Kezdőlap


Cím:	Ujabb eljárás a térelemek és téralakzatok vetett árnyékának meghatározásához
Szerző(k):	Kovaliczky Antal
Füzet:	1906/január, 125 - 134. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

ÚJ ELJÁRÁS A TÉRELEMEK ÉS TÉRALAKZATOK VETETT ÁRNYÉKÁNAK

MEGHATÁROZÁSÁHOZ ORTHOGONÁLIS PROJEKTIÓBAN

45^{\circ}

VILÁGÍTÁS MELLETT.

Az új eljárás eredetisége abban van, hogy a térelemeken és téralakzatokon keresztül menő fénysugaraknak és fénymenti síkoknak első sorban megkeressük a koincidenciaelemeit ^{$^{*}$} és ezen elemek nyújtotta előnyöket használjuk föl a térelemek és téralakzatok vetett árnyékának meghatározásához.
Az

1

-ső ábrán egy az

1

-ső térnegyedben fekvő

(A_{1}, A_{2})

pont vetett árnyéka van előállítva,

A^{*}

-ban a

2

-dik képsíkra, amely tényleg előáll, s

A_{*}

-ben az

1

-ső képsíkra, amely nem áll elő. Mindkét árnyék a rendes eljárással, a

45^{\circ}

-ú háromszög felhasználásával állíttatott elő.

1. ábra

Meghatározván azonban az

(A_{1}, A_{2})

ponton keresztül menő

(a_{1}, a_{2})

fénysugár koincidencia pontját

A_{12}

-től, azt találjuk, hogy

45^{\circ}

-ú világítás mellett ezen

A_{12}

pont a fénysugár

1

-ső nyomától

A_{12}

-tól és ennek

2

-dik képétől

A_{* 2}

-tól, továbbá a fénysugár

2

-dik nyomától

A_{*}

-től és ennek

1

-ső képétől

A_{1}^{*}

-től egyenlő távolságra van.

A_{12} A_{* 2} = A_{12} A_{*} = A_{12} A_{1}^{\circ} = A_{12} A^{*}

-el.
Ezen egyenlőségből következik, hogy azon esetben, ha egy térbeli

(A_{1}, A_{2})

ponton átmenő fénysugárnak

(a_{1}, a_{2})

-nek meghatároztuk a koincidencia pontját

A_{12}

pontot, s ismerni kívánjuk a fénysugár

1

-ső,

2

-dik nyomát, valamint ezen pontok mellérendelt képeit, akkor elegendő az

A_{12}

ponton átmenő fénysugár egyik képét, pl. az

1

-ső képét meghosszabbítani a képtengelyig

A_{1}^{\circ}

-ig, s körzőnyílásba venni

A_{1}^{\circ} A_{12}

vonaldarabot és azzal kört rajzolni az

A_{12}

középpont körül, ahol ezen kör metszi a fénysugár megfelelő képeit és a képtengelyt, ott vannak a keresett

A_{*}, A^{*}, A_{* 2}

és

A_{1}^{*}

pontok.
Az

(a_{1}, a_{2})

fénysugár koincidenciapontja

A_{12}

nem más, mint a térbeli

(A_{1}, A_{2})

pont vetett árnyéka a koincidenciasíkra, illetve ez árnyék egyesített két képe. Új eljárásunk tehát a térbeli pont vetett árnyékának meghatározásához ez:
Első sorban megkeressük a térbeli pont vetett árnyékát a koincidenciasíkra, azután az ezen keresztül menő fénysugár egyik képét metszésbe hozzuk a képtengellyel, az így nyert metsző pont és az előbbi pont közötti vonaldarabot körzőnyílásba vesszük és azt az előbbi árnyékponttól ellenkező irányban a fénysugár megfelelő képére áttesszük.
A térbeli pont vetett árnyéka a koincidenciasíkra eshetik a képtengely fölött, alatt vagy pedig éppen a képtengelyre. Az

1

-ső esetben tájékozódunk a felől, hogy a térbeli pont árnyéka a

2

-dik képsíkra, a

2

-dik esetben pedig arról, hogy ezen vetett árnyék az

1

-ső képsíkra esik, s végre a

3

-dik esetben arról nyerünk tájékozást, hogy a térbeli pont szimmetriasíkban fekszik, amelynek árnyéka éppen a képtengelyre esik.
Alkalmazzuk az eddig kifejtett eljárást a

2

-dik ábrán megadott

A B

vonaldarab vetett árnyékának meghatározásánál.

