A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A Mathematikai Gyakorlókönyv II. kötetében ismertetve van a Simson-féle egyenes háromféle bizonyítása (. lap), ugyanott ismertetve van a Menelaos-féle tétel is (. lap). Talán nem érdektelen, ha ezúttal megmutatjuk azt is, miképp lehet a Simson-féle egyenest a Menelaos féle tétel segítségével tárgyalni, mert hisz ez a tétel adja voltaképpen általános kritériumát annak, valjon pont egy egyenesbe esik-e?
A Simson-féle tétel azt mondja, hogy a háromszög köré írt kör tetszésszerinti pontjából az oldalakra merőlegeseket bocsátva, ezeknek talppontjai (ábránkban és ) egyenesbe esnek. A Menelaos-féle tétel szerint pedig, arra nézve, hogy és egy egyenesben feküdjenek, szükséges és elegendő, hogy az oldalakon keletkezett szeletek között a következő összefüggés álljon fenn: E kritériumot a jelen esetre a következőképpen alkalmazhatjuk: mert ugyanazon íven álló kerületi szögek. Tehát a és derékszögű háromszögek hasonlók és innen Egész hasonlóan és ezért ahonnan Végül pedig mert az elsőnek kiegészítő szögéhez, -hez tartozó ív az utóbbihoz tartozó ívet teljes körré egészíti ki. Tehát megint mert e háromszögek egyúttal derékszögűek is. Innen ismét: Az alatti aránylatokat egymással megszorozva látjuk, hogy csakugyan | | Megjegyezzük még, hogy az és aránylatok közül az egyiknek mindig némileg másképp alakul a levezetése, mint a másik kettőé, mert mindig olyanok a viszonyok, hogy a pont vetülete közül kettő magukra az oldalakra esik, egy pedig a meghosszabbításra. Ha ugyanis pont valamely háromszög oldalain egy egyenesbe esik, akkor csak eset lehetséges: vagy kettő magukon az oldalakon van és egy a meghosszabbításon, vagy mind a három az oldalak meghosszabbításán. A háromszög köré írható kör pontjainak vetületeire nézve azonban az utóbbi ki van zárva.
L. még előbbit K. M. L. VI. évf. 117. lap, utóbbit IV. évf. 148. lap. |