Kezdőlap


Cím:	A konkáv húrnégyszög területe
Füzet:	1904/december, 77 - 78. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Annak a húrnégyszögnek, a melynek kerülete önmagát metszi, a következő módon határozhatjuk meg a területét.

Legyenek

A B = a, B C = b, C D = c, D A = d,

\begin{matrix} B A D ∢ = B C D ∢ = φ . \end{matrix}

A terület két összefüggő darabját, ha a körüljárás irányát figyelembe vesszük,^{$^{*}$} ellenkező jelekkel látjuk el, úgy hogy

\begin{matrix} T = A B S - D C S . \end{matrix}

Adjuk hozzá és vegyük is el a

B S D

területet, akkor

\begin{matrix} T = A B D - B D C . \end{matrix}

(1)

A két háromszög területe azonban így fejezhető ki:

\begin{matrix} A B D = \frac{1}{2} a d \cdot sin φ, B D C = \frac{1}{2} b c \cdot sin φ, \end{matrix}

úgy hogy

\begin{matrix} T = \frac{1}{2} (a d - b c) \cdot sin φ . \end{matrix}

(2)

sin φ

-t kell

a, b, c, d

-vel kifejezni. Erre nézve, mint a rendes húrnégyszögnél

B D

-t kétszer fejezzük ki, az

A B D

, illetőleg a

B D C

háromszögekből s a két kifejezést egyenlítjük. Így lesz

\begin{matrix} a^{2} + d^{2} - 2 a d \cdot cos φ = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos φ, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos φ = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 (a d - b c)} . \end{matrix}

(3)

Innen a

sin φ

meghatározható, egészen úgy, a mint ezt a számítást a Heron képlet levezetésénél a kézi könyvek tanítják. Így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin^{2} φ = \frac{1}{4} \cdot \frac{[{(a + d)}^{2} - {(b + c)}^{2}] [{(b - c)}^{2} - {(a - d)}^{2}]}{{(a d - b c)}^{2}} . \end{matrix}

Ha itt tényezőkre bontunk, és

\begin{matrix} 2 s' = a + b - c + d \end{matrix}

írjuk, ered

\begin{matrix} sin^{2} φ = 4 \cdot \frac{(s' - a) (s' - b) (s' - c) (s' - d)}{{(a d - b c)}^{2}} . \end{matrix}

(4)

Ha innen

(2)

-be helyettesítünk, ered végül:

\begin{matrix} T = \sqrt[]{(s' - a) (s' - b) (s' - c) (s' - d)}; \end{matrix}

(5)

amely a közönséges húrnégyszög képletétől csak abban tér el, hogy egyik oldalt negatív jellel kell vennünk.^{$^{*}$}

^{$^{*}$} L. K. M. L. IX. évf. 126. lapon.

^{$^{*}$}V. ö. Baltzer Elemente der Mathematik II. 6. Aufl. 134., 135. l. és 308., 209. l.