2. ábra

(A_{1}, A_{2})

pont vetett árnyéka a koincidenciasíkra

A_{12}

a képtengely fölött esvén, következik, hogy a

2

-dik képsíkra esik; Ellenben

(B_{1}, B_{2})

pont vetett árnyéka a koincidenciasíkra

B_{12}

a képtengely alá esik. Egyenlővé tevén

A_{12} A_{1}^{\circ} = A_{12} A^{*}

-el és

B_{12} B_{* 2} = B_{12} B_{*}

-el az így nyert

A^{*}, B_{*}

pontokban megkapjuk a térbeli

A B

vonaldarab két végpontjának vetett árnyékát a képsíkokra. Összekötvén azonban

A_{12}

pontot

B_{12}

-vel az összekötő

A_{12} B_{12}

vonaldarabban megkapjuk a térbeli

A B

vonaldarab vetett árnyékát a koincidenciasíkra, illetve a térbeli egyenes fénymenti síkjának koincidencia vonalát.
Ezen egyenes a képtengelyt

C *

pontban metszi, mely pont nem más, mint a térbeli vonaldarab szimmetria síkban^{$^{*}$} fekvő

C

pontjának vetett árnyéka a képtengelyre, illetve a térbeli

A B

egyenes fénymenti síkjának tengelypontja.
Ha tehát ezen

C *

pontot az

A^{*}

és

B_{*}

-el összekötjük,

C * A^{*}

-ben megkapjuk a térbeli

A B

vonaldarab

C A

részének vetett árnyékát a

2

-dik képsíkra; ellenben

C^{*} B_{*}

az adott vonaldarab

C B

részének vetett árnyékát az

1

-ső képsíkra.
Új eljárásunk az adott vonaldarab vetett árnyékának meghatározásához ez: Első sorban meghatározzuk a vonaldarab vetett árnyékát a koincidenciasíkra, azután megkeressük ennek a képtengellyel képezett metsző pontját és ezen metsző pontot a vonaldarab két végpontja vetett árnyékával összekötjük.
A

3

-dik ábrán adva van egy

A B C

háromszög

1

-ső,

2

-dik képe által; kerestetik vetett árnyéka a két képsíkra.

3. ábra

A háromszög

A, B, C

szögpontjainak vetett árnyéka a koincidencia-síkra

A_{12}, B_{12}, C_{12}

-ben van, mely pontokból a térbeli pontok vetett árnyékét a képsíkokra

C^{*}, B_{*}, A_{*}

-t az új eljárással határoztuk meg,

C_{12} C^{*} = C_{12} C_{1}^{\circ}, B_{12} B_{*} = B_{12} B_{* 2}, A_{12} A_{*} = A_{12} A_{* 2}

.
Összekötvén azonban az

A_{12}, B_{12}, C_{12}

pontokat egyenesekkel, a kapott

A_{12} B_{12} C_{12}

háromszögben megkapjuk a térbeli

A B C

háromszög vetett árnyékát a koincidenciasíkra, illetve azon háromoldalú hasáb metsző idomát a koincidenciasíkkal, melynek vezérlő idoma az

A B C

háromszög; oldallapjai, az

A B C

háromszög oldalainak fénymenti síkjai és oldalélei, az

A B C

háromszög szögpontjain átmenő fénysugarak.
Ezen

A_{12} B_{12} C_{12}

háromszög a képtengelynek

D_{*} E_{*}

darabját magában foglalja, mely vonaldarab nem más, mint térbeli háromszög szimmetriasíkban fekvő egyenesének,

