A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelentsen egy homorú függvényt (Homorúnak az olyan görbét nevezem, amely alulról nézve homorú, tehát bármely két pontját összekötő görbeív e két pontot összekötő egyenes húr fölött van). Vegyünk fel különböző abscissa értéket: , , . Az ezekhez tartozó függvényértékek: , , akkor Jensen tétele azt mondja, hogy: | |
Azaz szavakban: homorú függvénynél az ordináták számtani közepe nem lehet nagyobb, mint az abscissák számtani közepéhez tartozó függvényérték. Domború függvénynek nevezem az olyat, amelynél két pontot összekötő görbeív e két pontot összekötő egyenes húr alatt van, akkor domború függvényre nézve: | |
Az egyenlőségjel mind a két esetben csak akkor léphet fel, ha a függvény képe egy egyenes. Ezt a tételt a Cauchy‐féle egyenlőtlenség (a számtani és mértani közepekről) mintájára, teljes indukcióval szokták bizonyítani. Ehelyett egy egyszerű, geometriai szemléleten alapuló bizonyítást adunk és aztán ennek a tételnek a segítségével fogjuk bebizonyítani a Cauchy‐tételt is. Ismeretes dolog, hogy ha a síkban adva van pont: , e pontok súlypontjának a koordinátái: | |
Ha az adott pont egy konvex sokszöget képez, könnyen belátható, hogy a súlypont e sokszög belsejébe fog esni. Ha , akkor ezt tudjuk. (Háromszög súlypontja mindig a háromszög belsejébe esik.) Alkalmazzunk teljes indukciót: tegyük fel, hogy az -szögről már tudjuk, hogy súlypontja a sokszög belsejébe esik, és most fölveszünk egy -edik pontot. Az egész rendszer súlypontja megváltozik és az új súlypontot megkapom, ha megalkotom ennek az -edik pontnak és az előbbi súlypontnak a súlypontját, ez rajta lesz a kettő összekötő egyenesén, tehát nyilván a konvex sokszög belsejében.
Képzeljünk el most már egy homorú függvényt. Egyszerűség kedvéért fölvehetjük, hogy , , , mindannyian pozitívok. Ha nem így lenne, akkor a függvényhez hozzáadunk egy elegendő nagy számot, úgy, hogy , , valamennyien pozitívok legyenek. Ezáltal a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldala -vel nagyobbodik, ha tehát -re be tudom bizonyítani, akkor igaz az egyenlőtlenség -re is. Vegyük szemügyre azt az pontot, amelynek koordinátái rendre: | | Ezek a pontok egy konvex sokszöget alkotnak, amely a homorú függvény alatt van, a definíció értelmében. A pontok súlypontja, , e sokszög belsejében lesz. pont koordinátái: | | Hogy az pont a sokszög belsejében, illetve a homorú függvény alatt van, az precízen megfogalmazva azt jelenti, hogy az pont ordinátája kisebb, mint az -hez tartozó függvényérték, vagyis: | | Ha a függvény domború, akkor az pont a függvény fölé esik, ordinátája tehát nagyobb lesz, mint az -hez tartozó függvényérték, domború függvénynél tehát: | | Ha a függvény képe egyenes, akkora súlypont ráesik az egyenesre, tehát | |
Alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget arra az esetre, ha . A log‐görbe homorú, tehát: | | Más szóval: | | Ebből következik: | | Azaz: különböző pozitív szám mértani közepe mindig kisebb a számtani közepüknél; ez Cauchy‐tétele. A bizonyítás változatlanul érvényben marad akkor is, ha megengedjük, hogy az , között egyenlő -ek is előforduljanak, akkor e súlypontot úgy kell értelmeznünk, mintha a , , pontokba nem csupa egyenlő súlyt tennénk, hanem ha pl. 5-ször fordul elő, akkor -be 5-szörös súlyt képzelünk. Budapest 1935 október. okleveles középiskolai tanár. |
|