Kezdőlap


Cím:	A számok előállítása quadratikus formákkal
Szerző(k):	Dr. Sárközy Pál
Füzet:	1931/április, 229 - 231. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 653. feladattal kapcsolatban megemlítjük a kvadratikus formák néhány alapvető tételét.
A számelmélet vizsgálja a két változós

\begin{matrix} a x^{2} + b x y + c y^{2} \end{matrix}

kvadratikus alakot, hol

a

b

c

együtthatók és az

x

y

változók is egész számok. A vizsgálódás iparkodik megállapítani azt, hogy mely

A

egész számok állíthatók elő adott kvadratikus formával, vagyis mely

A

számokhoz találunk oly

x

és

y

egész számot, hogy álljon

\begin{matrix} A = a x + b x y + c y^{2} . \end{matrix}

A későbbiek miatt előrebocsátjuk a következő azonosságot

\begin{matrix} (x^{2} + m y^{2}) (α^{2} + m β^{2}) = {(α x + m β y)}^{2} + m {(α y - β x)}^{2} = \\ = {(α x - m β y)}^{2} + m {(α y + β x)}^{2} . & (1) \end{matrix}

Ebből

α = m^{r}

β = 0

esetében a jobboldal csak egy kifejezést ad

\begin{matrix} m^{2 r} (x^{2} + m y^{2}) = {(m^{r} x)}^{2} + m {(m^{r} y)}^{2} . \end{matrix}

(2)

Hasonlóképp

α = 0

β = m^{s}

esetében ered

\begin{matrix} m^{2 s + 1} (x^{2} + m y^{2}) = {(m^{s + 1} y)}^{2} + m {(m^{s} x)}^{2} . \end{matrix}

(3)

A kvadratikus formák tanának egyszerűbb eredményei a következők: 1. Minden

4 k + 1

alakú prímszám egyféleképp előállítható az

x^{2} + y^{2}

négyzetes alakkal.
Pl.

5 = 1 + 4

13 = 4 + 9

...

Az (1)-ből

m = 1

esetében nyert

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2}) (α^{2} + β^{2}) = {(α x + β y)}^{2} + {(α y - β x)}^{2} = {(α x - β y)}^{2} + {(α y + β x)}^{2} \end{matrix}

(4)

azonosság alapján állíthatjuk, hogy két

4 k + 1

alakú prímszám szorzata kétféleképp állítható elő két négyzet összegeként. Pl.

\begin{matrix} 5 \cdot 5 = 25 = 0 + 25 = 9 + 16, 5 \cdot 13 = 65 = 1 + 64 = 16 + 49. \end{matrix}

Három

4 k + 1

alakú prímszám szorzata már négyféleképp bontható fel két négyzet összegére. Általában

v

számú

4 k + 1

alakú prímszám szorzata

2^{v - 1}

-féleképp állítható elő mint két négyzet összege. Ez a szám kevesbedik, ha a tényezők között egyenlők is szerepelnek. Pl.

\begin{matrix} 5 \cdot 5 \cdot 13 = 325 = 1 + 18^{2} = 6^{2} + 17^{2} = 10^{2} + 15^{2} \end{matrix}

előállítása háromféle.
Megjegyezzük még, hogy a

\begin{matrix} 2 = 1 + 1, 4 = 0 + 4, 8 = 4 + 4, ... \end{matrix}

figyelembe vételével az (1) alapján mondhatjuk, hogy a

4 k + 1

alakú prímszám

2^{r}

-szerese is előállítható egyféleképpen két négyzet összegeként. Ez a tétel a

\begin{matrix} p & = x^{2} + y^{2} \\ 2 p & = {(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2} \\ 4 p & = {(2 x)}^{2} + {(2 y)}^{2} \\ 8 p & = {(2 x + 2 y)}^{2} + {(2 x - 2 y)}^{2} \end{matrix}

kapcsolatokból is kiolvasható.
2. A

8 k + 1

és

8 k + 3

alakú prímszámok egyféleképp állíthatók elő az

x^{2} + 2 y^{2}

alakkal. Pl.

3 = 1 + 2 \cdot 1

11 = 9 + 2 \cdot 1, ...

