A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A következő megoldás Lukács Ernő (a bpesti kegyesrendi gimn. volt növendékének) pályanyertes dolgozata. Megoldás. Hogy az derékszögű négyszög legyen, annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a , , és derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlók legyenek.
Mert, ha pl. a -nél lévő szöge , akkor a -nél lévő , ezt pedig -ra egésziti ki. Ebből következik, hogy BF:BG=CG:CH, vagyisy:(b+x)=x:(a+y), +bx=+ay. (I.)Az átlóra nézve (), Pythagoras tétele szerint =G+H; deG=+, ésH=+.
Eszerint=2+2bx+2+2ay++. (II.) Tekintettel I-re: | | (III.) | Innen: =-+ =--. Hasonlóan: =-+ =--. A megoldhatóság első feltétele, hogy és valós számok legyenek. Ezt kifejezik az relációk. A kettő közül azt használjuk, amelynél a baloldal értéke kisebb. A feladat szövege az oldalaknak ugyanazon irányban való meghosszabbítását követeli, tehát szükséges hogy és legyen. E követelményt közösen kifejezi az reláció, mely az előbbi kettőt feleslegessé teszi. Ez utóbbi összefüggés értelme, hogy nem lehet kisebb az négyszög átlójánál. és csak egyidejűleg lehet 0, mert ha úgy , mint . A keletkező derékszögű négyszög területe nem lehet kisebb, mint az eredetié. Jegyzet. A megoldásokban többen rámutattak arra, hogy a feladatot általánosabban fogva fel, a III. egyenlet mindkét megoldása tekintetbe vehető; azonban a két megoldás egybevágó téglalapokat szolgáltat. Ezt az egybevágóságot világosan látjuk akkor, ha az idom középpontjából a megadott átló felével kört rajzolunk, mely az idom oldalait, ill. meghosszabbításait két-két pontban metszi, feltéve, hogy az és oldalak mindegyikénél nagyobb Ha az , oldalak mindegyikénél nagyobb, de az idom átlójánál kisebb, azaz , akkor a III. egyenletnek mind a két gyöke negatív: az előbb említett kör metszéspontjai az , , , csúcspontok között vannak. Ha , akkor a szóban forgó kör az , , , csúcsokon halad keresztül; a keresett téglalap összeesik az adott téglalappal ( és ). Ha , akkor a III. egyenlet gyökei ellenkező előjelűek; legyen . Akkor, mivel azaz; ha pl. ábránk szerint , az értekét irányban ‐ -tól kezdve ‐ kell felmérnünk; végpontja a csúcstól távolságban lesz. Ugyanígy járva el a többi oldalakon is, oly idomot nyerünk, mely az -val egybevágó.
Az és idomoknak közös középpontjuk van! L. Ezen számban a 286. gyakorlatot.A gyökök szorzata, t. i. és a gyökök összege: . |