D E

-nek vetett árnyéka a képtengelyre. A képtengely

D_{*} E_{*}

darabja az

A_{12} B_{12} C_{12}

háromszöget két részre osztja, a képtengely fölötti

D^{*} C_{12} E^{*}

és a képtengely alatti

D * A_{12} B_{12} E *

részre; amiből következtetjük, hogy megfelelő térbeli

D E

^{$^{*}$} egyenes is, mely a szimmetriasíkban fekszik, a térbeli háromszöget vetett árnyék tekintetében szintén két részre fogja osztani;

D C E

részre, melynek vetett árnyéka a

2

-dik képsíkra és

D A B E

részre, melynek vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra esik.
Új eljárásunk a vetett árnyék meghatározásához ez: Első sorban meghatározzuk a síkidom vetett árnyékát a koincidenciasíkra, azután megállapítjuk a képtengely azon vonaldarabját, melyet ezen vetett árnyék befoglal, ezen vonaldarabnak megkeressük a megfelelő téregyenesét, mely az adott idomot vetett árnyék tekintetében két részre osztja, s végre ezen részeknek vetett árnyékát külön-külön meqkeressük megfelelő képsíkokra.
Azonban azon síkidomoknál, melyeknek síkja a képtengelyhez általános helyzetű a síkidom vetett árnyéka a koincidenciasíkra hosszabb szerkesztést igényel, ezért ily esetben meg kell elégednünk a síkidom szimmetriasíkban fekvő egyenesének az előállításával, illetve a térbeli idomnak vetett árnyék tekintetében két részre való osztásával. Az idom vetett árnyékának meghatározása a koincidenciasíkra csak azon esetben kínálkozik célravezetőnek, ha a síkidom síkja a képtengelyre projiciálósík.
A

4

-dik ábrán egy a képtengelyre projiciálósíkban fekvő

k

kör van adva három képe által; kerestetik vetett árnyéka az

1

-ső,

2

-dik képsíkra.

4. ábra

Az előbb fölállított tétel alapján elsősorban megkeressük a

k

kör vetett árnyékát a koincidenciasíkra, illetve ez árnyéknak egyesített

1

-ső,

2

-dik képét, a

k_{12}

-t, mely ismét kör, a melynek

Q_{12}

középpontja az adott

k

kör

O

középpontjának vetett árnyéka a koincidenciasíkra, s a melynek sugara

r sin 45^{\circ}

, illetve

r cos 45^{\circ}

-kal egyenlő, ahol

r

az adott

k

kör sugara.
Ezen

k_{12}

kör a képtengelyből

M_{*} N_{*}

vonaldarabot befoglal, mely a térbeli

k

kör szimmetriahúrjának,

M N

-nek vetett árnyéka a képtengelyre. Az

M N

húr a

k

kört két részre osztja,

M G D E A H N

-re és

M B F C N

-re. Az első rész vetett árnyéka a

2

-dik képsíkra, ellenben az utóbbi körrésznek vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra esik. Határozzuk meg e körszeletek vetett árnyékát külön-külön a megfelelő képsíkokra.
A

k_{12}

kör

A_{12} B_{12}, C_{12} D_{12}

átmérői az adott

k

kör azon átmérőinek vetett árnyékai a koincidenciasíkra, amelyek az

1

-ső, illetve a

2

-dik képsíkra merőlegesen állanak, ellenben

H_{12} G_{12}, E_{12} F_{12}

átmérői az adott

k

, kör azon átmérőinek vetett árnyékai a koincidenciasíkra, melyek közül az

1

-ső a szimmetriasíkkal, a második pedig a koincidenciasíkkal párhuzamosan halad. Az

