A geometria terén a legtermékenyebb korszak Descartes munkálkodásával, vagyis az analitikai módszer megalkotásával veszi kezdetét. Ez tette lehetségessé hogy a geometria felhasználhatta az infinitesimális számítás eredményeit, viszont a maga szemlélhetőségével ezt a tudományágat segítvén át a kezdet nehézségein. Innét kezdve geometria és analysis szorosan egymás mellett haladtak előre, mindaddig, míg az izmosabb és életrevalóbb analysis az összes érdeklődést majdnem kizárólag a maga részére foglalta le, s a szerényebb eszközökkel dolgozó geometriát teljesen háttérbe nem szorította. Abel, Jacabi, Lagrange, Cauchy idejében a geometria valóban csak türelmes kísérleti objektum volt, mely kénytelen-kelletlen tűrte, hogy az analysis módszereit rajta keresztül próbálják, s akkor sem volt szabad tiltakoznia, ha ezek a módszerek természetének sajátosságával éppenséggel nem állottak összhangzásban. Így aztán a geometriában is az analysis vált uralkodóvá, s a rengeteg számítások közepette a geometriai mag valósággal eltűnni látszott.
Ez a körülmény a geometria néhány hivatott művelőjét, kik között különösen Monge, Chasles, Poncelet, Moebius, Steiner és von Staudt említendők első sorban, arra késztette, hogy a geometriát az analytikai ballasttól megszabadítsák, más szóval: geometriai módszereket teremtsenek, melyek a tárgy természetéből folyván, ahhoz szorosan alkalmazkodjanak, s a kutatás számára új irányokat mutassanak. Ezek a törekvések teljes sikerrel jártak. Az ábrázoló geometria általában, különösen pedig a centrális proiectió a geometriai rokonságok (affinitas, proiectivitas, reciprocitas stb.) vizsgálatára vezetett, s a homogen coordinaták segítségével ezen tulajdonságok analytikailag is megközelíthetőkké váltak. Steiner teljesen függetleníteni akarta a geometriát az analytikus módszerektől, híres kortársa von Staudt, pedig a metrikus viszonylatokat is mellőzendőknek tartotta, s kizárólag a proiectív tulajdonságok kutatására szorítkozott.
Ezzel beállott volna a geometria és az analysis között a tökéletes szakítás, és innét kezdve mindkét tudományszak tisztán a maga útjain a saját céljai felé haladt volna.
Voltak azonban közös területek, amelyeken találkozniok és együtt működniök kellett. Ha nem számítjuk a csillagászat, a fizika, a geodaesia és számos egyéb tudomány mathematikai szükségleteit, akkor az elemi mathematikára kell hivatkoznunk, melynek az a hivatása, hogy a mathematika számára hivatott művelőket neveljen, mert a mathematikusra csak részben áll az, amit a költőkről mondanak. A mathesisre nemcsak születni, de nevelődni is kell.
Az elemi mathesis terén a két irány még ridegebben szétvált egymástól, és nem is igen törekedtek arra, hogy a mathesis zsenge művelői ne vegyék észre, hogy szüleik tulajdonképpen elválva élnek. Ezek a viszonyok részben még ma is fennállanak, mit főként az iskolák számára készült tantervek, s az azok alapján álló tankönyvirodalomnak tulajdoníthatni. Ez az állapot is egészségtelen, s a legkevésbé sem természetes.
A múlt század $40$-es éveiben egymástól függetlenül egyszerre hárman léptek föl a geometriai calculus módszerével, célul tűzvén ki azt, hogy a mathesis két ága egyesíttessék, anélkül, hogy akár az egyik, akár a másik természetének meg nem felelő módon tárgyaltassék.
A német Grassmann $1844$-ben adta ki "Lineale Ausdehnungslehre" című alapvető művét, melyben az algebrát és geometriát közös alapon tárgyalja, s a mathesist az elemi fokon egységesíti.
Az angol W. R. Hamilton $1853$-ban lépett föl "Lectures on quaternions" című művével, s egy minden ízében kész rendszerrel lepte meg a tudományos világot.
Mindkettőt megelőzte az olasz Bellavitis, aki $1833$-tól $1837$-ig teljesen kifejtette az aequipollentiák elméletét.
