Cím: Közös párhuzamos érintőkkel biró kör és ellipszis között fennálló kettős affinitás
Szerző(k):  Szilárd Aladár 
Füzet: 1905/március, 158 - 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy körnek és ellipszisnek oly két közös érintője van, melyek egymással párhuzamosak, úgy orthogonális parallel projekcióban a kör és ellipszis mint az egyik képsíkra vetítő egyenes körhenger két síkmetszésének egy-egy közös képét ábrázolják, vagyis oly két ellipszis lesz a henger síkmetszése, mely két ellipszis első, valamit második képei egybeesnek és az egyik kép kör, a másik pedig ellipszis.

 
 
Legyen az első kép a kör és a második az ellipszis. A képsíkok helyzete (eltekintve attól, hogy a második képsík a henger alkotóival és a két ellipszis metszésvonalával párhuzamos, az első képsík pedig a henger alkotóira merőleges kell hogy legyen), tetszésszerinti lehet.
A megadott ellipszis és kör ilynemű értelmezéséből világos, hogy közöttük affinitás áll fenn; világos az is, hogy két affinitás lesz a két idom között. Az egyik affinitásnak tengelye a térben képzelt egyik ellipszis síkjának metszésvonala a második felezősíkkal; a másik affinitásnak tengelye a másik ellipszis síkjának metszése a második felezősíkkal (értvén második felező sík alatt azt a II. és IV. térrészben levő síkot, mely a vetületi tengelyen úgy halad át, hogy a két képsík szögét felezi). Az affinitás irányát mindkét esetben a henger alkotóinak második képei adják.
Kérdés már most: minő tételt állíthatunk föl az adott ellipszis és az affinitás-tengelyek közötti összefüggésre vonatkozólag? Azt állítjuk, hogy az affinitástengelyek egyenlő szöget zárnak be az ellipszis fő- valamint melléktengelyével.
Tételünk bizonyítására keressük meg a két térbeli ellipszis közös ‐ a második képsíkkal párhuzamos ‐ AB átmérőjének O'1 metszéspontját a második felezősíkkal; vezessünk e ponton át egy új, az eredetivel párhuzamos képsíkrendszert; toljuk el az ellipszisek vetítő hengerét mindaddig (eredeti helyzetével párhuzamosan, míg tengelye O'1 ponton megy át. Ezen eltolással tulajdonképen a két ellipszist toltuk el átmérőiket párhuzamosan hagyván az eredeti helyzetben levőkkel, míg középpontjuk az említett O'1 pontba jutott. Ezen eltolás a két ellipszis síkjaiban történt. A második felezősíkkal való metszésvonalak tehát ugyanazok lesznek, mint az eredeti helyzetben levő ellipszisekre nézve.
Az eltolt ellipszisek képeinek középpontjai egybeesnek és eme O'1 középponton megy át ama két t és t1 egyenes, melyekben a második felezősík az ellipszisek síkjait metszi, melyekre nézve, mint affinitás tengelyekre nézve az új, valamint az eredeti helyzetben levő ellipszisek képei affinitásban vannak.
Az affinitás-tengelyeknek az eltolt henger alapkörével való metszéspontjai által határolt részei átmérői a körnek, valamint az ellipszisnek is; ámde az ellipszis két egyenlő átmérője szimmetriás a két tengelyhez és így az eredeti ellipszis tengelyeivel egyenlő szögeket zárnak be.
E most bizonyított tétel segítségével az ellipszis tengelyeinek iránya és az affinitás segítségével azoknak végső pontjai is előállíthatók. Ugyanis az ábra megfigyeléséből látható, hogy a t és t1 tengelyek oly rhomboidnak átszögelői, mely rhomboidnak egy pár párhuzamos oldala az eredeti ellipszisnek A''B'' átmérőjével párhuzamos érintők, míg a másik két oldala a vetületi tengellyel párhuzamos. Ez átszögelők szögeit felezve, kapjuk az ellipszis tengelyeinek O'1X1'' és O'1Y1'' irányát; rajtuk az X1''Y1'' pontokat, ha e tengelyeknek megfelelő O'1X1' és O'1Y1' egyeneseket keressük a kör rendszerében az affinitás segítségével és az X1' és Y1' pontoknak megfelelőit affinitássugár segítségével. Végül ezeket az eredményeket átmásoljuk párhuzamos irányokon az eredeti ellipszisben.