összetevő vízszintes irányban mozgatja a lejtőre helyezett testet.

² $α = 0$ esetében $Q = Q_{1} + Q_{2}$ ; ha $α = 90^{\circ}$ , $Q = Q_{1} .$

³Hasonló feladatok: II. évf. 55. és 62., IV. évf. 148., VIII. évf. 355., IX. évf. 402.

¹ $v^{2}$ arányos a megtett úttal. ( $v_{0} = 0$ )