Kezdőlap


Cím:	1929. A XXXIII. Eötvös Loránd matematikai tanulóverseny - 1.
Füzet:	1929/december, 130 - 131. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Hányféleképpen lehet 4 Pengőt aprópénzre felváltani?
(Aprópénz az 1, 2, 10, 20 és 50 filléres.)

2. Bebizonyítandó, hogy az

\begin{matrix} 1 - (\binom{n}{1}) x + (\binom{n}{2}) x^{2} - (\binom{n}{3}) x^{3} + \dots + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) x^{k} \end{matrix}

k

-ad fokú függvény pozitív értékű, ha

\begin{matrix} 0 \leq x < \frac{1}{n} . \end{matrix}

Itt

k

n

-nél nem nagyobb pozitív egész számot jelent,

(\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots (\binom{n}{k})

pedig a binomiális együtthatók ismert jelölései.

3. Adva van a síkban három, egy ponton átmenő és egymással páronként

60^{\circ}

-os szöget bezáró egyenes:

p

q

r

, továbbá három hosszúság:

a \leq b \leq c

. Bebizonyítandó, hogy azok a pontok, amelyeknek az adott egyenesesektől való távolsága rendre kisebb

a

b

, ill.

c

-nél, akkor és csak akkor alkotják egy hatszög belsejét, ha

a + b > c

.
Ha e feltétel ki van elégítve, mekkora e hatszög kerülete?

1929. okt. 26.