Cím:	Mértani szerkesztések bizonyos megszorításokkal 2.
Szerző(k):	Antal Márkus
Füzet:	1905/október, 29 - 31. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. II. Vonalzóval és mérővel keresztülvihető szerkesztések.   Vonalzóval és mérővel az első öt alapszerkesztés közvetlenül elvégezhető, míg vonalzóval és étalonnal csak az első három végezhető el közvetlenül, a $4$. és $5$. pedig emezekre visszavezethető. A visszavezetésnél szükségünk van az $\left(a\right)$ segédszerkesztésre, mely szerint adott $P$ ponton át adott egyenessel párhuzamost kell vonnunk. Megoldás. Az adott egyenesre rávisszük az étalonnal az $AC=AB$ darabokat és akkor a párhuzamos az $\mathrm{1.2.}$ feladata szerint megvonható. Mármost könnyen megoldhatjuk az $5$. és ezzel együtt a $4$. alapszerkesztést is, mely szerint adott egyenesre, ennek adott $P$ pontjából adott $AB$ távolságot kell rávinnünk. Megoldás. (a) Az $AB$ nem fekszik az adott egyenesen. A $P$ ponton át húzzunk az $AB$-vel párhuzamost, melyet $B$-ből az $AP$-vel párhuzamos $Q_1$-ben messen, akkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle P{Q}_1=AB\mathrm{.}}\end{array}$   Ha az adott egyenes párhuzamos volt $AB$-vel, akkor ezzel a feladat máris meg van oldva. Ellenkező esetben a $P{Q}_1$-re, valamint az adott egyenesre rávisszük étalonunkkal a $P{E}_1$, illetőleg $P{E}_2$ darabokat és akkor a $Q_1$-en az $E_1{E}_2$-vel vont párhuzamos az adott egyenest olyan $Q_2$ pontban metszi, melyre nézve: $\begin{array}{c}{\displaystyle P{Q}_2=AB\mathrm{.}}\end{array}$ (b) Az $AB$ távolság rajta van az adott egyenesen. Ez esetben egy az adott egyenessel párhuzamos egyenesre rávisszük az $AB$-t $A_1{B}_1$-be és akkor $B_1$-ből az $A_{1}P$-vel pont párhuzamos az adott egyenest olyan $Q$-ban metszi, melyre nézve: $\begin{array}{c}{\displaystyle PQ=A_1{B}_1=AB\mathrm{.}}\end{array}$   (c) Ha $AB$ az étalon nyílásával egyenlő, akkor a távolság átvitele közvetlenül eszközölhető. Ezek után lássunk nehány példát. $1$. példa. Felezzünk adott $XAY$ szöget.     Megoldás. Az adott szög $AX$, illetőleg $AY$ szárára étalonunkkal felvisszük az $AB$ és $BD$, illetőleg az $AC$ és $CE$ darabokat. Ha $BE$ és $CD$ egymást $F$-ben metszik, akkor $AF$ a szögfelezője az adott szögnek.   $2$. példa. Adott egyenesre vigyünk adott darabot $n$-szer.     Megoldás. A mérővel e feladat közvetlenül minden nehézség nélkül megoldható, étalonnal pedig a következő gyakorlati elrendezéssel. Húzzunk az adott egyenessel tetszőleges párhuzamost $\left(a\right)$ és erre az étalont $n$-szer rávisszük úgy, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle A_1{A}_2=A_2{A}_3=\text{...}=A_n{A}_{n+1}}\end{array}$ legyen. Az adott egyenesre rávisszük az adott darabot $\left(5^{\circ }\right)$ egyszer $B_1{B}_2$-be és ha $A_1{B}_1$ és $A_2{B}_2$ egymást $S$-ben metszik, akkor $S{A}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}S{A}_{n+1}$ mint ismeretes az adott egyenesen olyan $B_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{B}_{n+1}$ pontokat metsz ki, melyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle B_1{B}_2=B_2{B}_3=\text{...}=B_n{B}_{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$ $3$. példa. Adott egyenesre rajzoljunk merőlegest. Megoldás. (Hilbert-féle szerkesztés). Az adott egyenesre felvisszük az étalonnal $AB=AC$, darabokat és az $A$-n húzott két tetszésszerinti egyenesen kijelöljük a $D$ és $E$ pontokat úgy, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AD=AE=AB=AC}\end{array}$ legyen.     Ha már most $BD$ és $CE$, illetőleg $BE$ és $CD$ egymást az $F$, illetőleg $H$ pontokban metszik, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle FH\perp AB\mathrm{.}}\end{array}$ A szerkesztés helyessége kitűnik abból, hogy az $A$ középpontú és $AB=AC=AE=AD$ sugarú körben: $\begin{array}{c}{\displaystyle BDC\sphericalangle =BEC\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $CD$ és $BE$ a $BCF$ háromszög magasságai, vagyis $H$ a $BCF$ háromszög magasságpontja és így $FH$ mint a háromszög harmadik magassága csakugyan merőleges $BC$-re.