Kezdőlap


Cím:	A számtani és harmonikus átlagolás egybevetése
Szerző(k):	Dr. Goldziher Károly
Füzet:	1939/május, 194 - 197. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A ,,ravasz'' kérdések sorából ismeretes a következő átlagolási feladat: A jármű odafelé $t_{1}$ idő alatt $v_{1}$ sebességgel, ugyanazon úton $(s_{2} = s_{1} = s)$ , visszafelé $t_{2} \neq t_{1}$ idő alatt $v_{2}$ sebességgel haladt; mekkora volt a teljes útra vonatkoztatott átlagos sebessége $(v)$ ?
A megoldás algebrai lépései a következők:

\begin{matrix} 2 s = v (t_{1} + t_{2}), \\ v = \frac{2 s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{2 s}{\frac{s}{v_{1}} + \frac{s}{v_{2}}} = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}} . \end{matrix}

Szokásos alakban:

\begin{matrix} \frac{1}{v} = \frac{1}{2} (\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}) . \end{matrix}

Az átlagos sebességet tehát az utak egyenlősége esetén a harmonikus középpel számítjuk. ¹
A kérdés ,,ravaszsága'', hogy a felelet nem a köztudatban jobban ismert számtani, hanem az annál kisebb harmonikus átlagot jelöli meg. A számtani átlaghoz a tartamok egyenlősége esetében jutnánk; ugyanis, ha

t_{2} = t_{1} = t

és

s_{2} \neq s_{1}

, akkor

\begin{matrix} s_{1} + s_{2} = 2 v t \\ v = \frac{s_{1} + s_{2}}{2 t} = \frac{t (v_{1} + v_{2})}{2 t} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} . \end{matrix}

A feladat háttere így jellemezhető: Ha a vizsgált mennyiség részleges függése az átlagolás változójával (vagyis a többi változót egyenlőnek tekintve) egyenes arányosságú, úgy az átlagot a számtani középpel, ha fordított arányosságú, úgy a harmonikus középpel számítjuk.
A mechanika és a fizika egyéb területeiről számos idetartozó példát említhetnénk, lévén a legtöbb alapjelenség legegyszerűbb értelmezése illetőleg leírása ugyanezzel a függvénytani háttérrel jellemezhető.
A gazdasági számadások köréből a következő analog megépítésű ‐ a gyakorlatban könnyen elvéthető ‐ szabályra utalunk: A mennyiségek egységére vonatkozó egységárak (pl. 1 kg hány pengő) átlagát a számtani középpel, míg az értékek egységére vonatkoztatott egységárak (pl. 1 pengőért hány darab) átlagát a harmonikus középpel kell számba vennünk.
A bemutatott példa ‐ mely kettőnél több adat esetére közvetlenül kiterjeszthető ‐ óvatosságra inti a gyakorlati számvetőt, ha nyomatékosan utalunk arra, hogy különböző adatok harmonikus átlagolása kisebb értékhez vezet, mint azoknak számtani átlagolása. Két különböző adat

(a_{1} \neq a_{2})

esetében ez legegyszerűbben így igazolható: Abból, hogy

{(a_{1} - a_{2})}^{2} > 0

, következik az

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} > 2 a_{1} a_{2} \end{matrix}

alapvető elemi egyenlőtlenség, mellyel a számtani és a harmonikus közepek viszonyára

(\frac{A}{H})

megállapítható, hogy

\begin{matrix} \frac{A}{H} = \frac{{(a_{1} + a_{2})}^{2}}{4 a_{1} a_{2}} = \frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 a_{1} a_{2}}{4 a_{1} a_{2}} > 1. \end{matrix}

Következő fejtegetésünk célja, hogy ezt a tételt a gyakorlati alkalmazások szempontjából legáltalánosabb alakjában algebrailag igazoljuk.
2. A számtani (aritmetikai vagy egyenes arányosságú) átlagolások általános gyakorlati értelmezése a következő képlettel történik:

\begin{matrix} A = \frac{g_{1} a_{1} + g_{2} a_{2} + ... + g_{n} a_{n}}{g_{1} + g_{2} + ... + g_{n}}, \end{matrix}

amelyben

a_{1} \neq a_{2} \neq ... \neq a_{n}

n

különböző pozitív adat és

g_{1}, g_{2}, ... g_{n}

az adatok megosztását jellemző gyakoriságok (tehát pozitívek; a mechanikából vett analogiával súlyoknak is neveztetnek). Az általános (összetett, mérlegelt) átlag az egyszerű átlag alakját ölti, ha a gyakoriságok egyenlők (vagyis 1-nek vehetők).
A harmonikus (fordított arányosságú) átlagolásnak megfelelő képlete a következő:

\begin{matrix} \frac{1}{H} = \frac{1}{g_{1} + g_{2} + ... + g_{n}} (\frac{g_{1}}{a_{1}} + \frac{g_{2}}{a_{2}} + ... + \frac{g_{n}}{a_{n}}) . \end{matrix}

(Az így értelmezett egyszerű átlagokat középértékeknek (közepeknek) mondjuk, ha nem tekintünk a gyakorlati háttérre és az ilyen formális tárgyalásnál az elemek egyenlőségének esete a középértékek egybevetésénél az egyenlőség jelét involválja.)
3. Igazolandó általános tételünk az elmondottak alapján, hogy különböző

a

-k esetében

\begin{matrix} \frac{A}{H} > 1. \end{matrix}

Már az elemi algebrából ismeretes, hogy két különböző pozitív szám mértani közepe nagyobb a harmonikus és kisebb az aritmetikai középnél.