Két ugyanilyen prímszám szorzata kétféleképp állítható elő mint egy négyzetnek és egy másik négyzet kétszeresének összege. Erről az (1)-ből nyerhető

\begin{matrix} (x^{2} + 2 y^{2}) (α^{2} + 2 β^{2}) = {(α x + 2 β y)}^{2} + 2 {(α y - β x)}^{2} = {(α x - 2 β y)}^{2} + 2 {(α y + β x)}^{2} \end{matrix}

(5)

identitás alapján győződhetünk meg. Pl.

\begin{matrix} 3 \cdot 3 = 9 = 1 + 2 \cdot 4 = 9 + 2 \cdot 0, 3 \cdot 17 = 51 = 49 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 \cdot 25. \end{matrix}

Általában

v

számú prímszám szorzata, melyek vagy

8 k + 1

, vagy

8 k + 3

alakúak,

2^{v - 1}

-féleképp állíthatók elő az az

x^{2} + 2 y^{2}

alakkal
A

\begin{matrix} 2 = 0 + 2 \cdot 1, \\ 4 = 4 + 2 \cdot 0, \\ 8 = 0 + 2 \cdot 4, ... \end{matrix}

figyelembevételével az (1) alapján mondhatjuk, hogy a

8 k + 1

és

8 k + 3

alakú prímszámok

2^{r}

-szerese is előállítható az

x^{2} + 2 y^{2}

alakkal. Ez látható a

\begin{matrix} p = x^{2} + 2 y^{2}, 2 p = {(2 y)}^{2} + 2 \cdot x^{2}, \end{matrix}

kapcsolatból is.
3. A

6 k + 1

alakú prímszámok előállíthatók egyféleképpen az

x^{2} + 3 y^{2}

alakkal. Pl.

7 = 4 + 3 \cdot 1

13 = 1 + 3 \cdot 4, ...

Az (1)-ből következik, hogy

v

számú ilyen prímszám szorzata

2^{v - 1}

-féleképp állítható elő ugyanezen alakkal.
A (2) és (3) alapján mondhatjuk továbbá, hogy a

6 k + 1

alakú prímszámok

3^{r}

-szerese is egyféleképp fejezhető ki egy szám négyzetének és egy másik háromszoros négyzetének összegeként. Pl.:

\begin{matrix} 21 = 9 + 3 \cdot 4, 63 = 36 + 3 \cdot 9 \end{matrix}

4) Kissé nagyobb változatosságot mutat a 653. feladatban jelzett két négyzetes alak. A

20 k + 1

és

20 k + 9

alakú prímszámok elsőfajúak s ezek előállíthatók egyféleképp az

x^{2} + 5 y^{2}

alakkal. A

20 k + 3

és

20 k + 7

alakú prímszámok előállíthatók a

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} \end{matrix}

alakkal és ezen prímszámokat másodfajúaknak nevezzük. A

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 2 {(x + y)}^{2} - 2 (x + y) y + 3 y^{2} \end{matrix}

(6)

azt mutatja, hogy a másodfajú prímszámok előállítása kétféleképpen történhet.
Megjegyezzük még, hogy az

\begin{matrix} 5 = 0 + 5 \cdot 1 \\ 2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \end{matrix}

miatt az 5 elsőfajú, a 2 pedig másodfajú prímszámként szerepel.
Az (1) képlet szerint

v

számú elsőfajú prímszám szorzata

2^{v - 1}

-féleképp bontható fel egy négyzet és egy másik négyzet ötszörösére. A (2) és (3) pedig mutatja, hogy minden elsőfajú prímszám

5^{r}

-szerese is egyféleképp állítható elő az

x^{2} + 5 y^{2}

alakkal. Pl.

