Kezdőlap


Cím:	A mértani sor grafikai vizsgálata
Szerző(k):	Dr. Goldziher Károly
Füzet:	1909/november, 52 - 55. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} 1, q, q^{2}, ... q^{n - 1} \end{matrix}

n

tagú mértani sor általános tagját jellemző

\begin{matrix} y = q^{x} \end{matrix}

kifejezés grafikonja a derékszögű koordináta-rendszerben az ú. n. exponenciális görbe.
(Ábránkban az egység

5 mm

és

q = 1, 4 egység

, tehát

7 mm

A számtani sor vizsgálatánál a megfelelő grafikon egyenes.^{$^{*}$}
A következőkben megmutatjuk, hogy a mértani sor elméletét is igen egyszerű eljárással szintén egyenes vonalú grafikonnal hozhatjuk kapcsolatba, amiáltal a mértani sor tárgyalása és a mértani sorra vezető gyakorlati feladatok megoldása szemléletes és praktikus módon végezhető el. Az eljárás alapgondolata a következő:^{$^{*}$} Ha az abszczissza tengelyen nem a szokott, vagyis egyenlő távolságokban, hanem az adott

q

szerint haladó mértani sorban tűzzük ki az egyes abszcisszákat, akkor a megfelelő ordináták (a mértani sor egyes tagjai) végpontjainak mértani helye egyenes.

1^{\circ}

. A 2. ábrában, amely

q > 1

esetet mutatja be, legyen:

\begin{matrix} O E = O A_{1} & = 1 = az első tag \\ A_{1} B_{1} & = q = a második tag. \end{matrix}

Kössük össze

E

-t

B_{1}

-gyel és folytassuk a szerkesztést

\begin{matrix} A_{1} A_{2} = A_{1} B_{1} = q, A_{2} A_{3} = A_{2} B_{2}, A_{3} A_{4} = A_{3} B_{3}, ... A_{n} A_{n - 1} = A_{n - 1} B_{n - 1} . \end{matrix}

Húzzunk azután

E

-ből párhuzamost az abszcisszatengellyel, amely az egyes ordinátákat rendre a

C_{1}, C_{2},1 ... C_{n}

pontokban metszi, akkor

\begin{matrix} Δ E C_{1} B_{1} \sim Δ E C_{2} B_{2} \sim ... \sim Δ E C_{n} B_{n}, \end{matrix}

tehát pl.

\begin{matrix} E C_{1} : C_{1} B_{1} = E C_{2} : C_{2} B_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 1 : (q - 1) = (1 + q) : (A_{2} B_{2} - 1), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A_{2} B_{2} = q^{2} = a harmadik tag. \end{matrix}

Hasonlóképp bebizonyítható, hogy általában

\begin{matrix} A_{n - 1} B_{n - 1} = q^{n - 1} = az n -ik tag. \end{matrix}

Ebből látható, hogy az

E B_{1}

egyenes a mértani sor tagjait ábrázoló ordináták végpontjainak mértani helye. Ha a mértani sor első tagja nem az egység, hanem

a_{1}

és a hányadosa

q

, akkor

O E = a_{1}

-nek veendő és

A_{1} B_{1}

pedig

a_{2} = a_{1} \cdot q

-nak. Ha az ábrázolást milliméterpapiroson végezzük, akkor a mértani sor egyes tagjai

1 - 2

tizedes pontossággal leolvashatók. (Ábránkban

O E = egység = 5 mm

A_{1} B_{1} = q = 1 \cdot 4 egység = 7 mm

.)
A grafikonról a mértani sor összege is leolvasható és az ismert összegző képlet (

s_{n}

értéke) minden mesterkéltség nélkül levezethető. Ugyanis a szerkesztés szerint

\begin{matrix} s_{n} = 1 + q + q^{2} + ... + q^{n - 1} = O A_{1} + A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + ... + A_{n - 1} A_{n} = O A_{n} . \end{matrix}

Tehát a mértani sor

n

tagjának összegét az

O A_{n}

egyenesdarab ábrázolja, amelynek hossza az

E C_{1} B_{1}

és

E C_{n} B_{n}

hasonló háromszögek segítségével így számítható ki:

\begin{matrix} E C_{n} : C_{n} B_{n} = E C_{1} : C_{1} B_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} s_{n} : q^{n} - 1 & = 1 : q - 1 \\ s_{n} & = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

Ha pedig az első tag

a_{1}

, akkor az összeg

\begin{matrix} S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

2^{\circ}

. A 3. ábra a

0 < q < 1

esetet szemlélteti. Ezen, egyszerűség kedvéért

O E = első tag = 1 egység

és

A_{1} B_{1} = a második tag = q

. (

1 egység = 25 mm

q = 0, 56 egység = 14 mm

.) A tagok végpontjainak mértani helye, ─ éppúgy, mint az előbbi esetben, ─ az

E B_{1}

egyenes.