(H < G < A)

. Ennek a híres és sokat alkalmazott tételnek kettőnél több különböző pozitív szám esetére történő elemi kiterjesztése Cauchy nagy francia matematikusnak (1789‐1857.) nevéhez fűződik és megtalálható a Kürschák: ,,Matematikai Versenytételek'' című gyűjtemény 103‐104. oldalán. Cauchy klasszikus bizonyításának magja az

\begin{matrix} a_{1} a_{2} < {(\frac{a_{1} + a_{2}}{2})}^{2} \end{matrix}

alapegyenlőtlenség kiterjesztése akárhány egymástól különböző elemre. ²
A gyakorlati alkalmazások szempontjából hasznosnak véljük, hogy az általános

A > H

-tételnek direkt, a mértani közép elkerülésével történő, igazolását bemutassuk; ennek érdekessége abban is van, hogy nem valamely elemi egyenlőtlenségnek fokozatos továbbszerkesztéséről van szó, hanem a tárgyalás teljes folyamán a két különböző elem esetére már említett

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} > 2 a_{1} a_{2} \end{matrix}

elemi egyenlőtlenség egyszerű számításszerű alkalmazásával érhetjük be. Eljárásunkat mindjárt a 2. pontban tárgyalt legáltalánosabb gyakorlati felvételre, vagyis az ,,összetett átlagokra'' részletezzük. ³
Jelöléseink legyenek:

P

: az

a_{1} a_{2} ... a_{n}

szorzat

P^{(i)}

: a

P

-szorzat, ha elhagyjuk az

a_{i}

tényezőt; ilyen van

n

-számú.

P^{(i, k)}

: a

P

szorzat, ha elhagyjuk az

a_{i}

és az

a_{k}

tényezőt; ilyen van

(\binom{n}{2}) = \frac{n^{2} - n}{2}

számú.
E jelölésekkel írhatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{H} = \frac{1}{g_{1} + g_{2} + ... + g_{n}} (\frac{g_{1} P^{(1)} + g_{2} P^{(2)} + ... + g_{n} P^{(n)}}{P}), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{A}{H} = \frac{1}{{(g_{1} + g_{2} + ... + g_{n})}^{2} P} (g_{1} a_{1} + g_{2} a_{2} + ... + g_{n} a_{n}) (g_{1} P^{(1)} + g_{2} P^{(2)} + ... + g_{n} P^{(n)}) . \end{matrix}

A jobboldalon álló többtagú szorzatos kifejezés a művelet elvégzése után

n^{2}

számú tagot szolgáltat; ezek kétfélék:
a)

g_{i}^{2} a_{i} P^{(i)} = g_{i}^{2} P

-alakúak, ilyen van

n

-számú,
b)

g_{i} g_{k} \cdot a_{i} P^{(k)} = g_{i} g_{k} a_{i}^{2} P^{(i, k)}

-alakúak, ilyen van

n^{2} - n

-számú.

A b)-féle tagok kettesével

(i, k)

összevonhatók, amiáltal

\frac{n^{2} - n}{2}

-számú következő alakú és nagyságú tagot nyerünk:

\begin{matrix} g_{i} g_{k} P^{(i, k)} (a_{i}^{2} + a_{k}^{2}) > 2 g_{i} g_{k} a_{i} a_{k} P^{(i, k)} = 2 g_{i} g_{k} \cdot P . \end{matrix}

Itt látjuk a két különböző elemre vonatkozó

a_{i}^{2} + a_{k}^{2} > 2 a_{i} a_{k}

elemi egyenlőtlenségnek egyszerű alkalmazását. A b)-féle tagok összegezésével nyert kifejezés tehát nagyobb, mint

2 [g_{i} g_{k}] \cdot P

, ahol a szögletes zárójel arra utasít, hogy a

g

-kből szerkeszthető összes különböző kéttényezős szorzatok összegét kell képeznünk.
Az a) és b)-féle tagok összefoglalásával végül megállapítható, hogy

\begin{matrix} \frac{A}{H} > \frac{1}{{(g_{1} + g_{2} + ... + g_{n})}^{2} \cdot P} (g_{1}^{2} + g_{2}^{2} + ... + g_{n}^{2} + 2 [g_{i} g_{k}]) \cdot P = 1, \end{matrix}

ami igazolandó volt.

Dr. Goldziher Károly

¹L. a 601. fizikai feladatot XIII. évfolyamunkban ‐ 1937/2 ‐, a 194. oldalon. (Szerk.)

²Cauchy bizonyítása az $A > G$ esetre vonatkozik és hasonló módon végezhető a $G > H$ esetre; így az $A > H$ tétel is benne foglaltatik. ‐ Érdemes megemlíteni, hogy az általános egyenlőtlenségek a polinomiális tétel jobboldali kifejezésének megbecsüléséből közvetlenül adódnak.

³Az olvasóra bízzuk, hogy az általános tárgyalás lépéseit az $n = 3, 4$ esetben részletesen kövesse.