M G D E A H N

körszelet

G, D, E, A, H

pontjainak vetett árnyékát a

2

-dik képsíkra

G^{*}, D^{*}, E^{*}, A^{*}, H^{*}

-t új eljárással a

G_{12}, D_{12}, E_{12}, A_{12}, H_{12}

pontok felhasználásával határozzak meg. Így pl. a

D^{*}

pontot az által, hogy

D_{12} D^{*}

-et egyenlővé teszünk

D_{12} D_{1}^{*}

-el, illetve

D_{12} D_{* 2}

-vel.
A körszeletek vetett árnyéka az

1

-ső,

2

-dik képsíkra és vetett árnyéka a koincidenciasíkra perspektív helyzetű affin-idomok, mely affinitásnál a képtengely adja az affinitási tengelyt és a pontokon keresztül menő fénysugarak megfelelő képei adják a projiciáló sugarakat.
Ezen affin‐kapcsolat felhasználható a

k^{*}, k_{*}

ellipszisek érintőinek meghatározásánál. Azonban a

k^{*}, k_{*}

ellipszisek közös pontjainak

M_{*}, N^{*}

-nek az érintőit az

t^{I *}, t^{I I *}

-et és

t_{\circ}^{I}, t_{\circ}^{I I}

-et célszerűbb a

k_{3}

kör megfelelő érintőiből meghatározni az ábrán feltüntetett eljárással.
Az 5. ábrán adva van egy

(O_{1}, O_{2})

középpontú gömb

1

-ső,

2

-dik képe által; kerestetik saját és vetett árnyéka.
A saját árnyék ismeretesen a gömb azon főköre

c

, melynek síkja a fénysugarakra merőleges. A

c

főkör

1

-ső,

2

-dik képe

c_{1}, c_{2}

ellipszis.

5. ábra

c_{1}, c_{2}

ellipszis meghatározása céljából előállítjuk a

c

főkör síkja koincidenciavonalat

t_{12}

-őt,

1

-ső,

2

-dik nyomát,

s^{I}, s^{I I}

-őt, s végre szimmetriavonalát

(h_{1}, h_{2})

-őt és pedig e főkör

A^{I} B^{I} 1

-ső és

A^{I I} B^{I I} 2

-dik fővonala által.
Az

(s^{I}, s^{I I})

sík a gömbtengelyét, illetve az

1

-ső képsíkra projiciáló gömbátmérőt az

(O_{1}, O_{2})

pontban metszvén, ezért mindazon síkok metszővonalai az

(s^{I}, s^{I I})

síkkal, melyeket a gömbtengelyén keresztül fektetünk, ezen

(O_{1}, O_{2})

ponton mennek át.
A

c_{1}

ellipszis főtengelye

A_{1}^{I} B_{1}^{I}

ismeretesen a gömb

1

-ső szegélykörének

k_{1}^{I}

-nek azon átmérője, mely a fénysugarak

1

-ső képére merőleges; melléktengelye

C_{1}^{I} D_{1}^{I}

irányra nézve a

c

főkör síkja

(O_{1}, O_{2})

pontján átmenő

(e_{1}, e_{2}) 1

-ső esővonala. Ezen esővonal

1

-ső nyoma

E^{I}

-ben, koincidenciapontja

E_{12}

-ben van, ezért

2

-ik képe

E_{12} O_{2} = E_{2}^{I} O_{2} = e_{2}

.
Az

(e_{1}, e_{2})

esővonal végpontjai azon főkörön vannak, amelyet ezen esővonal

1

-ső projiciáló síkja a gömbből kimetsz. Ezen pontok fölkeresése céljából forgassuk be a főkör síkját a benne fekvő

(e_{1}, e_{2})

esővonallal együtt a gömb tengelye, illetve az

(O_{1}, O_{2})

pont

1

-ső képtávola körül a gömb

2

-dik szegélykörére

k^{I I}

-re, amikor is az esővonal

1

-ső nyoma

(_{I} E^{I},_{I} E_{2}^{I})

-be, maga az esővonal

2

-dik képe

_{I} E_{2}^{I} O_{2} =_{I} c_{2}

-be jut. Ezen beforgatott esővonal

2

-dik képe a

k^{I I}

kör

2

-dik képét a keresett végpontokban

(_{I} C_{2}^{I},_{I} D_{2}^{I})

