A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. IV. Pusztán körzővel keresztülvihető szerkesztések. Pusztán körzővel közvetlenül csak a 4. és 7. alapszerkesztés végezhető el, míg az 5. és 6. csak akkor, ha az egyeneseket megrajzolva adták meg. Feladatunk tehát, hogy kimutassuk, hogy az 1., 2., 3., 5. és 6. alapfeladatok mindenkor visszavezethetők a 4. és 7.-re. 3. és 6. alapfeladat: Adva van a egyenesnek két pontja és ; keressük ezen egyenes és valamely kör metszéspontjait. Megoldás: Ha a kör középpontja , akkor az , illetőleg sugarakkal , illetőleg körül vont körívek messék egymást -ben. Az körül az kör sugarával rajzolt kör az kör tükörképe és így e két kör és metszéspontjai rajta vannak az és egyenesen is.
Az és tehát az kör és az egyenes metszéspontjai. 5. alapfeladat. Az és pontjaival megadott egyenesre vigyük fel -tól a megadott távolságot. Megoldás: A megadott távolságot körzőnyílásba vesszük és vele körül kört rajzolunk. Ha e kört az egyenes . és .) az és pontokban metszi, akkor: 1. segédszerkesztés. Adott egyenessel adott ponton át párhuzamos vonandó. Megoldás: Ha a sugárral körül és az sugárral körül rajzolt körívek egymást -ban metszik, akkor a pontok meghatározzák a keresett párhuzamost. 2. segédszerkesztés. Adott távolságot kétszerezzünk meg ugyanazon egyenesen, ha a távolságnak csak a végpontjai ismeretesek. Megoldás: körül a sugárral kört vonunk, melynek kerületére -tól számítva háromszor rávisszük a sugarat; az utolsó osztási pontot -vel jelölve: Eme eljárás többszöri alkalmazásával megszerkeszthető olyan pont, ‐ egész számot jelentvén‐ hogy 4. segédszerkesztés. Keressük három távolsághoz a negyedik mértani arányost. Megoldás: Legyenek az adott távolságok és keressük azt az távolságot, melyre nézve: Az általánosság rovása nélkül feltehetjük, hogy mert esetében mindig vehetünk olyan egész számot, hogy nagyobb legyen -nél és az esetben az -, - és -hez keressük a negyedik mértani arányost: Rajzoljunk már most körül az és sugarakkal két koncentrikus kört -t és -t. Legyenek és a -n, úgy hogy Tetszőleges egyenlő távolsággal köríveket rajzolunk és körül, melyek -t és -ben metszik, akkor lesz a keresett negyedik arányos. Bizonyítás. Messék és a -t az és pontokban. Könnyen belátható, hogy oldalaik egyenlősége miatt az és háromszögek egybevágók, tehát: Ha tehát az háromszöget körül az szöggel elforgatjuk, az háromszöget kapjuk, mely hasonló lévén az háromszöghöz: és így 2. alapfeladat. Keressük az és , illetőleg a és pontok által adott két egyenes metszéspontját -et. Megoldás. Jelöljük a és pontok tükörképeit az egyenesre vonatkozólag és -vel és messe -ből a -vel vont párhuzamos -t a -ben, akkor: Ám a az 1. mintájára megszerkeszthető, mert hiszen parallelogramma, tehát a ismert távolságok és így a 4. alapján megszerkeszthető. Ha pedig -et ismerjük, akkor az pont helyzetét nyerjük, ha -től a -re a távolságot rávisszük. Összefoglalás: Pusztán körzővel mind a 7 alapfeladat megoldható, tehát az összes mértani szerkesztések pusztán körzővel is elvégezhetők.
L. Mascheroni szerkesztése.L. Mascheroni szerkesztése. |