Kezdőlap


Cím:	Aritmetikai közepekre vonatkozó egyenlőtlenségekről
Szerző(k):	Dr. Veress Pál
Füzet:	1933/január, 113 - 116. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ $a_{n}$ valós vagy komplex számoknak $g_{1}$ , $g_{2}$ , $\dots$ $g_{n}$ pozitív súlyokkal képzett aritmetikai közepén értjük az

\begin{matrix} a_{g} = \frac{a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} \end{matrix}

számot. Ha az

a_{i}

számok valósak, akkor

a_{g}

értéke az

a_{i}

számok legkisebbike és legnagyobbika között van, tehát valóban középérték. Ha az

a_{i}

jelek komplex értékeket jelentenek, akkor

a_{g}

-nak a komplex számaikban való képe benne van az

a_{i}

komplex számok képeit magában foglaló legkisebb konvex sokszög belsejében. Ha az

a_{i}

pontokban

g_{i}

súlyú tömegeket helyezünk el, akkor az így előálló rendszer súlypontja az

a_{g}

pontban lesz. Ha a súlyok mind egyenlők egymással, akkor az

a_{g}

értéke átmegy a közönséges aritmetikai középbe:

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} . \end{matrix}

Ezek a tények az olvasók előtt talán mind ismeretesek, de mindenesetre könnyen igazolhatók. (L. a 870. feladat!)
Valós

a_{i}

számokra vonatkozólag megvizsgálhatjuk azt, hogy a

g_{i}

súlyokkal képzett aritmetikai közép értéke hogyan függ a

g_{i}

súlyok megválasztásától. Föltehetjük, hogy az

a_{i}

számok már eredetileg nagyságuk sorrendjében vannak az indexekkel ellátva, tehát e

\begin{matrix} a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \leq a_{n} . \end{matrix}

Egy ilyen megállapítás, amit a súlyokkal képzett aritmetikai közép nagyságára vonatkozólag tehetünk, az előző számban¹ ismertetett Csebisev-féle egyenlőtlenség. Ez az ott felírt alakjában azt mondja ki, hogy a szorzatok aritmetikai közepe az ott megadott föltételek mellett nem nagyobb az aritmetikai közepek szorzatánál, de látható, hogy a tétel (pozitív súlyokra szorítkozva) azonos a következővel:
Ha az

a_{i}

számok növekvő sorrendben vannak rendezve

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}

, akkor ugyancsak növekvő

0 < g_{1} \leq g_{2} \leq \dots \leq g_{n}

súlyokkal képzett aritmetikai közepük nem kisebb, a csökkenő

h_{1} \geq h_{2} \geq \dots \geq h_{n} > 0

súlyokkal képzett aritmetikai közepük nem nagyobb az egyenlő súlyokkal képzett (közönséges) aritmetikai közepüknél:
1.

\begin{matrix} \frac{a_{1} g_{2} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n}}{g_{1} + g_{1} + \dots + g_{n}} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + \dots a_{n}}{n} \geq \frac{a_{1} h_{1} + a_{2} h_{2} + \dots + a_{n} h_{n}}{h_{1} + h_{1} + \dots + h_{n}} . \end{matrix}

Ha a

g_{i}

, illetve a

h_{i}

súlyok sorában csak egyetlen egyszer is a

<

, illetve

>

jel áll, akkor az 1. egyenlőtlenségben is ki van zárva az egyenlőségjel.
A tétel ilyen formában majdnem magától értetődő, hiszen ha a közép képzésénél éppen a nagyobb számoknak adunk nagyobb súlyokat, várható, hogy a közép nagyobb lesz, mint hogy ha minden számnak ugyanazt a súlyt adjuk. Bizonyításunk is ennek a gondolatnak számolással való kifejtésen alapszik.² ‐ Írjuk föl a

g_{i}

súlyokkal képzett középnek és a közönséges aritmetikai középnek, melyet

a

-val jelölünk, a különbségét:

\begin{matrix} \frac{a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} - a = \frac{a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} - \\ \frac{a g_{1} + a g_{2} + \dots + a g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} = \frac{(a_{1} - a) g_{1} + (a_{2} - a) g_{2} + \dots + (a_{n} - a) g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} . \end{matrix}

Azt kell bebizonyítanunk, hogy ez a tört nem negatív, illetve minthogy a nevező a föltétel szerint pozitív, hogy
2.

\begin{matrix} (a_{1} - a) g_{1} + (a_{2} - a) g_{2} + \dots + (a_{n} - a) g_{n} \geq 0. \end{matrix}

Az aritmetikai közép definiciójánál fogva
3.

\begin{matrix} (a_{1} - a) + (a_{2} - a) + \dots + (a_{n} - a) = 0, \end{matrix}

továbbá az

a_{i}

számok monoton voltát tekintetbevéve:
4.