-ben metszi, amelyeknek visszaforgatott

1

-ső képe

C_{1}^{I}, D_{1}^{I}

adja a

c_{1}

ellipszis melléktengelye végpontjait, ellenben visszaforgatott

2

-dik képe

C_{2}^{I} D_{2}^{I}

adja a

c_{2}

ellipszis legmélyebb és legmagasabb pontjait.
Minthogy

45^{\circ}

-ú világítás mellett a fénysugarak egyenlő szöggel hajlanak az

1

-ső,

2

-dik képsíkhoz, azért a

c_{2}

ellipszis fő- és melléktengelye egyenlő a

c_{1}

ellipszis ilynevű tengelyeivel. Ábránkon azonban a

c_{2}

ellipszis melléktengelyét

C_{2}^{I I} D_{2}^{I I}

-őt azért állítottuk elő a

c

főkör síkja

(f_{1}, f_{2}) 2

-dik esővonalának felhasználásával, hogy ezen

C_{2}^{I I} D_{2}^{I I}

végpontokat ne csak

2

-dik képben, hanem annak mellérendelt

1

-ső képben

C_{1}^{I I} D_{1}^{I I}

-ben is bírjuk, mert az utóbbi pontok adják a

c_{1}

ellipszis legmélyebb és legmagasabb pontját.
A

c

főkörnek a szimmetriasíkban fekvő pontjai

(H_{1}, H_{2}), (i_{1}, i_{2})

ott vannak, ahol e főkört metszi a szimmetriasíkban fekvő

(h_{1}, h_{2})

egyenese. E pontok meghatározása céljából forgassuk a

c

főkört a benne fekvő

(h_{1}, h_{2})

egyenessel együtt síkjának (

A_{1}^{I I} B_{1}^{I I}, A_{2}^{I I} B_{2}^{I I}) 2

-dik fővonala körül a

2

-dik szegélykörre

k^{I I}

-re; amikor is a

c

főkör

k^{I I}

-re és a

(h_{1}, h_{2})

egyenes

_{I} S Q = h_{3}

-ra esik. És azon

H_{3}, i_{3}

pontok, amelyekben

h_{3}

egyenes a

k_{2}^{I I}

segélykört metszi, a keresett pontok

3

-dik képe, amelyeknek

2

-dik képök

H_{2}, i_{1}

-ben és

1

-ső képök

H_{1}, i_{1}

-ben van.
A

c

főkör vetett árnyéka az

1

-ső

2

-dik képsíkra egyúttal a gömb vetett árnyéka e képsíkokra. E vetett árnyék meghatározásánál új eljárásunkat a következőkben érvényesíthetjük:
A

c

főkör szimmetriasíkban fekvő egyenese

(h_{1}, h_{2})

ezen főkört két részre osztja,

H B^{I} C^{I I} D^{I} i

és

H B^{I I} C^{I} i

részekre. Az

1

-ső rész vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra, a

2

-dik részé a

2

-dik képsíkra esik, ellenben a főkör szimmetriasíkban fekvő húrjának

H i

-nek vetett árnyéka éppen a képtengelyre esik.
A

c

főkör vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra egy oly ellipszis

c_{*}

, amelynek

O_{*}

középpontja az

O

középpontnak vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra, s amelynek

A_{\circ}^{I} B_{\circ}^{I}

melléktengelye a

C

főkör azon

A^{I} B^{I}

átmérőjének vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra, mely a

c

főkör síkjának

1

-ső fővonala, s amelynek

D_{\circ}^{I} C_{\circ}^{I}

főtengelye a

c

főkör azon

D^{I} C^{I}

átmérőjének vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra, mely a

c

főkör

1

-ső képsíkra nézve (

D_{1}^{I}, D^{I})

legmélyebb és (

C_{1}^{I}, C_{2}^{I})

legmagasabb pontját összeköti. Az utóbbi két pont közül csak a (

D_{1}^{I}, D_{2}^{I})

veti árnyékát tényleg az

1

-ső képsíkra. Keressük meg azt az új eljárással.
A (

D_{1}^{I}, D^{I})

ponton keresztülmenő fénysugár

1

-ső,

2

-dik képe metszi egymást a

D_{12}

pontban, mely nem más, mint a térbeli (

D_{1}^{I}, D_{2}^{I})

