Cím: Az 1927. évi V. országos középiskolai tanulmányi verseny ‐ feladatmegoldás
Szerző(k):  Lukács Ernő 
Füzet: 1927/november, 77. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következő megoldás Lukács Ernő (a bpesti kegyesrendi gimn. volt növendékének) pályanyertes dolgozata.

 

Megoldás. Hogy az EFGH derékszögű négyszög legyen, annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a BFG, CGH, HED és EFA derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlók legyenek.
 
 

Mert, ha pl. a BFG F-nél lévő szöge α, akkor a G-nél lévő β=90-α, ezt pedig 90-ra α egésziti ki. Ebből következik, hogy BF:BG=CG:CH,
vagyisy:(b+x)=x:(a+y),
x2+bx=y2+ay. (I.)Az átlóra nézve (l), Pythagoras tétele szerint l2=GF2+HG2;
deGF2=y2+(b+x)2,
ésHG2=x2+(a+y)2.
¯¯
Eszerintl2=2x2+2bx+2y2+2ay+a2+b2. (II.)
Tekintettel I-re:
4x2+4bx+a2+b2-l2=0.(III.)
Innen: x1=-b2+l2-a22 x2=-b2-l2-a22.
Hasonlóan: y1=-a2+l2-b22 y2=-a2-l2-b22.
A megoldhatóság első feltétele, hogy x és y valós számok legyenek. Ezt kifejezik az
l2-a20ésl2-b20
relációk. A kettő közül azt használjuk, amelynél a baloldal értéke kisebb.
A feladat szövege az oldalaknak ugyanazon irányban való meghosszabbítását követeli, tehát szükséges hogy x0 és y0 legyen.
E követelményt közösen kifejezi az l2-a2-b20 reláció, mely az előbbi kettőt feleslegessé teszi. Ez utóbbi összefüggés értelme, hogy l nem lehet kisebb az ABCD négyszög átlójánál.
x és y csak egyidejűleg lehet 0, mert ha l2-a2-b2>0 úgy x1>0, mint y1>0. A keletkező derékszögű négyszög területe nem lehet kisebb, mint az eredetié.
 

Jegyzet. A megoldásokban többen rámutattak arra, hogy a feladatot általánosabban fogva fel, a III. egyenlet mindkét megoldása tekintetbe vehető; azonban a két megoldás egybevágó téglalapokat szolgáltat. Ezt az egybevágóságot világosan látjuk akkor, ha az ABCD idom középpontjából a megadott átló felével kört rajzolunk, mely az ABCD idom oldalait, ill. meghosszabbításait két-két pontban metszi, feltéve, hogy l az a és b oldalak mindegyikénél nagyobb*
Ha l az a, b oldalak mindegyikénél nagyobb, de az ABCD idom átlójánál kisebb, azaz l2<a2+b2, akkor a III. egyenletnek mind a két gyöke negatív:* az előbb említett kör metszéspontjai az A, B, C, D csúcspontok között vannak.
Ha l2=a2+b2, akkor a szóban forgó kör az A, B, C, D csúcsokon halad keresztül; a keresett téglalap összeesik az adott téglalappal (x=0 és x=-b).
Ha l2>a2+b2, akkor a III. egyenlet gyökei ellenkező előjelűek; legyen x1>0. Akkor, mivel
x1+x2=-b,x2=-(b+x1)
azaz; ha pl. ábránk szerint AE=x1, az x2 értekét AD irányban ‐ A-tól kezdve ‐ kell felmérnünk; x2 végpontja E' a D csúcstól x1 távolságban lesz. Ugyanígy járva el a többi oldalakon is, oly E'F'G'H' idomot nyerünk, mely az EFGH-val egybevágó.

*Az ABCD és EFGH idomoknak közös középpontjuk van! L. Ezen számban a 286. gyakorlatot.

*A gyökök szorzata, t. i. a2+b2-l2>0 és a gyökök összege: -b<0.