A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. . Vonaldarab közepe. A vonaldarab végpontjait a tetszésszerinti pontból hozzájuk vont és vectorokkal adván meg, a vonaldarab közepét az vector határozza meg.
. Egy a síkban vagy a térben fekvő négyszög szemköztes oldalainak közepeit összekötvén, a nyert transversálisok egymást felezik. Metszéspontjuk annak a, vonaldarabnak közepe, mely az átlók közepeit köti össze.
Az pontokat egy tetszésszerinti kezdőpontra vonatkoztatván a megfelelő vectorok és . Ennélfogva -nek , -nek a vectoruk. közepének vectora Hasonlóképpen -nek . -nak a vectoruk, s így közepének vectora Ezzel a tétel első része igazoltatott. -nak , -nek a vectoruk s így közepének vectora s így és közepei egy pontba esvén össze, a tétel második része is be van bizonyítva. . Az parallelogrammában tetszésszerint fölvett ponton át az oldalokkal párhuzamos egyeneseket húzunk. Bebizonyítandó, hogy az és diagonálisok egyazon ponton mennek keresztül. Legyen Az összeg értelmezése szerint | | az értékek további helyettesítése után: honnét s így mely egyenletrendszerből Az utóbbi kifejezés és -re vonatkozólag symmetrikus, ha tehát -t mint és metszéspontját határozzuk meg, akkor is ugyanerre az eredményre kell jutnunk. Ezzel a tétel igazolást nyert.
innét Az és számok értelme szerint az arány egyenlő az és parallelogrammák területeinek arányával. . A teljes négyszög három átlójának közepei egyazon egyenesben fekszenek.
Legyen akkor ezekből s így mely egyenletrendszerből Számítás közben kitűnt, hogy s így értékének helyettesítése, s a kifejezés kellő rendezése után | | Minthogy: | | most már és meghatározására kerülhet a sor. | | | | E szerint ami azt jelenti, hogy az pontok egyugyanazon egyenesen fekszenek. . Complanar vectorok. A vectorok összeadásának értelmezése szerint világos, hogy egy tetszésszerinti zárt polygon oldalait vectorokul tekintvén, azok összege zérus. Alkalmazzuk a vectorpolygon ezen tételét három egyazon síkban fekvő, tehát complanar vectorra. Ha ezek és , akkor bebizonyíthatjuk, hogy -vel algebrai számokat jelölvén, ezek mindig eleget tesznek az egyenletnek. Ugyanis a vectorok síkjában, vagy más, de ezzel párhuzamos síkban mindig szerkeszthetünk oly háromszöget, amelynek oldalai rendre párhuzamosak az vectorokkal, s ennek a háromszögnek kerületi összege A complanar vectorok föltételi egyenlete csakis egy módon elégíthető ki. Mert ha egyúttal is állana, akkor -nek kiküszöbölése után következik, s ebből más szóval s így az -vel arányos számok nem tekinthetők önálló értékrendszernek. Ezek szerint, ha complanarvectorok, akkor és viszont, ha ez a föltétel fennáll, akkor az vectorok complanarok. Ellenben, ha nem complanar, hanem tetszésszerinti vectorok, akkor nem lehet zérus, mert annak a parallelepipedonnak átlójával egyenlő, amelyet az vectorokkal párhuzamos élekből szerkeszthetünk. Ez a diagonális mindaddig nem lehet zérus, amíg a parallelepipedon három éle rendre zérussá nem válik.
