Kezdőlap


Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből 1. (Nikomachus)
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1905/szeptember, 1 - 3. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nikomachus.^{$^{*}$}

(Kr. u. I. és II. század.)

Nikomachus egy Gerasa nevű, valószínűleg arábiai városból való volt és Alexandriában működött a Kr. u. 100. év körül. Legfontosabb műve

ε ι σ α γ ω γ η a ρ ι ϑ μ η τ ι ϰ ϰ

, a két könyvből álló Bevezetés az aritmetikába. Tankönyvfajta mű ez, mint Euklides és Heron munkái. Szerzője benne pythagorasi alapokra helyezkedik, amennyiben igen szövevényes és aprolékos összefüggéseket állapít meg a számok között: módszere eltér Euklidesétől, mert nem geometriai alakban, hanem majdnem tisztán számokkal végzi vizsgálódásait. Szembetűnő az a sajátságos módszere, hogy minden osztályozásában a hármas csoportosítást erőszakolja ki, amibe kétségen kívül az alexandriai újpythagoreismus metafizikai iránya belejátszik.
Így az

I

. könyvben, amelyben Nikomachus a számokat páros és páratlan számokra osztja, ezek mindegyikét máris három csoportba sorolja. A páros számok első csoportja:

α ρ τ ω χ ι σ α ρ τ ι o ι

, azok a számok, amelyek folytonos felezés közben az egységre vezetnek (tehát a

4, 8, 16, 32, ...

vagyis a

2^{n}

alakú számok, hol

n = 2, 3, 4, 5, ...)

; a második csoportba

(a ρ τ ι o π ε ρ ι τ τ o ι)

tartoznak azok a számok, melyek egyszeri felezésnél páratlan számokra vezetnek a

(2, 6, 10, 14, 18, ...

, vagyis a

4

-gyel már nem osztható páros számok); végre a harmadik csoport

(π ε ρ ι σ σ a ρ τ ι o ι)

azokat a számokat foglalja magában, melyek többszörös felezés után vezetnek páratlan számokra a (

12, 20, 24, 28, 36, ...

vagyis a

2^{n} (2 m + 1)

alakú számok, melyekben

n = 2, 3, 4, ...

és

m = 1, 2, 3, 4, 5, ...)

. A páratlan számok első csoportja az abszolut prímszámok, második csoportja azok a páratlan számok, melyekben törzstényezőiknek egyike legalább a második hatványon fordul elő, harmadik csoportjába pedig azok a páratlan számok tartoznak, melyeknek törzstényezői mindannyian különböznek egymástól.
Nikomachustól való a páros számoknak még egy hármas felosztása, amely azonban pythagorasi eredetű. Ebben az első csoport a tökéletes számok

(a ρ ι ϑ μ o ι τ ε λ ε ι o ι)

, mint pl. a

6

és

28

, amelyek összes osztóinak (kivéve maga a szám) összegével egyenlők:

6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

(l. K. M. L. IV. 90.). A második csoportba azok a számok tartoznak, melyeknél az osztók összege nagyobb az illető számnál

(υ π ε ρ τ ε λ ε ι o ι)

mint pl. a

12

, melynél

1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 12

. Végre a harmadik azoknak a számoknak a csoportja, melyeknél az osztók összege kisebb az illető számnál

(ε λ λ ι π ε ι σ)

, mint pl. a

8

, melynél

1 + 2 + 4 < 8

.
Nikomachus az I. könyvében még két számnak oszthatósági viszonyait említi fel és végre a pythagorasi szorzási táblázatban is érdekesebb vonatkozásokat mutat be három-három szám között.
A II. könyv a figurális számokról tesz említést. Ezeket felosztja poligonális és piramidális számokra. A poligonális számokról ugyanazokat az adatokat állítja össze, melyeket már Hypsikles ismertetett (K. M. L. IX. évf. 30. 31. l.). A piramidális számokat az egymásra helyezett poligonokból összeállított testeken levő pontok jelképezik.
Nikomachus a figurális számokat tulajdonképpen az

1

-gyel kezdődő különböző számtani sorok összegezésére használja fel és így vezeti le egyes tételeit, mint pl. azt, hogy az

1

-ből kiinduló, bárhány páratlan szám összege mindig teljes négyzetet ad.
A köbös számokról is igen nevezetes tételt ad, melyet valószínűleg ő maga fel is fedezett; ez az, hogy a köbös számok mindig a páratlan számok szomszédos tagjainak összegéből származnak, még pedig úgy, hogy annyi tagot kell venni, mint ahányadik szám köbét akarjuk: az első szám köbét adja az első páratlan szám

(1^{3} = 1)

, a második szám köbét a következő

2

páratlan szám

(2^{3} = 3 + 5)

, a 3 köbét a következő

3

páratlan szám

(3^{3} = 7 + 9 + 11)

stb.
A II. könyv egy másik fejezete az aránylatok tana, melyben Nikomachus a számtani, a mértani és a harmonikus középszámot tárgyalja, miként ezeket már Eudoxus állította össze (K. M. L. V. évf. 118. l.) és ezekhez hozzáfűzi még azt a hét aránylatot, melyeket Temnonides és Euphranor csatoltak Eudoxus mesotact számaihoz (l. u. o.). Végre pedig befejezi az aránylatok tanát azzal a zenei jelentőségű aránylattal

(μ ε σ o τ η σ τ ε λ ε ι o τ a τ η),

melyben már Pythagoras kötötte össze két számnak számtani és harmonikus középszámát egymással és a számokkal (K. M. L. IV. évf. 92. l.).
Úgy látszik, hogy Nikomachus az aritmetikába való bevezetésen kívül még a geometriába való bevezetést is írt, mert egy helyen ilyenről is tesz említést; bővebb adatunk azonban e műről nincsen.
Egy XII. századbeli és arab forrásokból merítő, Ocreatus nevű író pedig egy Nikomachus-féle szabályról (regula Nichomachi) szól. E szabály az ú. n. folytonos számtani arányból, tehát tulajdonképen a számtani haladvány három szomszédos tagja

(a, x, b)

emez összefüggéséből indul ki:

\begin{matrix} a - x = x - b \end{matrix}

és azt mondja: ha a középső tag négyzetéből kivonjuk a külső tagok szorzatát, az állandó különbség négyzetét kapjuk, amit ez az identitás igazol:

\begin{matrix} x^{2} - a b = d^{2} \end{matrix}

amelyben

\begin{matrix} d = a - x = x - b . \end{matrix}

Nikomachus még zenei értekezést is írt és valószínűleg egy a számok misztikus jelentőségével foglalkozó, talán Számtheologia című műnek is a szerzője.

^{$^{*}$}Az Euklides-féle Elemek kiadása következtében beállott két évi szünet után ismét folytatjuk e cikksorozatot, melyben a mathematika történi fejlődését főleg Cantor "Vorlesungen über Geschichte der Mathematik" című alapvető munkájának részben fordításában, részben feldolgozásában mutatjuk be a középiskolai ifjúság mathematikai tudásához mérten. Szerk.