Cím: Játékkülömbözetek meghatározásáról
Szerző(k):  Weisz József 
Füzet: 1905/április, 185 - 186. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ú.n. szerencsejátékok kivételével, melyeknél minden egyes, külömben aránylag igen rövid ideig tartó játszma után egyenlítik ki a játékosok a külömbözetet, a többi játéknál az a szokás, hogy a nyerő, illetőleg a nyerők a nyereségöknek megfelelő számú pontot (point) felírják. A következő játszma után a nyerő az újabb nyereségnek megfelelő számú pontot az eddig felírthoz folytatólag hozzáadja úgy, hogy a huzamos ideig tartó játék végeztével a játszók mindegyikénél a maga nyereségének megfelelő számú pont van felírva.
A leszámolás már most abban áll, hogy minden játszó annyi ponttal tartozik minden többinek, ahány ponttal ezeknek többjük van mint neki. A leszámolás tehát nem egyéb, mint ismételt kivonás.
Két játékos esetén a leszámolás felette egyszerű. Az egyik játékos kevesebb számú pontját levonva a másik nagyobb számúéból, már meg van a külömbözet.
Már három játékos esetén a dolog kevésbbé egyszerű, mert az, kinek legkevesebb pontja van, a másik kettőnek tartozik fizetni, ez utóbbiak közül pedig ismét az, kinek kettejök között kevesebbje van, fizet a másiknak. Még bonyolultabb a dolog négy, öt, esetleg több játékos esetén, hol tapasztalás szerint nem ritkán aránylag hosszú ideig tart a külömbözetek megállapítása és még ilyenkor is az eljárás egyöntetűségének hiánya könnyen tévedésre vezet.
Célszerű dolog tehát oly eljárás alkalmazása, mely tetszőleges n számú játékos esetében is egyszerű és homogenitása, symmetriája folytán könnyen megjegyezhető.
Legyen az n játékos: A,B,C,D...N és jelöljük ugyanezen betűkkel az illető játékosok pontjainak számát a játék végeztével. Akkor a leszámolás elve szerint:
Akap:(A-B)+(A-C)+(A-D)+...+(A-N)pontot,
Bkap:(B-A)+(B-C)+(B-D)+...+(B-N)pontot,
Ckap:(C-A)+(C-B)+(C-D)+...+(C-N)pontot,
...
...
...
Nkap:(N-A)+(N-B)+(N-C)+...+(N-M)pontot,
hol természetesen az egyes játékosok követelése lehet negatív is, tehát tartozást jelenthet.
Mivel pedig
A-A=B-B=C-C=...=M-M=N-N=0;
azért az előbbiek így is írhatók:
Akap(A-A)+(A-B)+(A-C)+...+(A-N)=nA-Σpontot,
Bkap(B-A)+(B-B)+(B-C)+...+(B-N)=nB-Σpontot,
Ckap(C-A)+(C-B)+(C-C)+...+(C-N)=nC-Σpontot,
......
Nkap(N-A)+(N-B)+(N-C)+...+(N-N)=nN-Σpontot,
hol
Σ=A+B+C...+N.

A leszámolás tehát úgy megy végbe, hogy játék végeztével minden játékos a maga pontjainak számát megszorozza a játékosok számával és e szorzatból levonja az összes játékosok pontjainak összegét. Aszerint, amint e külömbség pozitív vagy negatív az illető játékos e külömbséget kapja, illetőleg fizeti.
A gyakorlati kivitelnél tehát a játékosok egyike kiszámfíja az összes pontok összegét a Σ-t, mire az összes játékosok ezt feljegyzik és a reájuk eső külömbözetet a jelzett módon kiszámítják. Mindazok, kiknél e külömbözet negatív, az illető számú pontot egy közös pénztárba befizetik, honnan azok, kiknél a külömbözet pozitív a nekik megfelelő részt megkapják.
Az eljárás helyességének kriteriuma, hogy leszámolás végeztével a pénztárban nem szabad maradnia semminek. Ez így is van, mert a fenti külömbözetek összegét véve:
nA-Σ+nB-Σ+nC-Σ+...+nN-Σ=
n(A+B+C+...+N)-nΣ=nΣ-nΣ=0.

