Kezdőlap


Cím:	A Simson-féle egyenes tárgyalása Menelaosz tételével
Szerző(k):	V. A.
Füzet:	1904/december, 78. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Mathematikai Gyakorlókönyv II. kötetében ismertetve van a Simson-féle egyenes háromféle bizonyítása ( $80$ . lap), ugyanott ismertetve van a Menelaos-féle tétel is ( $83$ . lap).^{$^{*}$} Talán nem érdektelen, ha ezúttal megmutatjuk azt is, miképp lehet a Simson-féle egyenest a Menelaos féle tétel segítségével tárgyalni, mert hisz ez a tétel adja voltaképpen általános kritériumát annak, valjon $3$ pont egy egyenesbe esik-e?

A Simson-féle tétel azt mondja, hogy a háromszög köré írt kör tetszésszerinti

P

pontjából az oldalakra merőlegeseket bocsátva, ezeknek talppontjai (ábránkban

A_{1}, B_{1}

és

C_{1}

) egyenesbe esnek.
A Menelaos-féle tétel szerint pedig, arra nézve, hogy

A_{1}, B_{1}

és

C_{1}

egy egyenesben feküdjenek, szükséges és elegendő, hogy az oldalakon keletkezett szeletek között a következő összefüggés álljon fenn:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = 1. \end{matrix}

E kritériumot a jelen esetre a következőképpen alkalmazhatjuk:

\begin{matrix} P B C ∢ = P A C ∢, \end{matrix}

mert ugyanazon íven álló kerületi szögek. Tehát a

P A_{1} B

és

P B_{1} A

derékszögű háromszögek hasonlók és innen

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{B_{1} A} = \frac{P B}{P A .} \end{matrix}

(1)

Egész hasonlóan

\begin{matrix} P C A ∢ = P B A ∢ \end{matrix}

és ezért

\begin{matrix} P B_{1} C Δ \sim P C_{1} B Δ, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{B_{1} C}{C_{1} B} = \frac{P C}{P B} . \end{matrix}

(2)

Végül pedig

\begin{matrix} P A C_{1} ∢ = P C B ∢, \end{matrix}

mert az elsőnek kiegészítő szögéhez,

P A B

-hez tartozó ív az utóbbihoz tartozó ívet teljes körré egészíti ki. Tehát megint

\begin{matrix} P C_{1} A Δ \sim P A_{1} C Δ, \end{matrix}

mert e háromszögek egyúttal derékszögűek is. Innen ismét:

\begin{matrix} \frac{C_{1} A}{A_{1} C} = \frac{P A}{P C} . \end{matrix}

(3)

(1), (2), (3)

alatti aránylatokat egymással megszorozva látjuk, hogy csakugyan

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = \frac{P B}{P A} \cdot \frac{P C}{P B} \cdot \frac{P A}{P C} = 1. \end{matrix}

Megjegyezzük még, hogy az

(1), (2),

és

(3)

aránylatok közül az egyiknek mindig némileg másképp alakul a levezetése, mint a másik kettőé, mert mindig olyanok a viszonyok, hogy a

P

pont

3

vetülete közül kettő magukra az oldalakra esik, egy pedig a meghosszabbításra. Ha ugyanis

3

pont valamely háromszög oldalain egy egyenesbe esik, akkor csak

2

eset lehetséges: vagy kettő magukon az oldalakon van és egy a meghosszabbításon, vagy mind a három az oldalak meghosszabbításán. A háromszög köré írható kör pontjainak vetületeire nézve azonban az utóbbi ki van zárva.

V.A.

^{$^{*}$}L. még előbbit K. M. L. VI. évf. 117. lap, utóbbit IV. évf. 148. lap.