Kezdőlap


Cím:	Euler és a Fermat-féle probléma
Szerző(k):	Elek Tibor
Füzet:	1927/április, 256 - 258. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Euler, a világhírű német matematikus számára nem volt a matematikának olyan tartománya, olyan problémája, mellyel ne foglalkozott volna. Nem kerülte el figyelmét a még, ma is megoldatlan Fermat-féle probléma sem, mely tudvalevőleg annak a tételnek a megoldását követeli, hogy az $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ egyenletnek nincsenek pozitív egész számú megoldásai, valahányszor: $n > 2.$ A probléma általános megoldása ugyan Eulernek sem sikerült, de mégis ő volt az első, aki speciális esetekre, még pedig az $n = 3$ és 4 esetre bebizonyította a tételt. Euler után a Fermat-féle probléma megoldására irányuló törekvések a modern számelmélet két kutatójában összpontosultak; ezek Lejeune-Dirichlet és Kummer.
Euler először nem magának az $x^{4} + y^{4} = z^{4}$ egyenletnek a megoldhatatlanságát igazolja, hanem az $x^{4} + y^{4} = z^{2}$ egyenletét. A bizonyítás gondolatmenete a következő: Könnyen meggyőződhetünk arról, hagy a pozitív egész számoknak pl. $10$ -nél kisebb tagjai közölt egy megoldáscsoportja sincsen a fenti egyenletnek, ha tehát mégis volna egy pozitív egész számú $(α, β, γ)$ megoldás, ezeknek feltétlenül nagyobb számoknak kell lenniök. Most már Euler kimutatja, hogy egy ilyen $(α, β, γ)$ megoldáscsoportot feltételezve, található olyan $(α_{1}, β_{1}, γ_{1})$ megoldáscsoport is, melynek minden tagja pozitív egész szám, és amellett kisebb az előbbi megoldáscsoport valamelyik tagjánál. Így lefelé haladva, az előbb említett alacsonyabb régióba is eljutnánk, de erről már kimutattuk, hogy határain belül nincs megoldáscsoport és így a nagyobb számok között sem lehetnek megoldások. Lássuk tehát a levezetést:
Ha $α, β, γ$ megoldják az $x^{4} + y^{4} = z^{2},$ ill. ${(x^{2})}^{2} + {(y^{2})}^{2} = z^{2}$ egyenletet, szóval ha ${(α^{2})}^{2} + {(β^{2})}^{2} = γ^{2},$ akkor $α^{2}, β^{2}$ és $γ$ három összetartozó pythagorasi szám, minélfogva felírhatók szokott alakjukban:

\begin{matrix} α^{2} = u ν, β^{2} = \frac{u^{2} - ν^{2}}{2} és γ = \frac{u^{2} + ν^{2}}{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

u

és

ν

páratan relatív prímszámok és amellett

u > ν .

Most felhasználja Euler azt a jól ismert tételt, hogy ha egy négyzetszámot két, vagy több relatív prím kapcsolt tényezőre bontunk, akkor ezek is négyzetszámok [u. i. a négyzetszámokban minden törzstényező páros kitevőjű hatványon fordul elő; pl. ha:

a = p_{1}^{α_{1}}

p_{2}^{α_{2}} ... p_{n}^{α_{n}},

akkor

a^{2} = p_{1}^{2 α_{1}}

p_{2}^{2 α_{2}} ... p_{n}^{2 α_{n}}

, tehát az

α^{2} = u ν

összefüggésből

\begin{matrix} u = u_{1}^{2} és ν = ν_{1}^{2} . \end{matrix}

(2)

Itt természetesen

u_{1}

és

ν_{1}

is páratlan relatív prímszámok és

u_{1} > ν_{1} .

Ezen új számokkal kifejezve:

\begin{matrix} β^{2} = \frac{u^{2} - ν^{2}}{2} = \frac{u_{1}^{4} - ν_{1}^{4}}{2} = \frac{1}{2} (u_{1}^{2} + ν_{1}^{2}) (u_{1}^{2} - ν_{1}^{2}) . \end{matrix}

(3)

Most ismét új számokat vezetünk be; mivel két páratlan számnak összege is, különbsége is páros, azért írhatjuk:

\begin{matrix} u_{1} + ν_{1} = 2 u_{2}, és u_{1} - ν_{1} = 2 ν_{2} . \end{matrix}

(4)

Innét

\begin{matrix} u_{1} = u_{2} + ν_{2}, és ν_{1} = u_{2} - ν_{2} . \end{matrix}

(5)

Ezen értékeket

β^{2}

-nek (3)-beli értékébe téve a következő kifejezések fognak előfordulni:

\begin{matrix} u_{1}^{2} + ν_{1}^{2} = {(u_{2} + ν_{2})}^{2} + {(u_{2} - ν_{2})}^{2} = u_{2}^{2} + 2 u_{2} ν_{2} + ν_{2}^{2} + u_{2}^{2} - 2 u_{2} ν_{2} + ν_{2}^{2} = 2 (u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}), \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} u_{1}^{2} - ν_{1}^{2} = (u_{1} + ν_{1}) (u_{1} - ν_{1}) = 2 u_{2} \cdot 2 ν_{2} = 4 u_{2} ν_{2} . \end{matrix}

(7)

