Kezdőlap


Cím:	A 419. feladat tételeinek alkalmazása és általánosítása
Szerző(k):	Dr. Sárközy Pál
Füzet:	1929/január, 155 - 156. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/november: 419. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A feladat tételeit előnyösen alkalmazhatjuk a számok oszthatóságának megítélésénél. A c) tételéből azonnal látható, hogy az $M = 10 A + a$ szám akkor osztható a $10 λ - 1$ számmal, vagy ennek egyik tényezőjével, ha $A + λ a$ osztható vele. Az $M$ számnak a $10 λ - 1$ számmal való oszthatóságát tehát úgy próbáljuk meg, hogy az $M$ szám egyesét elvágjuk és ennek $λ$ -szorosát a megmaradt számhoz adjuk. Ezt az eljárást az új számon is végrehajtjuk annyiszor, amig kétjegyű vagy egyjegyű számra nem jutunk, melyről azonnal látható, osztható-e vagy nem $10 λ - 1$ -gyel.
1. Pl. $λ = 1$ esetében kapjuk, hogy 9-cel, vagy 3-mal osztható valamely szám, ha egyesét elvágva a megmaradt számhoz adjuk és az így nyert szám osztható 9-cel vagy 3-mal. Pl. 342 osztható-e 9-cel? Igen mert

\begin{matrix} 34 | \underset{̲}{2} \\ + 2 \\ \bar{36} \end{matrix}

osztható 9-cel. Ez az oszthatósági szabály úgy is fogalmazható, hogy valamely szám osztható 9-cel, vagy 3-mal, ha a számjegyek összege osztható vele.
2. Pl. Ha

λ = 2

, akkor kapjuk, hogy 19-cel osztható valamely egész szám, ha a kérdéses szám egyesének kétszeresét a többihez adva 19-cel osztható számot kapunk. Pl. 703 osztható-e 19-cel?

\begin{matrix} 70 | \underset{̲}{3} 7 | \underset{̲}{6} \\ + 6 + 12 \\ \bar{76} \bar{19} \end{matrix}

Tehát 703 osztható 19-cel.
Hasonlóképp kapjuk a

λ = 3, 4, 5 ...

esetében a 29-cel, 39-cel, 49-cel

...

való oszthatóságot. Mivel 13 a 39 osztója, tehát a 13-mal való oszthatóságot úgy próbáljuk, hogy a szám egyesének négyszeresét hozzáadjuk a megmaradthoz.
II. Az előbbihez hasonlóan mondhatjuk, hogy az

M

egész szám akkor osztható a

10 μ + 1

számmal, vagy ennek valamely osztójával, ha az

M

-ben az egyest elvágva ennek

μ

-szörösét levonjuk a megmarad számból és ez osztható

10 μ + 1

-gyel.
3. Pl.

μ = 1

esetét véve mondhatjuk, hogy a 11-gyel való oszthatóságot úgy próbáljuk meg, hogy az egyest levonjuk a többi számból.
Pl. 1529 osztható-e 11-gyel?

\begin{matrix} 152 | \underset{̲}{9} 14 | \underset{̲}{3} \\ - 9 - 3 \\ \bar{143} \bar{11} \end{matrix}

Tehát 1529 osztható 11-gyel.
4. Pl.

μ = 2

esetében kapjuk, hogy 21-gyel, vagy mivel 7 ennek tényezője, a 7-tel való oszthatóság próbája, hogy a szám egyesének kétszeresét levonjuk a megmaradt számból.
Pl. 2051 osztható-e 7-tel?

\begin{matrix} 205 | \underset{̲}{1} 20 | \underset{̲}{3} \\ - 2 - 6 \\ \bar{203} \bar{14} . \end{matrix}

Mivel 14 a 7 többszöröse, tehát 2051 is osztható 7-tel.

μ = 3, 4, 5, ...

esetét véve kapjuk a 31, 41, 51

...

számokkal való oszthatóság szabályát. Mivel 17 az 51 osztója, tehát a 17-tel való oszthatóságot úgy vizsgáljuk, hogy a szám egyesének ötszörösét levonjuk a megmaradt számból.
III. A feladat tétele általánosítható. Az

M = 100 B + b

akkor osztható (

100 ν - 1

)-gyel, ha

\begin{matrix} B + ν b \end{matrix}

osztható vele. A

100 ϱ + 1

-gyel pedig akkor osztható az

M

, ha

\begin{matrix} B - ϱ b . \end{matrix}

Írható ugyanis

\begin{matrix} M = 100 (B + ν b) - b (100 ν - 1) \\ M = 100 (B - ϱ b) + b (100 ϱ + 1) . \end{matrix}

M = 100 B + b

esetében

b

jelenti az

M

két utolsó számjegyéből álló számot,

B

pedig ezek elvágásával nyert számot.
Ez alapon mondhatjuk, hogy a (

100 ν - 1

)-gyel vagy ennek tényezőjével való oszthatóságot úgy próbáljuk, hogy a szám két utolsó számjegyéből álló szám

ν

-szeresét hozzáadjuk a megmaradt számhoz.
Keressük pl. 63879 osztható-e 199-cel?

\begin{matrix} 638 | \underset{̲}{79} 7 | \underset{̲}{96} \\ + 158 + 192 \\ \bar{796} \bar{199} \end{matrix}

Tehát osztható.
Hasonlóképp kapjuk, hogy

100 ϱ + 1

-gyel vagy ennek tényezőjével osztható valamely egész szám, ha két utolsó számjegyéből álló szám

ϱ

-szorosát kivonjuk a többiből és az így nyert különbség osztható

100 ϱ + 1

-gyel.
Tovább általánosíthatjuk a szabályt az

1000 σ - 1

és

1000 τ + 1

számokkal való oszthatóságra és ekkor a vizsgálandó szám három utolsó számjegyét kell elvágni.

Dr. Sárközy Pál.