Mennél nagyobb lesz

n

, annál jobban sűrűsödnek az

A

pontok. Az ábra igen szemléletesen mutatja, hogy az

n = \infty

esetben az

A

pontok határpontja az

S

pont, amelyben

E B

az abszcisszatengelyt metszi.^{$^{*}$} Az

S

pontot az jellemzi, hogy

\begin{matrix} A_{S} B_{S} = 0 \end{matrix}

és a tagoknak sora kisebbedő ugyan, de a tagok negatívok nem lehetnek. Az

S

pontnak

O

felé terjedő környezetében

n = \infty

esetében végtelen sok

A

pont fekszik, amelyek sűrűsödésének felső határát az

S

pont jelzi:^{$^{*}$}
A jelen esetben is az első

n

tag összegét az

O A_{n}

egyenesdarab szemlélteti. Mint

1^{\circ}

-ben, úgy itt is kimutatható hasonló háromszögek segítségével, hogy

\begin{matrix} s_{n} = O A_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} . \end{matrix}

A tudományok története (,,Achilles és a teknősbéka'' paradoxona, stb.) igazolja, hogy a sorok közelebbi tanulmányozása előtt milyen sok nehézséggel jár annak az alapvető gondolatnak tudatos megértése, hogy az összetartó sor elméletében végtelen sok tag esetében is beszélhetünk véges összegről. Fontos dolognak tartjuk tehát, hogy azon a fokon, amelyen a végtelen sorok elméletének még első elemei sem ismeretesek, legalább szemléletes úton törekedjünk az említett kijelentésben első pillanatra felmerülő paradoxon megszüntetésére. A 3. ábra ugyanis szemléletesen mutatja, hogy mivel

n = \infty

esetében sem haladhatunk túl az

S

ponton és mivel

n = \infty

esetben e pontot tényleg el is kellene érnünk, az

O S

véges egyenesdarabbal tényleg előállíthatjuk a végtelen sor folyton jobban és jobban kisebbedő és a 0 felé közeledő, de a 0-nál kisebbé nem válható tagok összegét.^{$^{*}$} Sőt egyszerű mértani megfontolással ki is számíthatjuk az

O S

darab hosszát, vagyis azt a mértékszámot, melyet a

| q | < 1

esetében a végtelen mértani sor összegének (

S_{\infty}

) tekinthetünk. Az

O E S

és az

S A_{1} B_{1}

háromszögek hasonlók, tehát

\begin{matrix} O S : O E & = A_{1} S : A_{1} B_{1} \\ O S : 1 & = (O S - 1) : q, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O S = S_{\infty} = \frac{1}{1 - q} . \end{matrix}

Dr. Goldziher Károly.

^{$^{*}$}L. ,,A számtani sor grafikai vizsgálata'', Középisk. Math. Lapok XVI. 1908. 112.

^{$^{*}$}E gondolatot értékesítette a kamatos-kamat- és járadék-számítás gyakorlatának grafikai feldolgozásában Th. Nonne: ,,Zinseszins- und Rentenrechnung mit Hilfe graphyscher Darstellung'' (Berlin, R. Eisenschmidt 1903) c. dolgozata.

^{$^{*}$}Lásd a ,,Középisk. Math. Lapok'' 1909. évi áprilisi számában Orbán Gyula: A mértani sor grafikai vizsgálata című cikkét.

^{$^{*}$}E meggondolásnak a végtelen mértani sor rendes tárgyalásában az a megjegyzés felel meg, hogy $| q | < 1$ esetében a $q^{n}$ értéke $n$ nagyobbodásával a $0$ értékhez közeledik. A rajz szemléletesen mutatja, hogy e határértéket $n = \infty$ esetében a mértani sor tagjai tényleg el is érik, mivel az $E B$ és az $O A$ egyeneseknek mindig van metszési pontjuk, ha $| q | < 1$ . Az elemi tárgyalásban e körülmény pontosan nem bizonyítható be, mivel ehhez a határértékek pontosabb tanulmányozása volna szükséges. A grafikai eljárás fontossága abban áll, hogy e ponton szemléletes úton segít át, de jelezve, hogy a magasabb elmélet dolga lesz a szigorú algebrai bebizonyítás.

^{$^{*}$}Az algebrai tárgyalásban ennek megfelel az a megjegyzés, hogy az $s_{1}, s_{2}, s_{3},1 ... s_{n}, ...$ részletösszegek mindig végesek maradnak (l. ábrát) és $n$ vég nélküli nagyobbodásával az $S_{\infty}$ véges határértékhez közelednek. A grafikai megfontolás szemléletesen pótolja annak a szigorú bebizonyítását, hogy e véges határérték $n = \infty$ esetben tényleg létezik is.