Mindezek a geometriai calculusok lényegüket illetőleg azonosak, köztük csupán formális különbségek állapíthatók meg. A tudományos világ előlük közös értelemmel elzárkózott, velük szemben visszautasítólag viselkedett, s így viselkedik még most is. Egyedül Hamilton módszerének vannak művelői, mert ő a mathesist csupán a módszer megállapítására használta, s midőn ezzel elkészült, azt rögtön a fizikára alkalmazta. Híres honfitársai, Tait, Maxwell, Lord Kelvin e tekintetben buzgón követik, úgyannyira, hogy műveiket a quaterniók ismerete nélkül nem is lehet teljesen nyomon követni.
Ez a visszautasítás kizárólag kényelmi szempontokra vezethető vissza. Ezt legjobban Gauss szavaival lehel igazolni, ki a geometriai calculusokról illetékesen ítélkezett. Mikor Moebius barycentrikus calculusát elolvasta, a következőket írta ($1843$-ban) barátjának Schulmachernek:
" Minden geometriai calculussal úgy állunk, hogy azok semmi olyasmire nem képesek, amire nélkülök képesek ne volnánk; előnyük azonban, hogy ha egy ilyen geometriai calculus sokszor jelentkező szükségletek legbelső lényegével megegyező, akkor az, aki benne teljesen otthonossá vált, a lángésznek öntudatlan inspiratióit melyeket kierőszakolni végtére is lehetetlen a körükbe illő feladatok megoldásánál nélkülözheti, sőt olyan bonyolódott esetekben is majdnem gépiesen megoldhatja a feladatot, amikor különben a lángész sem boldogul inspiratio nélkül".
Ebben kétségtelenné van téve a geometriai calculusok létjogosultsága. De hivatkozhatunk arra is, hogy ezek a kutatást minden irányban éppen úgy megkönnyítik, mint a logarithmusok alkalmazása a numerikus számításokat. Erről az alább következőkben eléggé meggyőződhetünk.
Legközelebbi célom a K. M. L. olvasóit az összes geometriai calculusok egy közös és alapvető fejezetével, a vectorgeometriával megismertetni. Aki fejtegetéseimet figyelemmel kíséri, könnyű szerrel oly módszerben válik járatossá, melyet a tárgyalt feladatok keretén túl is haszonnal alkalmazhat. Fejtegetéseimben különösen Lauisant művére (Introduction la méthode des quaternions, Paris 1881. Gauthier-Villars) fogok támaszkodni azt egyben-másban egyéb forrásokból merített részletekkel egészítvén ki. Hogy munkám haszonnal járjon, arra fogok törekedni, hogy a tárgy megértését lehetőleg megkönnyítsem. Ezért néhol terjedelmesebb lesz a tárgyalás, mint az okvetlenül szükséges; de hiszen e sorok nem iskolázott, hanem iskolázó mathematikusoknak szólanak.
$1$. Értelmezések és jelölések. A pont egyenes vonallá elmozdulását vector-ral jellemezhetni. Ha $A$ a pont kezdetleges, $B$ pedig végső helyzete, akkor az $AB$ vector azon vonaldarab, mely irány, nagyság és értelem tekintetében meghatározza a pont elmozdulását.
Ha a vectort két betűvel jelöljük, akkor első helyre a kezdetpont betűjét írjuk. Ily módon a vector értelmét illetőleg kétség nem foroghat felnn.
Ha a pont az első elmozdulás után ugyanazon irányban és értelemben ugyanannyival tovább mozog, akkor azt mondhatjuk, hogy $BC=AB$.
Itt az egyenlőségi jel többet fejez ki, mint különben kifejezni szokott; mert a vector hosszúságán kívül az irány és értelem azonosságát is jelenti. Ezért Bellavitis helyette más jelet használ, s nem szól egyenlőségről, hanem a jelzett vonatkozást aeuipollentiának hívja.
Két egyenlő hosszúságú, egyező irányú és egyező értelmű vonaldarabot, mint vectorokat akkor is egyenlőknek tekinthetünk, ha azok nem esnek egymás meghosszabbításába, hanem a térben tetszés szerint vannak elhelyezve.
Ebben az esetben $AB=CD$ egyúttal a parallelogramma ismeretes tulajdonságait foglalja magában.
Ha egy feladatban több, a térben különféleképpen elhelyezett vector szerepel, akkor azokat önmagukkal párhuzamosan egy $O$ közös kezdőponthoz helyezhetjük át. Ily esetekben a vectorokat a végpontjaikat jelző betűkkel jelölhetjük. E szerint