Ha tehát valamely feladat tárgyalásánál arra az eredményre jutunk, hogy az általános helyzetű vectorokra nézve áll fenn, minthogy a kérdéses vectorokról tudjuk, hogy nem complanarok, kell, hogy álljon. Viszont, ha azt találnók, hogy de másrészt tudjuk, hogy a zérustól különböző számok, akkor ebből az vectorok complanar voltára kell következtetnünk. Ezek az eredmények gyakorlatilag nagyfontosságúak. Első sorban arra használhatjuk fel, hogy a vectort új, sokszor előnyösen alkalmazható alakban állítsuk elő. Ha és az adott vectorral complanar, akkor honnét vagy -szel osztván: Ha nem complanar vectorok, akkor az vector mindig alakban állítható elő; mert egyebet sem kell tennünk, mint az vectorokkal párhuzamos élű olyan parallelepipedont szerkeszteni, melynek az élek közös csúcspontjából kiinduló átlója . Az első eset a vectornak két, adott irányú complanar összetevőkre való szétbontását, a második eset pedig a vectornak három adott irányú összetevőre való szétbontását szolgáltatja.
. Annak föltétele, hogy három complanar vector végpontjai egyazon egyenesben feküdjenek. Legyenek az adott complanar vectorok, és a közös kezdőpont. Tehát Ha az pontok egyazon egyenesben fekszenek, akkor s így Ezt a föltéleli egyenletet egybevetvén a complanarság föltételeivel s így azt mondhatjuk, hogy az complanar vectorok végpontjai akkor fekszenek egyazon egyenesben, ha .
. Annak föltétele, hogy négy pont egyazon síkban feküdjék. Legyenek az adott pontok; hogy egyazon síkban feküdjenek, annak föltétele az, hogy az vectorok complanarok legyenek, tehát kielégítsenek egy alakú föltételi egyenletet. A vectorokat az kezdőpontra vonatkoztatván honnét következik. Itt ismét azt látjuk, hogy az együtthatók összege zérus. Általában tehát négy pont akkor fekszik egyazon síkban, ha együttesen állanak fenn. Ha azt akarjuk kifejezni, hogy az pont benne fekszik a síkban, akkor föltételi egyenletek álljanak. . Az háromszögön belül fölvett tetszésszerinti pontot összekötjük a háromszög csúcspontjaival. Keressük azt az összefüggést, mely az összekötő vectorok meghosszabbításai következtében a háromszög oldalain keletkező vonaldarab közt fennáll. complanar vectorok lévén
Továbbá s így Ha a complanarság föntebbi föltételi egyenletébe helyébe az értéket helyettesítjük, akkor azt fejezi ki, hogy az vectorok is complanarok. De ezen vectorok végpontjai ezenfelül egyazon egyenesben is fekszenek, tehát ugyanígy: Ezen egyenletrendszerből minélfogva vagy másképpen Az utóbbi három egyenlet még így is írható: honnét | | vagy | |
s így szorzatuk a keresett feltételi egyenlet, melyben Ceva tételére ismerünk.
. Collinear háromszögek. Ha azok az egyenesek, melyek két háromszögnek megfelelkező csúcspontjait kötik össze, egy pontban találkoznak, akkor a megfelelkező oldalak metszéspontjai egyazon egyenesben fekszenek. Az ilyen háromszögeket collinearoknak hívjuk, a csúcspontokon átmenő transversálisok metszéspontja a collineatió centruma, a megfelelkező oldalok metszéspontjainak egyenese a collineatió tengelye. A collineatió, mint általános geometriai rokonság minden speciálisabb jellegű rokonságot magában foglal. Ha a collineatio centruma a végtelenben fekszik, tehát a collineatió sugarai párhuzamosak, akkor a rokonság átmegy az affinitásba. Ha a collineatió tengelye a végtelenben fekszik, tehát a megfelelkező egyenesek párhuzamosak, akkor a hasonlóság, ha pedig mind a centrum, mind pedig a tengely a végtelenben vannak akkor az egybevágóság lép fel. A vectorgeometria segítségével az előrebocsátott tételt következőképpen bizonyítjuk be. a collinear helyzet feltételei. | | innét tehát honnét s így | | Ha
jelöléseket alkalmazunk, akkor azt mutatja, hogy és egyazon egyenesben fekszenek. Tényleg | |
|