Kezdőlap


Cím:	1937. A XIX. Károly Irén fizikai tanulóverseny tételei - 2.
Füzet:	1938/január, 134 - 137. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 631. fizika feladat, 1937/november: 632. fizika feladat, 1937/november: 633. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

631. Állandó feszültségű áramforrás sarkait síksűrítő fegyverzeteivel kötjük össze. Ha a sűrítő fegyverzetei, melyek között levegő van, közelebb jutnak egymáshoz, a sűrítő töltésének energiája megnagyobbodik.
a) Közelítéskor mennyivel növekszik a sűrítő energiája és mennyi energiát ad le eközben az áramforrás?
b) Mennyivel változik a sűrítő energiája, ha a fegyverzetek akkor közelednek, miután az áramforrással való összeköttetésük már megszakadt?

Megoldás. Jelölje

V

az áramforrás állandó feszültségét, ill. a sarkaival összekötött sűrítő fegyverzetek potenciálkülönbségét, továbbá

C_{1}

ill.

C_{2}

a sűrítő kapacitását a fegyverzetek közeledése előtt, ill. után,

E_{1}

, ill.

E_{2}

a sűríti energiáját,

e_{1}

ill.

e_{2}

a sűrítő töltését,

d_{1}

, ill.

d_{2}

a fegyverzetek távolságát az első, ill. a második helyzetben, végül

F

a fegyverzet felületét.
A sűrítő energiája:

E = \frac{1}{2} V e = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \frac{e^{2}}{C}

és

C = \frac{F}{4 π d}

.
a) Közeledés előtt

E_{1} = \frac{1}{2} C_{1} V^{2}

. Ha a fegyverzetek közeledése közben az áramforrás sarkaival való összekötés megmarad, akkor közeledés közben a fegyverzetek potenciálkülönbsége állandó marad, csak a kapacitás változik és így

E_{2} = \frac{1}{2} C_{2} V^{2}

. Minthogy

d_{2} < d_{1}

, azért

C_{2} > C_{1}

, tehát

E_{2} > E_{1}

; a sűrítő (helyzeti) energiája növekszik és ezen növekedés

\begin{matrix} E_{2} - E_{1} = \frac{1}{2} V^{2} (C_{2} - C_{1}) = \frac{F V^{2}}{8 π} (\frac{1}{d_{2}} - \frac{1}{d_{1}}) > 0. \end{matrix}

Az áramforrás által leadott energia eközben^{$^{*}$}

\begin{matrix} W = V i t = V (e_{2} - e_{1}) = V (C_{2} V - C_{1} V) = V^{2} (C_{2} - C_{1}), \end{matrix}

azaz az áramforrás által leadott energia a sűrítő energia növekedésének kétszerese.
b) Ha az áramforrással való összeköttetést megszüntetve, közelednek egymáshoz a sűrítő fegyverzetei, akkor a fegyverzetek potenciálkülönbsége csökken, az elektromos töltés marad ugyanaz,

e_{1} = e_{2} = e

(a kapacitás növekszik). Most az

E = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2}}{C}

kifejezésből következik, hogy

E

csökken:

\begin{matrix} E_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2}}{C_{1}}, E_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2}}{C_{2}}, E_{2} - E_{1} = \frac{1}{2} e^{2} (\frac{1}{C_{2}} - \frac{1}{C_{1}}), \\ E_{2} - E_{1} = \frac{1}{2} e^{2} (\frac{4 π d_{2}}{F} - \frac{4 π d_{1}}{F}) = \frac{2 π e^{2}}{F} (d_{2} - d_{1}) < 0. \end{matrix}

Kiegészítés. Láttuk, hogy az a) esetben az áramforrás akkora energiát ad le, amekkora a sűrítő energianövekedésének kétszerese. Az áramforrás által leadott energia fele a sűrítő energianövekedésére szolgál, a másik fele azonban munkavégzésre; ezen munka a fegyverzetek közeledése közben végeztetik, a fegyverzetek közötti elektromos erő által.
Síksűrítő fegyverzetei közötti vonzó erő:

p = \frac{2 π e^{2}}{F}

.^{$^{*}$}
Ha a fegyverzetek közti távolság tetszőleges helyzetben

x

, akkor

\begin{matrix} e = C V = \frac{F}{4 π x} V és \frac{2 π e^{2}}{F} = \frac{2 π}{r} \cdot \frac{F^{2} V^{2}}{16 π x^{2}} = \frac{F V^{2}}{8 π} \cdot \frac{1}{x^{2}} . \end{matrix}

Ha az

x

távolság

d_{1}

-ről

d_{2}

-re csökken, az elektromos erő által végzett munka

\begin{matrix} L = - \int_{d_{1}}^{d_{2}} \frac{F V^{2}}{8 π} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x = - \frac{F V^{2}}{8 π} \int_{d_{1}}^{d_{2}} \frac{d_{x}}{x^{2}} = \frac{F V^{2}}{8 π} {[- \frac{1}{x}]}_{d_{1}}^{d_{2}} \\ L = \frac{F V^{2}}{8 π} (\frac{1}{d_{2}} - \frac{1}{d_{1}}) . \end{matrix}

Ezen

L

munka megegyezik az a) alatti

E_{2} - E_{1}

értékével!
A b) esetben a sűrítő energia csökkenése munkavégzésre fordíttatik; ugyanis ezen munka most

\begin{matrix} L' = \frac{2 π e^{2}}{F} (d_{1} - d_{2}) = - (E_{2} - E_{1}) . \end{matrix}

A beérkezett megoldások az a) alatti kérdés második részére nem adnak kielégítő választ.