pont vetett árnyéka a koincidenciasíkra. E ponton átmenő fénysugár

1

-ső képe metszi a képtengelyt

D_{*}^{I}

-ben, mely pontnak távolát véve

D_{12}

-től, s

D_{12} D_{1}^{\circ}

-t a fénysugár

1

-ső képére ellenkező irányban áttéve a

D_{12}

-től, az így nyert

D_{*}

pontban megkapjuk a (

D_{1}^{I}, D_{2}^{I})

pont vetett árnyékát az

1

-ső képsíkra, illetve a

c_{*}

ellipszis főtengelyének egyik végpontját. Hasonló eljárással vannak meghatározva a

c_{*}

ellipszis többi pontjai, kivéve tengely végpontjait, mely a térben párhuzamos lévén a

c

főkör síkjának

1

-ső nyomával

s^{I}

-el, vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra

A_{\circ}^{I} B_{\circ}^{I}

is párhuzamos az

s^{I}

-el, s nagyságra nézve megegyezik az

A^{I} B^{I}

-el, illetve ennek

1

-ső képével

A_{1}^{I} B_{1}^{I}

-el.
A

c_{1}

ellipszis egyes pontjaihoz az érintőket azon perspektív helyzetű affinkapcsolat által határozzuk meg, amely fennáll a

c

főkör

1

-ső képe

c_{1}

és e főkörnek vetett árnyéka az

1

-ső képsíkra

c_{*}

között, s amely kapcsolatnál a

c

főkör síkjának

1

-ső nyoma

s^{I}

adja az affinitási tengelyt, ellenben a fénysugarak

1

-ső képsíkra vonatkoztatott képei adják a projiciáló sugarakat.
Keressük a

c_{*}

ellipszis azon

H_{*}, i *

pontjaiban az érintőket, amely pontok a képtengelyen fekszenek.
Első sorban meghatározzuk a

c_{1}

ellipszis megfelelő

H_{1}, i_{1}

pontjaiban a

t_{1}^{I} t_{1}^{I I}

érintőket, ami ‐tekintve‐, hogy a

c_{1}

ellipszis fő- és melléktengelyét ismerjük, a kapcsolt húrok előállításával nem jár nehézséggel. Ezen

t_{1}^{I} t_{1}^{I I}

érintőket metszésbe hozzuk az affinitási tengellyel a

T^{I}, T^{I I}

pontokban, amelyeket összekötve a

H_{*}, i *

-el, az összekötő

t_{\circ}^{I} t_{\circ}^{I I}

egyenesek a keresett érintők.
Hasonló eljárással határozzuk meg a

c

főkör

H B^{I I} C^{I} D^{I I} i

részének vetett árnyékát a

2

-dik képsíkra, amely vetett árnyék ismét egy oly ellipszis

c^{*}

, amelynek

O^{*}

középpontja a

c

főkör

(O_{1}, O_{2})

középpontjának vetett árnyéka a

2

-dik képsíkra, s amelynek

A^{I I *} B^{I I *}

melléktengelye e főkör azon átmérőjének vetett árnyéka a

2

-dik képsíkra, amely a főkör síkjának

2

-dik fővonala, s amelynek főtengelye a

c

főkör azon átmérőjének vetett árnyéka a

2

-dik képsíkra, amely átmérő e főkör

2

-dik képsíkra nézve

(D_{1}^{I I}, D_{2}^{I I})

legmélyebb és

(C_{1}^{I I}, C_{2}^{I I})

legmagasabb pontjait köti össze.
A

c^{*}

ellipszis pontjait és érintőit ugyanazon eljárással határozzuk meg, mint a

c_{*}

ellipszisét.

Debrecen.

Kovaliczky Antal.

^{$^{*}$}Értvén koincidencia síkja alatt a második felező síkot.

^{$^{*}$} Értvén szimmetriasík alatt az első felező síkot.

^{$^{*}$} A $3$ . ábrában $F_{1} F_{2}$ helyébe $E_{1} E_{2}$ gondolandó.