Kezdőlap


Cím:	A háromszög szögeinek meghatározása az oldalakból
Szerző(k):	Szabó Péter
Füzet:	1905/február, 137 - 138. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög szögeinek az oldalakból való meghatározása rendesen a $cosinus$ -tétel segítségével történik. A levezetéssel járó algebrai számítások, bár tanulságosak, de elég hosszasak. A következő sorokban olyan levezetést mutatok be, a melynél a cosinus-tételt kikerüljük, s az algebrai számítás is megrövidül.^{$^{*}$}

1

. Az

A B C

háromszögben a belülírt kör középpontját jelölje

O

, érintéspontjait az oldalakon

E, F, G

, úgy hogy sugara

\begin{matrix} r = O E = O F = O G . \end{matrix}

Ha az oldalok félösszegét

s

-sel jelöljük, akkor

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \frac{r}{s - a}, tg \frac{β}{2} = \frac{r}{s - b}, tg \frac{γ}{2} = \frac{r}{s - c} \end{matrix}

(1)

Ezekben a képletekben csak

r

-et kell még az oldalakkal kifejezni. Keresünk tehát egyenletet

r

és

a, b, c

között. Ilyet kapunk, annak tekintetbe vételével, hogy

\begin{matrix} tg \frac{γ}{2} = ctg \frac{α + β}{2} = \frac{1 - tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2}}{tg \frac{α}{2} + tg \frac{β}{2}} \end{matrix}

(2)

Ez egyenlőségek elseje és utolsójába

(1)

-ből a félszögek tangenseinek értékeit beírva, és tekintetbe véve, hogy

\begin{matrix} 2 s - a - b = c, \end{matrix}

ered

\begin{matrix} \frac{r}{s - c} = \frac{(s - a) (s - b) - r^{2}}{r \cdot c} . \end{matrix}

Ezt az egyenletet rendezve és

r

-re nézve megoldva:

\begin{matrix} r = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) - (s - c)}{s}} . \end{matrix}

(3)

Tehát,

(1)

-be helyettesítve

r

-nek kifejezését, ered:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}}, \end{matrix}

\begin{matrix} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}}, \end{matrix}

(4)

2

. A

sin \frac{α}{2}, cos \frac{α}{2}

stb. meghatározása a következő egyszerű módon történik.
Az

A B C

háromszög területét

T

-vel jelölve, egyfelől:

\begin{matrix} T = r \cdot s \end{matrix}

(ahová

r

értékét

(3)

-ból beírva a Heron képletét nyerjük), másfelől

\begin{matrix} T = \frac{1}{2} b c sin α = b c \cdot sin \frac{α}{2} \cdot cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

Ez utolsó két egyenletből

sin \frac{α}{2} \cdot cos \frac{α}{2}

kifejezhető az oldalakkal. Ezekből

sin \frac{α}{2}

és

cos \frac{α}{2}

jól ismert képletei szorzás- és osztással nyerhetők.

3

. Ha a külső érintő köröket is tekintetbe vesszük, még más számításokat is rövid úton végezhetünk, a

(2)

összefüggés alapján. Meghatározhatjuk, az előbbihez egészen hasonló számítással

r_{1}, r_{2}, r_{3}

-at; bebizonyíthatjuk olyan összefüggések helyes voltát, ahol az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

mennyiségek az oldalakkal együtt szerepelnek.
Mint ilyen úton bebizonyítandókat említem a következőket:
1370.

\begin{matrix} r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1} = s^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} (s - b) (s - c) r_{1} + (s - c) (s - a) r_{2} + (s - a) (s - b) r_{3} = r_{1} r_{2} r_{3} . \end{matrix}

^{$^{*}$}Hasonló, de más útat jelölnek ki pl.: Schuster: Geom. Aufgaben. II. Trigonometrie. 26. l. Reich: Sammlung von Aufgaben I. 97. l. (3. Aufl.)

^*L.K.M.L.VI.évf.52.l.ésRátz L.Math.GyakorlókönyvII.köt.67.l.502.feladat.