Cím:	A geometriai kutatás módszereiről 5.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1910/április, 193 - 199. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A GEOMETRIAI KUTATÁS MÓDSZEREIRŐL. (V.)   Geometriai helyek és alkalmazásaik feladatok megfejtésénél.   Mindazon pontok összessége, amelyek adott föltételeknek eleget tesznek, tehát adott tulajdonságúak, geometriai helyet alkotnak. Ezt a fogalmat Plato vezette be a geometriába. A középiskolai geometria anyagában számos geometriai hely szerepel, s így azok közül szükségtelen példákat felsorolnunk. A geometriai hely megállapításánál néhány speciális fekvésű pont megfigyelésével kezdjük a munkát, kutatván, vajon miféle vonal lehet az, amely ezeken a speciális pontokon áthaladva, a feladat követelményeinek minden tekintetben megfelel. Ha ez iránt tisztába jöttünk, akkor két eljárást követhetünk. Első eljárás. A) Kimutatjuk, hogy a kérdéses vonal minden pontjának megvannak a követelt tulajdonságai. B) Kimutatjuk, hogy azok a pontok, melyek nem tartoznak a geometriai helyhez, azon tulajdonságokkal nem bírnak. Második eljárás. A) Kimutatjuk, hogy egy a kérdéses tulajdonságokkal biró tetszésszerinti pont az illető geometriai helynek pontja. B) Megállapítjuk, hogy az egész vonal a geometriai helyhez tartozik, vagy megszabjuk, hogy a vonalnak mely részei tartoznak hozzá. Lássuk egy-két példában, miként lehet a geometriai helyet megállapítani. Első mód. Kerestetik azon pontok geometriai helye, melyekből az adott $BC$ távolság ugyanazon szög alatt látszik. Ha $A$ a geometriai helynek egy pontja, akkor az $A\mathrm{,}B\mathrm{,}C$ pontok kört határoznak meg, mely átmegy a $BC$ távolság végpontjain. Ennek a körnek a $BC$ távolság fölötti ívén minden $M$ pont kielégíti a föltételt; mert a $BMC$ szögek egyazon körívhez tartozó kerületi szögek lévén, egyenlőek.     Minden oly pont, mely nem fekszik a kérdéses köríven, a feltételt nem elégíti ki. Ugyanis, ha a pont a körön belül fekszik, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sphericalangle BIC>\sphericalangle BAC\mathrm{,}}\end{array}$ mert mértékszáma egyenlő $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\text{ arc }BC+\frac{1}{2}\text{ arc }MN}\end{array}$ mértékszámával, ez pedig nagyobb mint $\frac{1}{2}\text{ arc }BC$ mértékszáma; ha pedig a pont kívül fekszik, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sphericalangle BKC<\sphericalangle BAC\mathrm{,}}\end{array}$ mert mértékszáma egyenlő $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\text{ arc }BC-\frac{1}{2}\text{ arc }MP}\end{array}$ mértékszámával, az pedig kisebb mint $\frac{1}{2}\text{ arc }BC$ mértékszáma. Most még a feladat tágítása, esetleg specializálása marad hátra. Ha az idomot $XY$ mint tengely körül a $BC$ távolság másik oldalára átfordítjuk, akkor azt a másik körívet kapjuk, mely a feladat föltételének szintén megfelel. A két körívet egész körökké kiegészítő ívek azon pontok geometriai helyei, melyekből az adott $BC$ távolságot az adott szögnek szupplementáris szöge alatt látni. Ha az adott szög derékszög, akkor a geometriai helyek a $BC$ távolság két oldalán fekvő félkörök, melyek egymást körré egészítik ki. Innét a következő tétel: A sík azon pontjai, melyekből egy adott távolságot derékszög alatt látni, azon a körön fekszenek, melynek az adott távolság az átmérője. (Thales tétele.) Második mód. Kerestetik azon pontok geometriai helye, amelyeknek két adott ponttól mért távolságai állandó értékű arányban állanak. Legyen $\frac{m}{n}$ az arány constans értéke. Az $AB$ egyenesen és meghosszabbításán mindig található egy belső $M$ és egy külső $N$ pont úgy, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{MA}{MB}=\frac{NA}{NB}=\frac{m}{n}}\end{array}$ legyen. Ennélfogva az $M\mathrm{,}N$ pontok a geometriai helyhez tartoznak. A helynek egy más, tetszés szerinti $C$ pontjára nézve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{CA}{CB}=\frac{m}{n}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{CA}{CB}=\frac{MA}{MB}=\frac{NA}{NB}\mathrm{.