Cím: 1936. A XVIII. Károly Irén fizikai tanulóverseny tételei - 2.
Füzet: 1937/január, 136 - 139. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat

 

I. A rajznak megfelelő alakú edényt annyira nyomunk be a vízbe, hogy a feneke gyanánt szolgáló lap (LL) éppen leesik, ha 1kg súlyú vizet töltünk az edénybe. Leesik-e a lap, ha
a) 1kg higanyt
b) 1kg alkoholt
c) 1kg súlyú ólomdarabot helyezünk reá?
II. Mi lesz, ha a belemerített edény bővül? A feleleteket indokoljunk meg!
 
 

Megoldás. I. Jelentse E a külső, e a belső, az LL lappal elzárt edényt. Az LL lap akkor esik le ha az e-be töltött víz színe eléri az E-ben levő víz színét, ill. ha az e-be töltött folyadék fenéknyomása megegyezik az E-ben levő víznek az LL lapra gyakorolt, felfelé irányított nyomásával1. Ennek nagyságát a hsg szorzat fejezi ki, ahol h az LL lapnak az E-ben levő víz színétől való távolságát és s a víz sűrűségét jelenti. Ha már most T jelenti az e edény alaplapjának, t az e edénynek az E-ben levő víz színén levő keresztmetszetének területét, akkor
13hsg(T+Tt+t)
jelenti az e edénybe töltött, h magasságú vízoszlop súlyát, azaz 1kg súlyát.
a) Legyen már most a higany sűrűsége s'(>s) és az 1kg súlyú higany magassága h', a higany felszínének területe t'. Nyilván h'<h és így t'>t. Már most feltételünk szerint
13h's'g(T+Tt'+t')=13hsg(T+Tt+t)h's'hs=T+Tt+tT+Tt'+t'<1,


mert t<t' és így
h's'<hs,
azaz a higany fenéknyomása kisebb a vízénél: az LL lap nem esik le.
b) Jelölje s''(<s) az e edénybe öntött 1kg súlyú alkohol sűrűségét és h'' a magasságát, felszínének területét t''. Most h''>h és így t''<t, úgy hogy
h''s''hs=T+Tt+tT+Tt''+t''>1,
mert t>t''. Most tehát
h''s''>hs,
azaz az alkohol fenéknyomása nagyobb a vízénél: az LL lap leesik.
c) Ezen kérdés eldöntésénél már nem a nyomást, hanem az e alsó nyílását elzáró T területű lapra felfelé nyomó erőt kell vizsgálnunk. Ennek nagysága megegyezik a T-vel mindenütt egyenlő keresztmetszetű vízoszlop súlyával, tehát nagyobb 1kg súlyánál. Ezért az 1kg súlyú ólomdarab nem nyomja le az LL lapot.
 

II. Ha az e edény alsó lapja t, a benne levő víz felszínének területe T (ez E-ben levő víz szintjével megegyező magasságban), akkor az
a) esetben leesik,
b) ese,,ben nem esik le,
c) ese,,ben leesik az LL lap.
Ugyanis az a) esetben a higany felszínének területe T'<T és ezért
h's'hs=T+Tt+tT'+T't+t>1,azazh's'>hs.

A b) esetben, az alkohol felszínére nézve T''>T és így
h''s''hs=T+Tt+tT''+Tt''+t<1,vagyish''s''<hs.

A c) esetben pedig a t alaplapra ható ‐ a víztől származó ‐ nyomóerő megegyezik a t-vel mindenütt egyenlő keresztmetszetű vízoszlop súlyával és ez kisebb 1kg súlynál.
Tárgyalásunkban feltételeztük, hogy az LL lap súlytalan. Ha az LL lapnak is van súlya, ugyanezen eredményeket kapjuk; csakhogy ekkor a bevezetésben definiált h magasság nem az LL lapnak az E-ben levő víz színétől való távolságát fogja jelenteni, hanem egy ennél kisebb távolságot, aminthogy ezt általában is tapasztaljuk.
 

Jegyzet. A felsorolt megoldásokon kívül még számos oly dolgozat érkezett, mely nem volt figyelembe vehető, részben az indokolás hiányossága miatt, részben amiatt, hogy a nyomás és nyomóerő fogalmát nem különböztették meg.
Helyes azon megállapítás, hogyha a lefelé növekedő keresztmetszetű edénybe 1kg higanyt öntünk 1kg víz helyett, akkor a higanyoszlop magassága nem 13,6-szer kisebb, mint a vízé, hanem (13,6+k)-szor kisebb, ahol k>0. Ugyanis ha annyi higanyt öntenénk a szóbanforgó edénybe, hogy magassága az 1kg vízoszlop magasságánál 13,6-szer kisebb, akkor ezen higanymennyiség térfogata több lenne, mint a víz térfogatának 1/13,6 része és így súlya nagyobb, mint 1kg. Tehát 1kg súlyú higanyoszlop magasságának kisebbnek kell lennie a vízoszlop magasságának 1/13,6 részénél.
Hasonlóan következtethetünk az olaj esetében is, továbbá a lefelé szűkülő edénynél.
 