Példa: Egy négyes játszma így végződik:
 

qegAz ú.n. szerencsejátékok kivételével, melyeknél minden egyes, külömben aránylag igen rövid ideig tartó játszma után egyenlítik ki a játékosok a külömbözetet, a többi játéknál az a szokás, hogy a nyerő, illetőleg a nyerők a nyereségöknek megfelelő számú pontot (point) felírják. A következő játszma után a nyerő az újabb nyereségnek megfelelő számú pontot az eddig felírthoz folytatólag hozzáadja úgy, hogy a huzamos ideig tartó játék végeztével a játszók mindegyikénél a maga nyereségének megfelelő számú pont van felírva.
A leszámolás már most abban áll, hogy minden játszó annyi ponttal tartozik minden többinek, ahány ponttal ezeknek többjük van mint neki. A leszámolás tehát nem egyéb, mint ismételt kivonás.
Két játékos esetén a leszámolás felette egyszerű. Az egyik játékos kevesebb számú pontját levonva a másik nagyobb számúéból, már meg van a külömbözet.
Már három játékos esetén a dolog kevésbbé egyszerű, mert az, kinek legkevesebb pontja van, a másik kettőnek tartozik fizetni, ez utóbbiak közül pedig ismét az, kinek kettejök között kevesebbje van, fizet a másiknak. Még bonyolultabb a dolog négy, öt, esetleg több játékos esetén, hol tapasztalás szerint nem ritkán aránylag hosszú ideig tart a külömbözetek megállapítása és még ilyenkor is az eljárás egyöntetűségének hiánya könnyen tévedésre vezet.
Célszerű dolog tehát oly eljárás alkalmazása, mely tetszőleges n számú játékos esetében is egyszerű és homogenitása, symmetriája folytán könnyen megjegyezhető.
Legyen az n játékos: A,B,C,D...N és jelöljük ugyanezen betűkkel az illető játékosok pontjainak számát a játék végeztével. Akkor a leszámolás elve szerint:
Akap:(A-B)+(A-C)+(A-D)+...+(A-N)pontot,
Bkap:(B-A)+(B-C)+(B-D)+...+(B-N)pontot,
Ckap:(C-A)+(C-B)+(C-D)+...+(C-N)pontot,
...
...
...
Nkap:(N-A)+(N-B)+(N-C)+...+(N-M)pontot,
hol természetesen az egyes játékosok követelése lehet negatív is, tehát tartozást jelenthet.
Mivel pedig
A-A=B-B=C-C=...=M-M=N-N=0;
azért az előbbiek így is írhatók:
Akap(A-A)+(A-B)+(A-C)+...+(A-N)=nA-Σpontot,
Bkap(B-A)+(B-B)+(B-C)+...+(B-N)=nB-Σpontot,
Ckap(C-A)+(C-B)+(C-C)+...+(C-N)=nC-Σpontot,
......
Nkap(N-A)+(N-B)+(N-C)+...+(N-N)=nN-Σpontot,
hol
Σ=A+B+C...+N.

A leszámolás tehát úgy megy végbe, hogy játék végeztével minden játékos a maga pontjainak számát megszorozza a játékosok számával és e szorzatból levonja az összes játékosok pontjainak összegét. Aszerint, amint e külömbség pozitív vagy negatív az illető játékos e külömbséget kapja, illetőleg fizeti.
A gyakorlati kivitelnél tehát a játékosok egyike kiszámfíja az összes pontok összegét a Σ-t, mire az összes játékosok ezt feljegyzik és a reájuk eső külömbözetet a jelzett módon kiszámítják. Mindazok, kiknél e külömbözet negatív, az illető számú pontot egy közös pénztárba befizetik, honnan azok, kiknél a külömbözet pozitív a nekik megfelelő részt megkapják.
Az eljárás helyességének kriteriuma, hogy leszámolás végeztével a pénztárban nem szabad maradnia semminek. Ez így is van, mert a fenti külömbözetek összegét véve:
nA-Σ+nB-Σ+nC-Σ+...+nN-Σ=
n(A+B+C+...+N)-nΣ=nΣ-nΣ=0.

Példa: Egy négyes játszma így végződik:
 


  A:143B:219C:97D:112
4A:5724B:8764C:3884D:448Σ:571Σ:571Σ:571Σ:571
   
1305-183-123  


Próba: 1+305=183+123.
Weisz József.