Kezdőlap


Cím:	Pythagoras tételének bizonyítása
Szerző(k):	Janicsek József , Pollák Sándor
Füzet:	1911/október, 31 - 32. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Kiindulunk egy ismeretes tételből: ,,Hasonló idomok területei úgy aránylanak, mint a megfelelő távolságok négyzetei''. Ha tehát két hasonló idom területét $t_{1}$ -gyel, illetőleg $t_{2}$ -vel és a megfelelő távolságokat $a_{1}$ -gyel, illetőleg $a_{2}$ -vel jelöljük, akkor

\begin{matrix} t_{1} : t_{2} = a_{1}^{2} : a_{2}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{t_{1}}{a_{1}^{2}} = \frac{t_{2}}{a_{2}^{2}} = σ = konst., \end{matrix}

és így

\begin{matrix} t_{1} = a_{1}^{2} \cdot σ, t_{2} = a_{2}^{2} \cdot σ . \end{matrix}

Rajzoljunk már most az

A B C

derékszögű háromszög (

C ∢ = 90^{\circ}

)

c

átfogójára akármilyen idomot és az

a

b

átfogókra pedig ehhez hasonló olyan idomokat, amelyekben

a

b

és

c

megfelelő távolságok legyenek, akkor az egyes idomok területét

t_{a}

t_{b}

t_{c}

-vel jelölve

\begin{matrix} t_{a} = a^{2} \cdot σ, t_{b} = b^{2} \cdot σ, t_{c} = c^{2} \cdot σ . \end{matrix}

Bocsássunk a

C

-ből merőlegest az

A B

oldalra és jelöljük az

A B

-vel való metszéspontját

D

-vel, akkor

\begin{matrix} B C D Δ \sim C A D Δ \sim A B C Δ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} B C D Δ = a^{2} \cdot τ, C A D Δ = b^{2} \cdot τ, A B C Δ = c^{2} \cdot τ . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} B C D Δ + C A D Δ = A B C Δ \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a^{2} τ + b^{2} \cdot τ = c^{2} \cdot τ, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2}, \end{matrix}

ami Pythagoras tétele. Ha ezen egyenlet minden egyes tagját

σ

-val megszorozzuk, akkor

\begin{matrix} a^{2} \cdot σ + b^{2} \cdot σ = c^{2} \cdot σ, vagyis t_{a} + t_{b} = t_{c} . \end{matrix}

,,Valamely derékszögű háromszög átfogójára rajzolt tetszésszerinti idom területe annyi, mint a befogókra rajzolt és hozzá hasonló idomok területeinek összege, feltéve, hogy ezen hasonló idomokban a derékszögű háromszög oldalai megfelelő távolságok.''

Pollák Simom.

II. A

\begin{matrix} sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β \end{matrix}

(1)

képlet bizonyítása független a Pythagoras-féle tételtől. Valamely derékszögű háromszögben

\begin{matrix} sin (α + β) = sin 90^{\circ} = 1, sin α = cos β = \frac{a}{c}, cos α = sin β = \frac{b}{c}, \end{matrix}

amely értékeket 1)-be téve

\begin{matrix} 1 = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}, ahonnan a^{2} + b^{2} = c^{2} . \end{matrix}

Janicsek József.