Mivel

u

ν

páratlan számok:

u = 2 k + 1, ν = 2 l + 1,

ezért ezt (1)-be téve:

\begin{matrix} β^{2} = \frac{1}{2} (u^{2} - ν^{2}) = \frac{1}{2} (u + ν) (u - ν) = \frac{1}{2} (2 k + 1 + 2 l + 1) (2 k + 1 - 2 l - 1) = \\ = \frac{1}{2} (2 k + 2 l + 2) (2 k - 2 l) = \frac{1}{2} \cdot 2 m \cdot 2 n = 2 m n, \end{matrix}

tehát

β^{2}

és így

β

is páros számok. Most már (6) és (7) alapján (3)-ban:

\begin{matrix} β^{2} = \frac{1}{2} (u_{1}^{2} + ν_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \cdot 2 (u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}) 4 u_{2} ν_{2} = 4 u_{2} ν_{2} (u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{β^{2}}{4} = {(\frac{β}{2})}^{2} = u_{2} ν_{2} (u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}) . \end{matrix}

(8)

Az előbbi megjegyzés alapján a (8) egyenlet baloldalán egy egész szám

\frac{β}{2}

négyzete áll.
Másrészről

u_{2}

és

ν_{2}

relatív prímszámok, mert ha pl. volna egy

t

közös osztójuk, akkor ez az (5) egyenletek szerint

u_{1}

-nek és

ν_{1}

-nek is közös oszlója volna, már pedig ezek relatív prímek. Ennélfogva

u_{2}

és

ν_{2}

relatív prímek, tehát a (8) egyenletre is alkalmazhatjuk a már egyszer felhasznált szabályt a négyzetszámok tényezőiről, más szóval felírhatjuk, hogy

u_{2}, ν_{2}

és

u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}

négyzetszámok, azaz pl.

\begin{matrix} u_{2} = α_{1}^{2}, ν_{2} = β_{1}^{2} és u_{2}^{2} + ν_{2}^{2} = γ_{1}^{2}, ill. α_{1}^{4} + β_{1}^{4} = γ_{1}^{2} . \end{matrix}

Ez azonban azt jelenti, hogy az

(α_{1}, β_{1}, γ_{1})

számcsoport is megoldja az

x^{4} + y^{4} = z^{2}

egyenletet, miáltal lehoztuk, hagy ha ennek az egyenletnek van egy pozitív egész számú megoldása, akkor van egy másik is, és ugyanígy egy 3-ik, 4-ik, stb. A teljes bizonyításhoz a lentebbiek szerint most már csak azt kell igazolnunk, hogy az

(α_{1}, β_{1}, γ_{1})

csoport minden tagja kisebb az

(α, β, γ)

csoport valamelyik tagjánál.
A (8) egyenletből;

\begin{matrix} β^{2} = 4 u_{2} ν_{2} (u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}) = 4 α_{1}^{2} β_{1}^{2} γ_{1}^{2}, ill. β = 2 α_{1} β_{1} γ_{1}, tehát β_{1} = \frac{β}{2 α_{1} γ_{1}}, \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} 2 α_{1} γ_{1} > 1, azért β_{1} < β . \end{matrix}

(9)

Ugyancsak a (8) egyenletből, visszafelé haladva:

γ_{1}^{2} = u_{2}^{2} + ν_{2}^{2}

és (4) figyelembevételével:

\begin{matrix} γ_{1}^{2} = {(\frac{u_{1} - ν_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{u_{1} - ν_{1}}{2})}^{2} = \frac{2 (u_{1}^{2} + ν_{1}^{2})}{4} = \frac{u + ν}{2} . \end{matrix}

Másrészről (1) szerint

\begin{matrix} γ = \frac{u^{2} + ν^{2}}{2} > \frac{u + ν}{2}, azaz γ_{1}^{2} < γ, és így γ_{1} < γ . \end{matrix}

(10)

Bizonyítani kell még, hogy

α_{1} < α .

Már most

\begin{matrix} α_{1}^{2} = u_{2} és 4) szerint u_{2} = \frac{u_{1} + ν_{1}}{2} . \end{matrix}

Továbbá (2) szerint

u_{1} = \sqrt[]{u}

és

ν_{1} = \sqrt[]{ν}

és (1)-ből

u ν = α^{2}

\begin{matrix} α_{1}^{2} = u_{2} = \frac{u_{1} + ν_{1}}{2} = \frac{\sqrt[]{u} + \sqrt[]{ν}}{2} < u ν = α^{2} \end{matrix}

mert ‐ egész számokról lévén szó ‐

\sqrt[]{u} < u ν

és

\sqrt[]{ν} < u ν .

Eszerint tényleg

\begin{matrix} α_{1}^{2} < α^{2} és így α_{1} < α . \end{matrix}

Látjuk tehát, hogy az

x^{4} + y^{4} = z^{2}

egyenletet közönséges egész számok nem elégíthetik ki, más szóval

x^{4} + y^{4}

nem lehet négyzetszám, tehát még kevésbé egész szám negyedik hatványa.^{$^{*}$} (Biquadratikus szám).
Budapest.

Elek Tibor

a m. kir. áll. ,,Kemény Zsigmond'' főreál VIII o. tanulója.

^{$^{*}$}A történeti igazság kedvéért megjegyezzük, hogy az

x^{4} + y^{4} = z^{2}

egyenletre vonatkozó megállapítás már Fermat híres széljegyzetei között található, mint odavetett gondolat.
A bizonyításnak gondolatmenetét, begy t, i. ha az

(α, β, γ)

számok kielégítik az

x^{4} + y^{4} = z^{2}

egyenlet akkor van egy kisebb számokból álló megoldás is s. i. t., szintén alkalmazza Fermat a feladatok bizonyos csoportjára.