632. Mekkora a tömege

1 m^{3}

vízgőzt tartalmazó levegőnek

25^{\circ} C

-on és

755 mm

nyomáson, ha a vízgőz nyomása

18 mm

? Egy

m^{3}

normális állapotú száraz levegő tömege

1,293 kg

és a gőznek az ugyanolyan állapotjelzőkkel bíró levegőre vonatkoztatott sűrűsége

0,62

Megoldás. Az 1

m^{3}

térfogatú nedves levegő tömege két részből: a száraz levegő és a vízgőz tömegéből áll.
A száraz levegő állapotjelzői:

t = 25^{\circ}

v_{t} = 1 m^{3}

p_{t} = 755 - 18 = 737

.
Ezen levegő tömege:^{$^{*}$}

\begin{matrix} m_{l} = v_{0} s_{0} = \frac{v_{0} p_{t}}{p_{0} (1 + α t)} s_{0} = \frac{1 \cdot 737 \cdot 1,293 \cdot 273}{760 \cdot 298} . \end{matrix}

A vízgőz állapotjelzői:

t = 25^{\circ}

v_{t} = 1 m^{3}

p'_{t} = 18

. A vízgőz tömege

\begin{matrix} m_{g} = v_{0} s'_{0} = \frac{v_{0} p'_{t} s'_{0}}{p_{0} (1 + α t)} = \frac{1 \cdot 18 \cdot 1,293 \cdot 0,62 \cdot 273}{760 \cdot 298} . \end{matrix}

A nedves levegő tömege

\begin{matrix} m = m_{l} + m_{g} = \frac{1,293 \cdot 273}{760 \cdot 298} (737 + 18 \cdot 0,62) = \frac{1,293 \cdot 273 \cdot 748,16}{760 \cdot 298} . \end{matrix}

\begin{matrix} m = 1,166 kg . \end{matrix}

Than Károly (Kegyesrendi g. VIII. o. Bp.)

III.

633. Acélhuzalon függő homogén fémhenger torzió lengéseket végez. Hogyan változik a lengési idő?
a) ha a henger mindkét mérete kétszer akkora lesz?
b) ha a huzal két mérete lesz kétszer akkora?
c) ha mindkettőnek a méretei kétszer akkorák lesznek?

Megoldás. Az egyszerű torziós lengési idő

\begin{matrix} t = π \sqrt[]{\frac{K}{τ}}, \end{matrix}

ahol

K

az inga tehetetlenségi nyomatéka és

τ

az acélhuzal torziós momentuma.
Ha a fémhenger tengelye függőleges, akkor

K = \frac{M R^{2}}{2}

, ahol

M

a henger tömege és

R

a henger sugara. Továbbá

τ = \frac{r^{4}}{k l}

, ahol

r

az acélhuzal sugara,

l

a hossza és

k

a huzal torzióját jellemző állandó.
a) Ha a henger méretei kétszeresek lesznek, akkor tömege 8-szor, sugarának négyzete 4-szer és így a tehetetlenségi nyomatéka

8 \times 4 = 32

-szer lesz nagyobb, míg

τ

ugyanakkora marad. Így a lengésidő

\sqrt[]{32} = 4 \sqrt[]{2}

-ször nagyobb:

t_{1} = 4 \sqrt[]{2} t \sim 6,559 t

.
b) Ha a huzal méretei lesznek kétszerakkorák, akkor

τ

számlálója

2^{4}

-szer, nevezője 2-szer és így

τ

maga

2^{3} = 8

-szor nagyobb. A lengési idő

\sqrt[]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[]{2}}{4}

-szerese lesz az eredetinek:

t_{2} = \frac{\sqrt[]{2}}{4} t \sim 0,3535 t

.
c) Ha úgy a huzal, mint a henger méretei kétszereződnek, akkor a lengésidő kifejezésében, a négyzetgyök alatti tört számlálója 32, nevezője 8-szor, maga a tört 4-szer és így a négyzetgyök értéke 2-szer lesz nagyobb:

t_{3} = 2 t

Ugyanezen eredményre jutunk, ha a henger tengelye vízszintes.

Gállik István (premontrei g. VIII. o. Gödöllő.)

^{$^{*}$}

i

az áram intenzitását jelenti,

i t

az elektromos töltés, amelyet a közeledés

t

ideje alatt a fegyverzetek kapnak, tehát a töltés növekedését jelenti és ez

e_{2} - e_{1}

^{$^{*}$}L. Roiti: A fizika elemei II. k. 374. o.

^{$^{*}$} $s_{0}$ az 1 $m^{3}$ normális állapotú levegő tömege. Az 1 $m^{3}$ ugyanilyen állapotú vízgőz tömege $s'_{0} = 0,62 s_{0}$ .