Kezdőlap


Cím:	A másodfokú egyenlet gyökeinek helyzete
Szerző(k):	Faragó Andor
Füzet:	1930/szeptember, 5. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A versenyen kitűzött algebrai feladat megoldásában lényeges szerepet játszik azon kérdés eldöntése, hogy a másodfokú egyenletnek két valós gyöke minő feltételek kielégítése mellett fekszik a megadott $α$ és $β$ valós számok között?
Ezen kérdés eldöntésére nem szükséges és nem is célszerű a gyökök kiszámított alakját felhasználni. Egyszerűbb, ha a kérdésre függvénytani meggondolások segítségével válaszolunk, mégpedig:
$1^{0}$ . Legyen

\begin{matrix} f (x) \equiv a x^{2} + b x + c . \end{matrix}

s i g n f (α) = s i g n f (β)

, akkor az

f (x) = 0

másodfokú egyenletnek egy és csakis egy valós gyöke fekszik

α

és

β

között. 2. Valós gyökök esetében

(b^{2} - 4 a c \geq 0)

, mind a két gyök

α

és

β

között van, ha

\begin{matrix} s i g n f (α) = s i g n f (β) = s i g n a \end{matrix}

és a gyökök összegének fele:

- \frac{b}{2 a}

α

és

β

számok között fekszik.
Ugyanis, ha pl.

a > 0

és

b^{2} - 4 a c > 0

, akkor az

f (x)

másodfokú függvénynek minimuma van az

x = - \frac{b}{2 a}

helyen és ezen minimum negatív. Feltéve, hogy

f (α) > 0

és

f (β) > 0

, akkor

α

és

- \frac{b}{2 a}

között van az egyik,

- \frac{b}{2 a}

és

β

között van a másik gyöke az

f (x) = 0

egyenletnek, tehát mind a kettő

α

és

β

között van.

b^{2} - 4 a c = 0

határesetben

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

Alkalmazzuk ezen megállapítást az

\begin{matrix} f (z) \equiv 4 z^{2} - 4 a z + 2 a^{2} - b - 2 = 0 \end{matrix}

egyenletre, melynek gyökei valósak, ha

\begin{matrix} b \geq a^{2} - 2. \end{matrix}

(I)

Ezen gyökök

- 1

és

+ 1

között feküsznek, beleértve ezen határokat is, ha, tekintettel arra, hogy

z^{2}

együtthatója pozitív, a köv. feltételek ki vannak elégítve:

1^{0}

f (- 1) \geq 0

2^{0}

f (+ 1) \geq 0

,
és

3^{0}

- 1 \leq \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{a}{2} \leq 1

.
Ezen feltételek harmadika

\begin{matrix} - 2 \leq a \leq 2 \end{matrix}

alakban írható; ez különben folyik abból, hogy az

a

két cosinus-függvény összegét jelenti. Már most

\begin{matrix} f (- 1) & = 4 + 4 a + 2 a^{2} - b - 2 = 2 {(a + 1)}^{2} - b; \\ f (+ 1) & = 4 - 4 a + 2 a^{2} - b - 2 = 2 {(a - 1)}^{2} - b . \end{matrix}

\begin{matrix} f (- 1) \geq 0, ha b \leq 2 {(a + 1)}^{2}, & (II) \\ f (+ 1) \geq 0, ha b \leq 2 {(a - 1)}^{2} . & (III) \end{matrix}

\begin{matrix} b & = a^{2} - 2, & (1) \\ b & = 2 {(a + 1)}^{2}, & (2) \\ b & = 2 {(a - 1)}^{2} & (3) \end{matrix}

egyenletek mindegyike parabolát jelent. Ezeknek csak azon részei jöhetnek tekintetbe, amelyekre nézve

- 2 \leq a \leq 2

.
Az (1) parabola tengelye az ordinátatengely; alsó tetőpontja

a = 0

b = - 2

; az abscissatengelyt

a = \pm \sqrt[]{2}

b = 0

pontokban metszi.
A (2) az

a = - 1

b = 0

pontban érinti az abscissatengelyt és az érintési pont a görbe alsó tetőpontja.
A (3) az

a = + 1

b = 0

pontban érinti az abscissatengelyt; az érintési pont a görbe alsó tetőpontja. Ezen görbe az előbbivel egybevágó.
Az (1) és (2) görbék az (

a = - 2

b = 2

) pontban érintkeznek egymással; az (1) és (3) az (

a = + 2

b = 2

) pontban érintkeznek egymással. ¹ A (2) és (3) görbéknek közös pontjuk az (

a = 0

b = 2

) pont.
Az I., II., III. feltételek, a

- 2 \leq a \leq 2

feltétellel együtt a

P

pont helyzetére nézve a sík azon részét jelölik ki, amelyet az (1), (2), (3) parabolák határolnak, beleértve ezen határvonalakat is.

‐ ó ‐ r.

¹Az

a^{2} - 2 = 2 {(a + 1)}^{2}

és

a^{2} - 2 = 2 {(a - 1)}^{2}

egyenletek mindegyikének két egyenlő gyöke van!