Cím: Az Apollonius-féle érintési feladatok 2.
Szerző(k):  Szirtes Ignác 
Füzet: 1904/november, 49 - 52. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

VI. Adva van két egyenes és egy kör, szerkesszük meg azt a kört mely a megadott elemeket érinti.

 

Jelöljük az adott egyeneseket e és e1-gyel, a kör középpontját O-val és sugarát r-rel.
Húzzunk az adott egyenesekkel párhuzamosakat r távolságban, ezek e' és e1'. Az a kör, mely e párhuzamosakat érinti és O ponton átmegy, közös középpontú a kívánt körrel.
 
 

Mert, ha az r=XX1=YY1=OT közökből az O1X1=O1Y1=OO1 közöket kivonjuk, marad O1X=O1Y=O1T.
Föladatunk tehát ez: keressük ama kör középpontját, mely O ponton áthaladva az e' és e'1 egyeneseket érinti. A III. föladat értelmében e kör középpontjának egyik mértani helye a segédegyenesek szögének szimmetrálisa és az ott tárgyalt szerkesztéssel nyerjük e' egyenesen a Z1 és X1 pontokat. Eme pontokon át az e és e1 egyenesekre merőlegesen húzott egyenesek megállapítják az X és Z pontokat és metszésök az említett szögszimmetrálissal az OI és OII középpontokat. Egyik kör az adottat belülről érinti, a másik kör a baloldalon levő tompaszögben az adott kört kizárólag érinti.
Ha r távolságban az adott egyenesekkel úgy rajzolunk párhuzamosakat, hogy e'e-től balra, e1'e1-től jobbra essék, akkor ez egyenesek képezte hegyes szögekben kapunk egy-egy kört, melyeknek középpontját az előbbi szerkesztés ismétlése után nyerhetjük.
Ha mindkét egyenes baloldalán húzzuk r távolságban a párhuzamosakat, ismét a tompa szögekben nyerjük a köröket.
Végül, ha ismét az egyenes ellenkező oldalain rajzoljuk a párhuzamosakat: e'e-től jobbra és e1'e1-től balra, akkor ismét kapunk a hegyes szögekben egy-egy kört.
Ebben az általános esetben, amidőn ugyanis az adott kör az adott egyenesek képezte mind a négy szögbe belevág, nyolc megoldást nyerünk.
 

VII. Adva van két kör és egy egyenes. Szerkesszük meg azt a kört, mely ezeket az elemeket érinti.
 

O és O1 a körök középpontjai, e az egyenes. Legyen továbbá r a nagyobb, r1 a kisebb kör sugara.
O körül r-r1 sugárral kört és e-vel r1 távolságban e' párhuzamost rajzolunk. Az a kör, mely az r-r1 sugarú kört és e' egyenest érintve O1 ponton halad át, közös középpontú a keresett körrel. Így e föladatot visszavezettük a IV. esetre.
 
 

A szerkesztés menete a következő: OB⊥e'; az O1A és B pontokon áthaladó kör középpontja O'. Ezt a kört CO1 átszelő D pontban metszi; ED és EO1 közök mértani középarányosát E ponttól e'-re mérve nyerjük X' pontot. (E-től e'-nek másik oldalára nem vittük föl e középarányost.) X'-ben e'-re állított merőleges és O1D szimmetrálisa meghatározzák annak a körnek O1 középpontját, mely a föltételeknek megfelel. (Ezt a kört nem rajzoltuk meg, mert majdnem összeesik az O' középpontú körrel.)
Az így szerkeszthető körök az adottakat kizárólag érintik.
Ha e-vel r1 távolságban e-nek másik oldalán is rajzolunk párhuzamost és az egész szerkesztést megismételjük, oly köröket nyerünk, melyek az adottakat körülfogva érintik.
Ha O körül r+r1 sugárral rajzolunk kört és e-vel párhuzamost oly értelemben, mint az ábrában, akkor oly körök rajzolhatók, melyek O kört körülfogva, O1 kört pedig kizárólag érintik.
Ha ismét r+r1 távolsággal rajzolunk O körül kört, de e-nek másik oldalán vele párhuzamost, akkor a két kör O1 kört körülfogja és O kört nem.
Eszerint az összes megoldások száma nyolc.
 

VIII. Adva van három kör. Keressük azt a kört, mely ezeket érinti.
 

Az adott körök középpontjai O,O1,O2 és sugarai r1,r2,r3. Rajzoljunk O körül r-r2 és O1 körül r1-r2 sugarakkal köröket. Az a kör, mely e segédköröket érinti és O2 ponton áthalad, közös középpontú a kívánt körrel.
Jelölje x e kör sugarát, úgy a keresett köré lesz x-r.
 
 

E föladatot így visszavezettük az V. esetre. A szerkesztésre szolgáló segédkör A,B és O2 pontokon halad át, középpontja O'; e kör és O1 kör közös húrjának és O2H-nak D (H a két O és O1 középpontú segédkör külső hasonlósági pontja) metszéspontjából az O1 segédkörhöz vont érintők V' és Y' érintési pontokra vezetnek. ‐ CO2 köz szimmetrálisán a V'O1 és Y'O1 egyenesek ama körök középpontjait jelölik meg, melyek a nevezett (adottakkal koncentrikus) köröket érintve O2 ponton áthaladnak. (Maguk e körök a rajzban hiányoznak.)
Ha e körök egyikének sugarát r2-vel kisebbítjük, akkor az O1 pont körül leírható ama kör sugarát nyerjük, mely az adottakat kizárólag érinti; míg, ha a másik kör sugarait r-rel nagyobbítjuk, úgy az összeggel ‐ mint rádiusszal‐ OII körül oly kört írhatunk, mely az adottakat körülfogva érinti.
Ha r+r2 és r1+r2 sugarakkal rajzolunk O és O1 körül köröket akkor az egész szerkesztés ismétlése után oly köröket nyerünk, melyeknek egyike O2 kört körülfogva O és O1 köröket kizárólag, másika O2 kört kizárólag és O és O1 kört körülfogva érinti.
Ha O körül r+r1 és O2 körül r+r2 sugarakkal rajzolunk köröket és az V. esetben leírt szerkesztés szerint oly kört keresünk, mely e segédköröket érintve O1 ponton halad át, akkor oly körökre jutunk, melyek közül az egyik az O1 kört körülfogva, O és O2 köröket pedig kizárólag, a másik viszont O1 kört kizárólag és O O2 köröket körülfogva érinti.
Végül, ha O1 körül r+r1 és O2 körül r+r2 sugarakkal rajzolunk köröket és ezt a segédkört állítjuk elő, mely eme köröket érintve O ponton halad át, akkor két oly kört nyerünk, melyek közül az egyik O kört körülfogva, O1 és O2 köröket kizárólag, a másik pedig O kört kizárólag és O1 és O1 köröket körülfogva érinti.
Eszerint az összes lehetséges esetek száma 8.