}}\end{array}$ Ámde az $ACB$ szögnek és kiegészítő szögének $BCD$-nek szögfelezői az alapon oly két pontot határoznak meg, melyeknek az $A\mathrm{,}B$ pontoktól mért távolságainak aránya $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{MA}{MB}=\frac{NA}{NB}=\frac{CA}{CB}=\frac{m}{n}\mathrm{,}}\end{array}$ s így a $CM$ és $CN$ egyenesek maguk a kérdéses szögfelezők. Szupplementáris szögeknek felező vonalai azonban merőlegesek, s így $\sphericalangle MCN=R$, s a $C$ pont azon a körön fekszik, amelyet az $MN$ átmérő fölött szerkeszthetünk.     Ezen körnek minden pontja megfelel a föltételeknek, s a síknak semmiféle más pontja nem felel meg azoknak, így tehát a talált kör lesz a keresett geometriai hely. Kerestetik azon pontok geometriai helye, amelyeknek két egymást metsző egyenestől mért távolságai állandó összeget adnak. Első sorban világos, hogy a $BX\mathrm{,}BY$ egyenesek mindegyikén fekszik egy oly pont, mely a geometriai helyhez tartozik. Ugyanis, ha $l$ a távolságok adott összege, akkor $BY$-nak azon $C$ pontja, mely $BX$-től $l$-nyire fekszik, a föltételnek megfelel; mert $C$-nek $BY$-tól mért távolsága $=0$.     Ezt a $C$ pontot úgy találjuk meg, ha $M\text{'}$-ben $BX$-re merőlegeset állítunk, s erre $L\text{'}$-ig $l$-nyi darabot felrakunk, s $L\text{'}$-en keresztül $BX$-hez párhuzamosat húzunk. $BX$-en hasonlóképpen megtaláljuk az $A$ pontot. Különben $BA=BC$, mert az a háromszög, amelynek két magassági vonala egyenlő, egyenlőszárú. Minthogy az egyenlőszárú háromszög alapjának pontjaira nézve a száraktól mért távolságok összege állandó, s egyenlő a szárakhoz tartozó magassággal, tehát föltehető, hogy a geometriai hely az $AC$ egyenes. Megvizsgálandó, vajon ezen egyenesnek minden pontja megfelel-e a föltételnek? Az $AC$ alap meghosszabbításán fekvő bármely $O\text{'}$ pontra nézve $\begin{array}{c}{\displaystyle O\text{'}M\text{'}-O\text{'}L\text{'}=M\text{'}L\text{'}=l\mathrm{.}}\end{array}$ Ha tehát a távolságokat pozitívoknak tekintjük, akkor csakis a háromszög alapjának pontjai felelnek meg a követelménynek; mert az alap meghosszabbításai azon pontok geometriai helyét adják, melyekre nézve a két távolság különbsége állandó. A feladat megoldása még nem teljes. Ugyanis a $BX\mathrm{,}BY$ egyenesek határtalanok, s így a $B$ körül keletkező mind a négy szög tekintetbe veendő. Ily módon a következő tételt nyerjük: Azon pontok, melyeknek két egymást metsző egyenestől mért távolságai állandó összeget adnak, az $ACDE$ derékszögű paralelogrammán fekszenek; azon pontok pedig, melyeknek két egymást metsző egyenestől mért távolságai állandó különbséget adnak, az $ACDE$ derékszögű paralelogramma oldalainak meghosszabbításain fekszenek.     Oly idomok, melyek a feladat követelményeinek előjelváltozás mellett megfelelnek, komplementáris idomoknak neveztetnek. Az idomok együttesen a teljes geometriai helyet szolgáltatják. Tárgyalt esetünk erre nézve jellegzetes például szolgálhat. Lássuk már most a geometriai helyek egynémely alkalmazását geometriai feladatok megfejtésénél. Számos olyan feladat van, amelyeknél egy bizonyos pontot kell meghatározni. Ily esetekben a kérdéses pontot rendszerint mint két geometriai hely metszéspontját nyerjük. Ha a geometriai helyek egyenesek, akkor csakis egy pontot nyerünk; de ha egyikük, vagy talán mindkettő görbe vonal, akkor több megoldás is lehetséges. Így pl. ha az egyik geometriai hely kör (általában kúpszelet), akkor egyenes és kör (kúpszelet) metszéspontjainak esetei forognak fenn, s a nyert két megoldás lehet valós és különböző, valós és egybeeső vagy képzetes. A megoldásnál már most úgy járunk el, hogy a feladat föltételeinek egyikét mellőzvén, a többieknek megfelelő geometriai helyet megállapítjuk. Aztán a mellőzött föltételt egy másik helyébe tevén, a második geometriai helyet határozzuk meg. Természetes dolog, hogy a mellőzendő föltételt úgy fogjuk megválasztani, hogy a keresendő geometriai helyek lehetőleg egyszerűek legyenek. Ha a keresett pont egy adott egyenesnek pontja, akkor csupán egy geometriai helyet kell meghatároznunk. Első sorban ezt az egyszerűbb esetet mutatjuk be. Adott körön fölveszünk egy $A$ pontot és egy $BC$ húrt. Fektessünk az $A$ ponton át egy oly második húrt, amelyet a $BC$ húr felez. Ha a felezőpont ismeretes, akkor a feladat meg van oldva. De a felezőpont az adott $BC$ húron fekszik, tehát csupán egy geometriai helyet kell meghatároznunk. Legyen $ADE$ a keresett húr, melynek $D$ a $BC$ húron fekvő közepe.     