Kezdőlap


Cím:	A háromszög oldalát arányosan osztó transzverzálisok hajlásszöge
Szerző(k):	Tihanyi Miklós
Füzet:	1938/december, 81 - 83. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszögnek $\bar{A B} = c$ oldalán jelöljük ki az $(A$ , $B)$ , $(C_{1}$ , $C_{2}$ ) harmonikus pontpárokat úgy, hogy $\bar{A C_{1}} : - \bar{B C_{2}} = \bar{A C_{1}} : \bar{B C_{2}} = k_{2} : k_{1}$ , ahol $k_{2}$ és $k_{1}$ megadott pozitív számok.

Húzzuk meg ezután a

C C_{1}

és

C C_{2}

egyeneseket; ezen egyenesek hajlásszögével megegyező

φ = C_{1} C C_{2} ∢

szögét meg tudjuk állapítani a háromszög adataiból és a

k_{2}

k_{1}

arányszámokból. Itt megjegyezzük, hogy

C_{1}

A

és

B

közé,

C_{2}

pedig

B

-től jobbra esik, ha

k_{2} > k_{1}

, ellenkező esetben

C_{2}

pont

A

-tól balra kerül.
A háromszög csúcspontjait derékszögű koordinátáival oldjuk meg:

A (x_{1}, y_{1})

B (x_{2}, y_{2})

C (x_{3}, y_{3})

; ez alapon könnyen felírható a

C_{1}

és

C_{2}

pontok két koordinátája:

\begin{matrix} C_{1} (\frac{k_{2} x_{2} + k_{1} x_{1}}{k_{2} + k_{1}}, \frac{k_{2} y_{2} + k_{1} y}{k_{2} + k_{1}}), C_{2} (\frac{k_{2} x_{2} - k_{1} x_{1}}{k_{2} - k_{1}}, \frac{k_{2} y_{2} - k_{1} y_{1}}{k_{2} - k_{1}}) . \end{matrix}

A két egyenes hajlásszögének tangense kiszámítható

C C_{1}

és

C C_{2}

egyenesek iránytényezőiből.
A

C C_{1}

egyenes iránytényezője

\begin{matrix} m_{1} = (\frac{k_{2} y_{2} + k_{1} y_{1}}{k_{2} + k_{1}} - y_{3}) : (\frac{k_{2} x_{2} + k_{1} x_{1}}{k_{2} + k_{1}} - x_{3}) = \frac{k_{2} (y_{2} - y_{3}) + k_{1} (y_{1} - y_{3})}{k_{2} (x_{2} - x_{3}) + k_{1} (x_{1} - x_{3})} . \end{matrix}

Hasonlóan a

C C_{1}

egyenes iránytényezője

\begin{matrix} m_{2} = \frac{k_{2} (y_{2} - y_{3}) - k_{1} (y_{1} - y_{3})}{k_{2} (x_{2} - x_{3}) - k_{1} (x_{1} - x_{3})} . \end{matrix}

Már most ismeretes, hogy

\begin{matrix} tg φ = \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1} m_{2}} . \end{matrix}

Ily módon némi egyszerűsítés után

\begin{matrix} tg φ = \frac{[k_{2} (x_{2} - x_{3}) + k_{1} (x_{1} - x_{3})] [k_{2} (y_{2} - y_{3}) - k_{1} (y_{1} - y_{3})] - [k_{2} (x_{2} - x_{3}) - k_{1} (x_{1} - x_{3})] [k_{2} (y_{2} - y_{3}) + k_{1} (y_{1} - y_{3})]}{k_{2}^{2} {(x_{2} - x_{3})}^{2} + k_{2}^{2} {(y_{2} - y_{3})}^{2} - k_{1}^{2} {(x_{1} - x_{3})}^{2} - k_{1}^{2} {(y_{1} - y_{3})}^{2}} \end{matrix}

összefüggést nyerjük. Ha a műveleteket elvégezzük és figyelembe vesszük, hogy

a^{2} = {\bar{B C}}^{2} = {(x_{2} - x_{3})}^{2} + {(y_{2} - y_{3})}^{2}

, hasonlóképen

b^{2} = {\bar{A C}}^{2} = {(x_{1} - x_{3})}^{2} + {(y_{1} - y_{3})}^{2}

, akkor a következő egyszerűbb alakot írhatjuk:

\begin{matrix} tg φ = \frac{2 k_{1} k_{2} [(x_{1} - x_{3}) (y_{2} - y_{3}) - (x_{2} - x_{3}) (y_{1} - y_{3})]}{k_{2}^{2} a^{2} - k_{1}^{2} b^{2}}, \end{matrix}

illetőleg

\begin{matrix} tg φ = \frac{2 k_{1} k_{2} [x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2})]}{k_{2}^{2} a^{2} - k_{1}^{2} b^{2}} . \end{matrix}

Ámde ismeretes a háromszög területére vonatkozólag, hogy

\begin{matrix} 2 t = x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}), \end{matrix}

így azután

\begin{matrix} tg φ = \frac{4 k_{1} k_{2} t}{k_{2}^{2} a^{2} - k_{1}^{2} b^{2}} ... \end{matrix}

Vegyünk most szemügyre néhány speciális esetet:
1.