2. feladat
 
10 mikrofarados sűrítőt 10000 voltra feltöltünk. Mennyibe kerül a benne felhalmozott energia, ha a villamos művek a kilovattórát 35 fillérért árulják?
 

Megoldás. Jelölje W a sűrítő energiáját, E a töltését, V a potenciálját. Ismeretes, hogy
W=12EV.
Ha E-t coulombokkal, V-t voltokkal mérjük, akkor az energiát joule-okban kapjuk.
E=CV, ahol C a sűrítő kapacitása. Ha C-t faradokkal, V-t voltokkal mérjük, akkor E-t coulombokban kapjuk. Az adott esetben C=10⋅10-6=10-5 farad, V=104 volt; így
E=10-5⋅104coulomb=10-1coulomb.W=12⋅10-1coulomb×104volt=12⋅103joule=500joule.1kilowattóra=1000watt×3600sec=36⋅105joule.



Eszerint 36⋅105joule nagyságú energia ára 35fillér; 500joule ára
35⋅50036⋅105∼1200fillér.
Botár Liviusz és Tersztyánszky György (Premontrei gimn. VIII. o. Keszthely)
 

3. feladat
 
Vízszintes papirosra kis kerek foltot rajzolnak. A papirosra üvegkockát helyezünk úgy, hogy a foltot elfödje. Ha a foltot a kocka valamelyik oldallapján keresztül akarjuk nézni, nem látjuk. Ha azonban a foltra vizet cseppentünk és úgy helyezzük rá az üvegkockát, látjuk. Mi ennek a magyarázata? (Az üvegnek a levegőre vonatkozó törésmutatója 5/3, a vízé 4/3.)
 
 

Megoldás. 10. A foltról levegőrétegen keresztül az üvegkockába az alsó lapon lépnek be a sugarak és törést szenvednek. A törési szög nem lehet nagyobb a φ határszögnél, amelyre nézve
sinφ=35=0,6,tehátφ<450.1

A φ szög alatt belépő sugarak az oldallaphoz
i=90∘-φ>45∘
szög alatt esnek be, tehát teljes visszaverődést szenvednek.
Ha a belépés szöge <φ, akkor az oldallaphoz való beesés szöge még inkább nagyobb 45∘-nál, szóval minden sugár az oldallapon teljes visszaverődést szenved és ezért nem látjuk a foltot, ha az oldallapon nézünk keresztül.2
20. Az üvegnek a vízre vonatkozó törésmutatója: n'=53:43-54.
A vízből az üvegbe lépő sugarakra nézve a határszög φ1 és most
sinφ1=45,azazφ1=90∘-φ>45∘.3

Ha tehát az alsó lapon a törési szög (az üvegbe lépés szöge) φ1, akkor az oldallapra való beesés szöge
i1=90∘-φ1=φ
és az ennek megfelelő kilépési szög a levegőbe 90∘, az üvegkockából kilépő fénysugár az oldallapot súrolja. Az ilyen sugár még eljuthat a szemünkbe, tehát a foltot láthatjuk.
Azon sugarak, amelyek a kocka alsó lapjára φ1-nél kisebb szög alatt lépnek be, azok a kocka oldallapjához φ-nél nagyobb szög alatt esnek; ezek már teljes visszaverődést szenvednek.
 

Jegyzet. A 20. alatt tárgyalt eset kedvezőbben alakul, azaz többféle sugár lép ki a kocka oldallapján ha
i1=90∘-φ1<φ,azazφ1>90∘-φ,tehátsinφ1>cosφ.

Azonban cosφ=45 és így sinφ1>45, ha n'<54.

Ezen eset bekövetkezik akkor, ha az üvegnek a levegőre vonatkozó törésmutatója <53, azaz pl. koronaüveg esetében, melynek törésmutatója 1,53 ‐ 1,63 körül van. Ha azonban az üvegkocka nehezebb flintüvegből van, melynek törésmutatója 1,7 vagy ennél nagyobb, akkor a 20. esetben sem látjuk a foltot.
1Nyomás jelenti a vízszintes felületegységre ható nyomó erőt.

1sin45∘=22=:0,707...>0,6.

2A kocka felső lapjához érkező sugarak beesési szöge = az alsó lapon való törési szöggel. Minthogy ez <φ, a sugarak kilépnek a levegőbe; a foltot felülről lehel látni. (Planparallel lemez!)

3Ugyanis sin2φ+sin2φ1=925+1625=1.