\begin{matrix} (a_{1} - a) \leq (a_{2} - a) \leq \dots \leq (a_{n} - a) . \end{matrix}

Ezek a különbségek már most vagy mind nullák, amikor is nincs mit bizonyítani, vagy pedig vannak köztük negatívok és pozitívok is és pedig 4. miatt az elsők negatívok és az utolsók pozitívok. Válasszuk külön a negatívokat a nem negatívaktól, legyen mondjuk

k

az utolsó index, melyre

a_{k} - a

negatív, tehát

a_{k + 1} - a

már pozitív vagy zérus; akkor:

\begin{matrix} (a - a_{1}) + (a - a_{2}) + \dots + (a - a_{k}) = (a_{k + 1} - a) + (a_{k + 2} - a) + \dots + (a_{n} - a) . \end{matrix}

Minthogy ezek a különbségek már nemnegatívok és

0 < g_{k} \leq g_{k + 1}

, azért a baloldal

g_{k}

‐ szorosa nem nagyobb a jobboldal

g_{k + 1}

‐ szeresénél:

\begin{matrix} g_{k} (a - a_{1}) + g_{k} (a - a_{2}) + \dots + g_{k} (a - a_{k}) \leq \\ \leq g_{k + 1} (a_{k + 1} - a) + g_{k + 1} (a_{k + 2} - a) + \dots + g_{k + 1} (a_{n} - a) . \end{matrix}

A baloldalt nem növeljük, ha a

g_{k}

együttható helyébe rendre a nála nem nagyobb

g_{1}

g_{2}

\dots

g_{k}

együtthatókat írjuk; a jobboldalt pedig nem csökkentjük, ha

g_{k + 1}

helyébe írjuk rendre a

g_{k + 1}

g_{k + 2}

\dots

g_{n}

számokat, tehát
5.

\begin{matrix} g_{1} (a - a_{1}) + g_{2} (a - a_{2}) + \dots + g_{k} (a - a_{k}) \leq \\ \leq g_{k + 1} (a_{k + 1} - a) + g_{k + 2} (a_{k + 2} - a) + \dots + g_{n} (a_{n} - a) . \end{matrix}

(Azt is látjuk, hogy ha a

g_{i}

számok nem mind egyenlők egymással, akkor ennél az átalakításnál vagy a baloldalt határozottan csökkentettük, vagy a jobboldalt növeltük, tehát 5-ben a

<

jel áll; illetve ha éppen

g_{k} < g_{k + 1}

, akkor már a megelőző egyenlőtlenségben is

<

áll a

\leq

helyett).
Az 5. egyenlőtlenségben a baloldalt a jobb oldalra átvive, azonnal látjuk, hogy az kellő rendezés után átmegy a bizonyítandó 2. egyenlőtlenségbe.
2. Ha a

g_{i}

súlyok nem mind pozitívok, akkor adjunk mindenikökhöz oly nagy

g

pozitív számot, hogy a

g_{i} + g

összegek már mind pozitívok legyenek. Az ezekkel, mint súlyokkal képzett középre már a fentiek szerint áll a tételünk, tehát

\begin{matrix} \frac{a_{1} (g_{1} + g) + a_{2} (g_{2} + g) + \dots + a_{n} (g_{n} + g)}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n} + n g} = \\ = \frac{a_{1} g_{2} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n} + g (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})}{g_{1} + g_{2} + \dots g_{n} + n g} \geq a . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n} + g (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) \geq a (g_{1} + g_{2} + \dots g_{n}) + a n g, \end{matrix}

és minthogy

\begin{matrix} g (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) = g \cdot n \cdot a, \end{matrix}

marad

\begin{matrix} a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n} \geq a (g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}), \end{matrix}

amiből, ha legalább a súlyok összege pozitív, következik a Csebisev-tétel a fönt írt formájában is.
3. Megjegyezzük, hogy ahhoz, hogy a

g_{i}

súlyokkal képzett közép bármilyen

n

elemből álló, nemcsökkenő számsorozatra nagyobb legyen a közönséges aritmetikai középnél, nem szükséges, hogy a

g_{i}

súlyok is monoton nőjjenek. (Pld.

n = 4

g_{1} = 3

g_{2} = 2

g_{3} = 1

g_{4} = 10

). Az ilyen értelemben szükséges és elégséges feltételt is megadhatjuk és pedig mindjárt valamivel általánosabb formában, amennyiben a különböző súlyokkal képzett közepeket hasonlítjuk össze egymással.
Legyen tehát ismét

a_{1} < a_{2} \leq \dots \leq a_{n}

, és jelentsenek

g_{1}

g_{2}

\dots

g_{n}

és

γ_{1}

γ_{2}

\dots

γ_{n}

különböző súlysorozatokat. A súlyok részletösszegeit jelöljük a megfelelő nagy betükkel:

\begin{matrix} \begin{matrix} G_{k} = g_{1} + g_{2} + \dots + g_{k,} \\ Γ_{k} = γ_{1} + γ_{2} + \dots + γ_{k}, \end{matrix}} k = 1,2, \dots n . \end{matrix}

