Kezdőlap


Cím:	A folytatólagos osztásról
Szerző(k):	Dr. Veress Pál
Füzet:	1925/szeptember, 5 - 6. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Folytatólagos osztásnak vagy aranymetszésnek nevezzük az $a$ távolságnak a két olyan egyenlőtlen részre való bontását, hogy a nagyobbik rész mértani közepe legyen a kisebbik résznek és az egész távolságnak. Olvasóink előtt ismeretes a folytatólagos osztás szerepe a geometriában (a szabályos ötszög területének, a $18^{\circ}$ -os szög szögfüggvényeinek meghatározásában). Most megismerkedünk a folytatólagos osztás egy másik szerepével.
Az $a$ távolságnak ilyen arányban osztott részei közül jelölje $x$ a nagyobbikat, $a - x$ a kisebbiket. A definíció szerint fennáll az

\begin{matrix} x^{2} = a (a - x) \end{matrix}

(*)

egyenlet.
Ha

a

egész szám, akkor

x

irracionális, de bizonyos

a

egész számokhoz található oly

x

egész szám, mely az 1. egyenletet egy egésznyi eltérésre kielégíti. Vagyis az ilyen

a

és

x

számokra, vagy az

\begin{matrix} x^{2} = a \cdot (a - x) + 1, \end{matrix}

(*)

vagy pedig az

\begin{matrix} x^{2} = a \cdot (a - x) - 1, \end{matrix}

(*)

egyenlet áll fenn.
Például, ha

a = 8

, az

x = 5

kielégíti a 2. egyenletet.
Az

a - x

x

a

három, egész számból álló számcsoportot nevezzük a folytatólagos osztás egy egész számú megközelítésének, ha azok a 2. vagy 3. egyenletet kielégítik. Amint Fechner számos megfigyelésből kimutatta (Fechner‐Lipps: Kollektív Masslehre), képkeretek, ablakok, könyvek szélességének és hosszúságának viszonya legtöbb esetben az

\frac{a - x}{a}

vagy

\frac{x}{a}

értéket mutatja, mert formaértékünknek ez az arány felel meg legjobban. (L. pld. Kornis: Pszichologia és Logika középiskolai tankönyvét, 77. o.) Dobozok méreteiben legtöbbször az

(a - x) : x : a

összetett viszonyt találjuk, ahol e három szám a folytatólagos osztás egy egész számú megközelítése.

71. Feladat: Meghatározni a folytatólagos osztás összes lehetséges egész számú megközelítéseit.

72. Feladat: Legyen adva az

O P = a

távolság. Megszerkesztjük a

P_{1}

pontot, mely az

O P

távolságot folytatólagos arányban osztja úgy, hogy

O P_{1} = x

legyen a nagyobbik darab. A

\bar{P_{1} P}

távolságot mérjük át a

P_{1}

másik oldalára, az így nyert pont legyen

P_{2}

, most

\bar{O P_{2}}

távolságot mérjük át

P_{2}

másik oldalára, nyerjük a

P_{3}

pontot. A

\bar{P_{1} P_{3}}

távolság átvitele a

P_{3}

másik oldalára adja a

P_{4}

pontot és így tovább (l. az ábrát).

Bebizonyítandó, hogy a pontok

P_{n}

sorozata konvergál és

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} O P_{n} = a - x . \end{matrix}

Kispest, Deák Ferenc reálgimn.

Veress Pál

tanár