Ez a $D$ pont azonban közepe levén az $A$ ponton átmenő $AE$ húrnak, meg kell határozni az $A$ ponton átmenő húrok közepeinek geometriai helyét. Esetünkben $A$ az adott kör kerületének pontja; de a feladatot általánosabban oldjuk meg, amennyiben az adott pontot a körön belül vesszük föl. (Azt az esetet, mikor $A$ a körön kívül fekszik, az olvasóra bízzuk.) A kérdéses geometriai hely átmegy az adott kör $O$ középpontján, mert ez az $A$-n keresztül húzható diaméter felezőpontja. Átmegy még az $A$ ponton is, mert ez a diaméterre merőleges $GH$ húr felezőpontja. Egy tetszés szerinti $BC$ húr $D$ közepére nézve tudjuk, hogy az a kör középpontjából a húrra állított merőlegesnek talppontja. Tehát $ADO\sphericalangle =R$, s így a $D$ pont azon a körön fekszik, amelynek $AO$ a diamétere. Ez az okoskodás fennáll akkor is, ha $A$ az adott kör kerületén fekszik. Esetünkben tehát a keresett húrközép egyrészt az adott $BC$ húron, másrészt az $AO$ sugár mint átmérő fölött szerkesztett körön fekszik, s így két megoldást nyerünk, amelyek lehetnek valósak és különbözők, mint azt az ábra mutatja; valósak és egybeesők, ha az adott húr a geometriai hely körét érinti és képzetesek, ha az adott húr a geometriai hely körét elkerüli. Arra az esetre, amikor két geometriai hely veendő tekintetbe, a következő feladatot tárgyaljuk: Megszerkesztendő a háromszög, ha ismerjük alapját, magasságát és az alappal szemközt fekvő szögét. Ha csak az adott magasságot vesszük tekintetbe, akkor a háromszög harmadik csúcspontja azon az egyenesen fekszik, amely az alappal párhuzamos és tőle a magassággal egyenlő távolságra fekszik.     Ha csak az adott szöget tekintjük, akkor a harmadik csúcspont az alap végpontjain átmenő azon körön fekszik, amelyben az alaphoz mint húrhoz az adott szög tartozik mint kerületi szög. A keresett pont ezen két geometriai helynek lesz metszéspontja. Minthogy az egyenes a kört két pontban metszi, s a teljes idom az $AB$ alapra nézve szimmetrikus, tehát összesen 4 megoldás lehetséges. Ezzel ezen tárgyalásainkat befejeztük, amennyiben a geometriai vizsgálatoknál használatos elemi módszerek közül a legáltalánosabbakat letárgyaltuk, sajátságaikat taglaltuk, alkalmazásaikat egynehány jellemző példában bemutattuk. Természetes, hogy ezzel a kérdést korántsem merítettük ki teljesen, hiszen tulajdonképpen minden egyes feladat a maga saját külön módszerével tárgyalandó. Ugyanis a saját külön módszer az lesz, mely a legtermészetesebben és a legrövidebb úton vezet a célhoz, a feladat teljes megoldásához. Az általános geometriai módszerek közül is elhagytuk a koordináták módszerét, mellyel, amennyiben algebrai nehézségek nem mutatkoznak, minden feladat megoldását ki lehet erőszakolni. Ez a mulasztás készakarva történt, amennyiben tisztán geometriai módszerekkel akartunk foglalkozni. De van ezenkívül egy másik mulasztásunk is, amennyiben a Bellavitis-féle 230;quipollenciák, a Grassmann-féle Ausdehnungslehre és a Hamilton-féle quaterniók módszereiről, mint tisztán geometriaiakról, említést sem tettünk. Ezekről tárgyalva azonban igen nagy mértékben túl kellett volna lépnünk a rendelkezésünkre bocsátható teret. Amennyit a szíves olvasónak most bemutattunk, az is némi ízelítőül szolgálhat a tárgy rendkívüli sokoldalúságáról és élvezetes voltáról, s talán útmutatásul szolgálhat arra nézve, miként fogjunk hozzá adott esetekben a geometriai problémák megoldásához. További tanulmányok szempontjából utalnunk kell a már korábban említett francia munkára, mely e sorok megírásánál vezérfonalul szolgált és Petersen munkájára (Methoden u. Theorien der Auflösung Geometrischer Aufgaben u. Konstruktionen), mely az itt felmerülő kérdésekkel behatóan és rendszeresen foglalkozik.   Dr. Bozóky Endre.