A megfelelő aritmetikai közepeket írjuk a következő alakba:

\begin{matrix} a_{g} = \frac{g_{1} a_{1} + g_{2} a_{2} + \dots + g_{n} a_{n}}{G_{n}} = \\ = \frac{1}{G_{n}} \cdot [G_{1} a_{1} + (G_{2} - G_{1}) a_{2} + \dots + (G_{n} - G_{n - 1}) a_{n}] = \\ = \frac{1}{G_{n}} \cdot [G_{1} (a_{1} - a_{2}) + G_{2} (a_{2} - a_{3}) + \dots + G_{n - 1} (a_{n - 1} - a_{n}) + G_{n} a_{n}] . \end{matrix}

a_{g}

számlálójában levő összegnek a részletösszegekkel való ilyen átalakítását nevezik Ábel-féle átrendezésnek. (Ezt alkalmazta Ábel a 871. sz. feladatban kitűzött egyenlőtlenség bizonyítására)
Hasonló módon:

\begin{matrix} a_{γ} = \frac{1}{Γ_{n}} [Γ_{1} (a_{1} - a_{2}) + Γ_{2} (a_{2} - a_{3}) + \dots + Γ_{n - 1} (a_{n - 1} - a_{n}) + Γ_{n} a_{n}] . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} a_{g} - a_{γ} = (a_{1} - a_{2}) [\frac{G_{1}}{G_{n}} - \frac{Γ_{1}}{Γ_{n}}] + (a_{2} - a_{3}) [\frac{G_{2}}{G_{n}} - \frac{Γ_{2}}{Γ_{n}}] + \dots + (a_{n - 1} - a_{n}) [\frac{G_{n - 1}}{G_{n}} - \frac{Γ_{n - 1}}{Γ_{n}}] . \end{matrix}

Jobboldalon az

(a_{i} - a_{i + 1})

különbségek az

a_{i}

számok monotonitása miatt mind negatívok vagy zérusok. Ha tehát a másik tényezőcsoport is előjeltartó, pld. minden

\frac{G_{i}}{G_{n}} - \frac{Γ_{i}}{Γ_{n}}

különbség is

\leq 0

, akkor

a_{g} - a_{γ} \geq 0

. De megfordítva is csak akkor lesz minden monoton növekvő

a_{i}

sorozatra

a_{g} \geq a_{γ}

, ha minden

i

-re

\begin{matrix} \frac{G_{i}}{G_{n}} \leq \frac{Γ_{i}}{Γ_{n}} . \end{matrix}

Mert ha csak egy

i

-re ez az egyenlőtlenség nem áll, akkor az

a_{1} = a_{2} = \dots = a_{i} < a_{i + 1} = a_{i + 2} = \dots = a_{n}

számcsoportra

a_{g} - a_{γ}

negatív.
Ezzel igazoltuk az említett Csebisev-tételnek a következő Jensen-féle általánosítását:
Hogy az

\begin{matrix} \frac{a_{1} g_{1} + a_{2} g_{2} + \dots + a_{n} g_{n}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} \geq \frac{a_{1} γ_{1} + a_{2} γ_{2} + \dots + a_{n} γ_{n}}{γ_{1} + γ_{2} + \dots + γ_{n}} \end{matrix}

egyenlőtlenség minden

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}

számcsoportra fennálljon, ahhoz szükséges és elégséges, hogy minden

i

-re

\begin{matrix} \frac{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{1}}{g_{1} + g_{2} + \dots + g_{n}} \leq \frac{γ_{1} + γ_{2} + \dots + γ_{1}}{γ_{1} + γ_{2} + \dots + γ_{n}} (i = 1,2, \dots n), \end{matrix}

legyen.
Hogy ez a tétel a Csebisev-tételt magában foglalja, azt az olvasók a

γ_{1} = γ_{2} = \dots = γ_{n} = \frac{1}{n}

helyettesítéssel könnyen igazolhatják.
Budapest.

Veress Pál.

¹Turán Pál: Egy egyenlőtlenségről.

²Egy más felfogásban is megvilágítjuk ezt: jelentsenek $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ $a_{n}$ egy játékban kitűzött nyereményeket $\frac{g_{i}}{g_{1} + g_{2} + \dots g_{n}}$ legyen az $a_{i}$ nyereményre vonatkozó nyerési valószínűség, akkor $a_{g}$ a játékos matematikai reménye. Világos, hogy ha a nagyobb nyeremények nyerési valószínűségei nagyobbak, a matematikai reménynek is nagyobbnak kell lennie.