C C_{1}

legyen a háromszög szögfelezője; ekkor

\begin{matrix} A C_{1} : B C_{1} = b : a = k_{2} : k_{1} vagyis k_{2} a = k_{1} b, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} tg φ = \frac{4 k_{1} k_{2} t}{0} = \infty, tehát φ = 90^{\circ} . \end{matrix}

Ezen eredmény a szögfelezőnél jól ismert tulajdonság, hogy t. i. a belső és külső szögfelező merőleges egymásra.
2. Ha

C C_{1}

a háromszög oldalfelezője, akkor

k_{1} = k_{2}

, és a hajlásszögre

tg φ = \frac{4 t}{a^{2} - b^{2}}

képletet nyerjük.
Ha a háromszög még egyenlőszárú, vagyis

a = b

, akkor az oldalfelező egyúttal szögfelező is, és

tg φ = \frac{4 t}{0} = \infty

eredmény értelmében

φ = 90^{\circ}

, amit már a fenti 1) esetnél is láttunk.

C C_{1}

legyen a háromszög magassága, vagyis

C C_{1} = h

; ekkor

A C_{1} : B C_{1} = h cot α : h cot β = k_{2} : k_{1}

; innen

k_{2} = \frac{k_{1} cot α}{cot β}

; ennek helyettesítése után

\begin{matrix} tg φ = \frac{4 t cotg α \cdot cotg β}{a^{2} {cotg}^{2} α - b^{2} {cotg}^{2} β} . \end{matrix}

Ha ezen esetet derékszögű háromszög átfogójára alkalmazzuk, vagyis

γ = 90^{\circ}

α + β = 90^{\circ}

kikötés folytán

a = b \cdot cotg β

és

b = a \cdot cotg α

helyettesítéseket végzünk, akkor a hajlásszögre nézve

\begin{matrix} tg φ = \frac{4 t}{b^{2} - a^{2}} \end{matrix}

A 2. és 3. eset egybevetéséből kitetszik, hogy a derékszögű háromszögben az átfogó oldalfelezőjéhez

\begin{matrix} tg φ_{1} = \frac{4 t}{a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

szerint akkora hajlásszög tartozik, mint a magassághoz, amelyre nézve

\begin{matrix} tg φ_{2} = \frac{4 t}{b^{2} - a^{2}} . \end{matrix}

Az ellenkező előjel azt jelenti, hogy e két egyenlő szög

(φ_{1} = φ_{2})

ellentétes oldalakon jelentkezik. (T. i. ha

a > b

, akkor a magasság talppontjára nézve

(k_{2} < k_{1}!)

. ^{$^{*}$}

Tihanyi Miklós
Esztergom, 1937.

^{$^{*}$}Ha ábránk szerinti

C_{1}

az átfogó felezőpontja, akkor a

B C C_{1} △

egyenlőszárú háromszög

(C C_{1} = B C_{1} = \frac{A B}{2}) B C

alapján fekvő szögek egyenlők,

(= β)

. Minthogy

C C_{2} ∥ A B

, a

B C C_{2} ∢ = β

, tehát

φ = 2 β

. Valóban

\begin{matrix} tg 2 β = \frac{2 tg β}{1 - {tg}^{2} β} = 2 \frac{b}{a} : (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}) = \frac{2 a b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{4 t}{a^{2} - b^{2}} . \end{matrix}

Állítsunk már most

C C_{1}

-re merőlegest. Akkor ez az

A B

-t

C_{2}

pontban metszi úgy, hogy, ha

C_{1}

C

-ből vont magasság talppontja,

\begin{matrix} A C'_{1} : B C'_{1} = A C'_{2} : B C'_{2} . \end{matrix}

Ugyanis

\begin{matrix} A C'_{1} = b cos α, B C'_{1} = a cos β; \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} A C'_{2} = C_{1} C'_{2} - C_{1} A = \frac{C C_{1}}{cos 2 β} - C_{1} A = \frac{c}{2 cos β} - \frac{c}{2} = \frac{c}{2} \frac{1 - cos β}{cos 2 β}, \\ B C'_{2} = C_{1} C'_{2} + B C_{1} = \frac{c}{2 cos β} + \frac{c}{2} = \frac{c}{2} \cdot \frac{1 + cos 2 β}{cos 2 β} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \frac{A C'_{2}}{B C'_{2}} = \frac{1 - cos 2 β}{1 + cos 2 β} = \frac{2 sin^{2} β}{2 cos^{2} β} = {tg}^{2} β . \end{matrix}

Minthogy

C C'_{2} ⊥ C C_{1}

és

C_{1} C C'_{1} ∢ = 90^{\circ} - 2 β

, azért

C' C C'_{2} ∢ = 2 β

. Más szóval:

C A

felezi a

C'_{1} C C'_{2}

szöget.