5 \cdot 29 = 145 = 100 + 5 \cdot 9

.
Két másodfajú prímszám szorzata általában kétféleképp állítható elő

x^{2} + 5 y^{2}

alakkal. Ha ugyanis

\begin{matrix} p = 2 α^{2} + 2 α β + 3 β^{2} \\ q = 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} p q & = {(2 α x + β x + α y + 3 β y)}^{2} + 5 {(β x - α y)}^{2} = \\ = {(2 α x + β x + α y - 2 β y)}^{2} + 5 {(β x + α y + β y)}^{2} . \end{matrix}

Speciálisan áll

\begin{matrix} p^{2} = {(2 α^{2} + 2 α β + 3 β^{2})}^{2} + 5 \cdot 0 = {(2 α^{2} + 2 α β - 2 β^{2})}^{2} + 5 {(2 α β + β^{2})}^{2}, \\ 3 p = {(α + 3 β)}^{2} + 5 α^{2} = {(α - 2 β)}^{2} + 5 {(α + β)}^{2} . \end{matrix}

Ellenben

2 p

csak egyféleképp állítható elő:

\begin{matrix} 2 p = {(2 α + β)}^{2} + 5 β^{2} . \end{matrix}

Egy elsőfajú és egy másodfajú prímszám szorzata általában négyféleképp állítható elő a

2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}

alakkal. Ha ugyanis

\begin{matrix} p = α^{2} + 5 β^{2}, \\ q = 2 x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}, \end{matrix}

akkor két előállítás ez:

\begin{matrix} p q = 2 {(α x + β x + 3 β y)}^{2} + 2 (α x + β x + 3 β y) (α y - 2 β x - β y) + 3 {(α y - 2 β x - β y)}^{2} = \\ = 2 {(α x - β x - 3 β y)}^{2} + 2 (α x - β x - 3 β y) (α y + 2 β x + β y) + 3 {(α y + 2 β x + β y)}^{2} . \end{matrix}

A másik kettő ezekből nyerhető a (6) kapcsolat felhasználásával. Érdemes kiszámítani a

2 (α^{2} + 5 β^{2})

és a

3 (α^{2} + 5 β^{2})

előállítását is. Az első kétféle, a második négyféle alakot mutat.
5. Befejezésként az előbbihez hasonló esetet vizsgálunk. A

24 k + 1

és

24 k + 7

alakú prímszámok egyféleképp állíthatók elő az

x^{2} + 6 y^{2}

alakkal. Ezeket a törzsszámokat itt is elsőfajúaknak nevezzük. A

24 k + 5

és

24 k + 11

másodfajú prímszámokat pedig egyféleképp tudjuk előállítani a

2 x^{2} + 3 y^{2}

alakkal. Ha az utóbbiba egyszer

x = 1

y = 0

, másodszor

x = 0

y = 1

értéket használunk, akkor látjuk, hogy a 2 és 3 is a másodfajú prímszámok közé veendő.
Az (1) kapcsolat azonnal mutatja, hogy két elsőfajú prímszám szorzata kétféleképp bontható egy négyzet és egy másik négyzet hatszorosának összegére. A (2) és (3) alapján pedig látható, hogy az elsőfajú törzsszámok

6^{r}

-szerese is egyféleképp állítható elő az

x^{2} + 6 y^{2}

alakkal.

\begin{matrix} (2 α^{2} + 3 β^{2}) (2 x^{2} + 3 y^{2}) = {(2 α x + 3 β y)}^{2} + 6 {(β x + α y)}^{2} = \\ = {(2 α x - 3 β y)}^{2} + 6 {(β x + α y)}^{2} \end{matrix}

azonosság pedig arról tanúskodik, hogy két másodfajú prímszám szorzata kétféleképp állítható elő az

x^{2} + 6 y^{2}

alakkal. Ennek speciális esetei

\begin{matrix} 2 (2 α^{2} + 3 β^{2}) = {(2 α)}^{2} + 6 β^{2}, \\ 3 (2 α^{2} + 3 β^{2}) = {(3 β)}^{2} + 6 α^{2} . \end{matrix}

Végül egy elsőfajú és egy másodfajú törzsszám szorzata kétféleképp fejezhető ki a

2 x^{2} + 3 y^{2}

alakkal. Írható ugyanis

\begin{matrix} (α^{2} + 6 β^{2}) (2 x^{2} + 3 y^{2}) = 2 {(α x + 3 β y)}^{2} + 3 {(α y - 2 β x)}^{2} = \\ = 2 {(α x - 3 β y)}^{2} + 3 {(α y + 2 β x)}^{2} . \end{matrix}