Cím: Néhány szélsőérték tulajdonságú sokszög az ellipszisnél
Szerző(k):  Adler Ernő 
Füzet: 1938/április, 225 - 227. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Folyóiratunk XIII. évfolyamának 8. számában a ,,Sokszögekre vonatkozó szélsőérték feladatokról'' című közlemény bizonyos ‐ zárt konvex görbékkel kapcsolatos ‐ szélsőérték tulajdonságú sokszögekkel foglalkozik.
Bebizonyítja, hogy:
1. A zárt konvex görbébe írható maximális területű n-szögre fennáll, hogy a görbéhez bármelyik csúcspontjában húzott érintő párhuzamos a két szomszédos csúcsponton átfektetett szelővel.
2. A zárt konvex görbe körül írható minimális területű n-szög bármely oldalát az érintési pont felezi.
3. A zárt konvex görbét területileg legjobban megközelítő n-szög minden oldalát saját felezőpontja és a görbével való két metszéspontja négy egyenlő részre osztja.
Ezen háromféle extrém sokszöget azonban a fenti egy-egy tulajdonságuk nem határozza meg, azaz a fenti feltételek tetszésszerinti zárt konvex görbe esetén szükségesek, de nem elégségesek. Azonban kör esetében elégségesek is.
A következőkben bebizonyítjuk, hogy ezen szükséges feltételek ellipszis esetén is elégségesek.
A) Meghatározandó az ellipszisbe írható legnagyobb területű n-szög.
Először megrajzoljuk a főkört és megszerkesztjük a főkörbe írható szabályos n-szöget. Ezen n-szög affin megfelelője lesz az ellipszisbe írható legnagyobb területű n szög. (Az affinitásról részletesen I. XI. évfolyamunk 241. o.) Ilyen n szög azonban végtelen sok van. Ugyanis a körbe írt szabályos n-szög elforgatható és minden helyzetében megszerkeszthetjük az affin megfelelőjét.
a) Ezen n-szögek és csakis ezek mindegyike tesz eleget az 1. szükséges feltételnek. Ugyanis a körbe írt szabályos sokszög egyik csúcsában húzott érintő, az e egyenes párhuzamos a szomszédos csúcsokat összekötő f egyenessel (1. ábra); tehát e' és f', az affin megfelelőjük is párhozamosak.
b) Ezen n-szögek területe egyenlő és nagyobb területű n-szög nem írható az ellipszisbe.

 
 
1. ábra
 

Bontsunk ugyanis fel egy ilyen n-szöget trapézekre az 1. ábrán látható módon.(A körbe írható szabályos n-szög csúcspontjaiból bocsássunk merőlegest a nagy tengelyre). Akkor bármely két megfelelő trapéz területének viszonya, pl.:
AA''BB''A'A''B'B''=A''B''2(AA''+BB'')A''B''2(A'A''+B'B'')=ab,
ahol a az ellipszis fél nagy tengelyét, b a fél kis tengelyét jelenti.
Ezért a trapézek összegére, azaz az (ABC...) és (A'B'C'...) n-szögre is fennáll, hogy:
TnkTne=ab,

ahol Tnk a körbe írt n-szög, Tne pedig ez ellipszisbe írható megfelelő n-szög területét jelenti. Mivel ab és Tnk állandók, tehát:
Tne=Tnkab...(*)
szintén állandó.
Nagyobb területű n-szög nem írható az ellipszisbe, mert különben az I. alapján a körbe is lehetne a szabályos n-szögnél nagyobb területű n szöget írni, már pedig a körbe írható n-szögek közül a szabályos n-szög területe a legnagyobb.
Az 1. szükséges feltétel ellipszis esetén tehát elégséges is.
B) Meghatározandó az ellipszis köré írható legkisebb területű n-szög.
Az ellipszis köré írható legkisebb területű n szög a főkör köré írt szabályos n-szög affin megfelelője.
a) Csakis ezekre nézve áll fenn, hogy az érintési pont az oldalakat felezi. Ugyanis kör esetén ilyen tulajdonsággal csak a köré írható szabályos n-szög rendelkezik. Tehát csak ennek affin megfelelője rendelkezik szintén ilyen tulajdonsággal. (L. a 2. ábrán).
 
 
2. ábra
 

b) Ilyen n-szög, a kör köré írható szabályos n szög helyzete szerint, az ellipszisnél is végtelen sok van. Ezek területe azonban egyenlő és ezeknél kisebb területű n-szög nem írható az ellipszis köré. Ugyanis az előbbi esetben analóg módon látható, hogy:
Tne'=Tnk'ba...(*)
ahol Tne' és Tnk' most az ellipszis, illetve a kör köré írható n-szögek területét jelenti. Mivel a jobboldal állandó, a baloldal is az. Ha az ellipszis köré lehetne ezeknél kisebb területű n-szöget is írni, akkor a kör köré is lehetne. Kör esetén azonban a 2. tulajdonságuk csak a köré írható szabályos n szögeknek van meg. Ezekből következik, hogy a 2. feltétel ellipszis esetén is elégséges.
C) Az ellipszist területileg legjobban approximáló n-szög.
Most is először a főkört területileg legjobban approximáló n-szöget szerkesztjük meg. Ez úgy történik, hogy előbb megszerkesztjük a körbe írható szabályos n-szöget és ennek minden oldalát négy egyenlő részre osztjuk. Azután a két szélső osztó pontot projiciáljuk a kör középpontjából a körre. (3. ábra.) Az így nyert pontokat összekötjük. A keletkezett n-szög lesz a keresett extrém tulajdonságú n-szög körre nézve.*
 
 
3. ábra
 

Ennek affin megfelelője lesz az ellipszist területileg legjobban approximáló sokszög.
Ilyen n szög szintén végtelen sok van, azonban:
a) Ezek mindegyike eleget tesz a 3. feltételnek.
b) Az ellipszist területileg egyenlően approximálják. Ugyanis a kör és az (ABC...) sokszög oldalai által határolt terület úgy aránylik az ellipszis kerülete és a megfelelő sokszög által határolt területhez, mint a:b.
Tehát ha az ellipszisnek lenne ezen n-szögeknél területileg jobban approximáló n-szöge, akkor a körnek is lenne a fenti módon szerkesztett n-szögnél jobban approximáló n-szöge, ez azonban feltevésünkkel ellenkezik. Tehát a 3. feltétel ellipszis esetén is elégséges.
 
Budapest
 Adler Ernő    
 gyakorlóiskolai tanárjelölt
*Olyan n-szög, amely a körre nézve a 3) feltételt kielégíti, csak egy van és ez a leírt módon szerkesztett n-szög. Szerkesszünk ugyanis egy olyan oldalt, amely a 3. feltételnek megfelel; legyen ez pl. AD (3. ábra). A D végpontból húzzunk szelőket; ezek között a DA-n kívül még csak egynek lesz meg az a tulajdonsága, ami DA-nak megvan (t. i. a DE-nek) és ezen szelő szeleteinek hossza megegyezik a DA szeleteivel. Hogy az így keletkező szabályos n-szög területileg valóban legjobban közelíti meg a körét, annak bizonyításával itt nem foglalkozunk.