A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A háromszög szögeinek az oldalakból való meghatározása rendesen a -tétel segítségével történik. A levezetéssel járó algebrai számítások, bár tanulságosak, de elég hosszasak. A következő sorokban olyan levezetést mutatok be, a melynél a cosinus-tételt kikerüljük, s az algebrai számítás is megrövidül.
. Az háromszögben a belülírt kör középpontját jelölje , érintéspontjait az oldalakon , úgy hogy sugara Ha az oldalok félösszegét -sel jelöljük, akkor | | (1) | Ezekben a képletekben csak -et kell még az oldalakkal kifejezni. Keresünk tehát egyenletet és között. Ilyet kapunk, annak tekintetbe vételével, hogy | | (2) | Ez egyenlőségek elseje és utolsójába -ből a félszögek tangenseinek értékeit beírva, és tekintetbe véve, hogy ered Ezt az egyenletet rendezve és -re nézve megoldva: Tehát, -be helyettesítve -nek kifejezését, ered: | |
| | (4) |
. A stb. meghatározása a következő egyszerű módon történik. Az háromszög területét -vel jelölve, egyfelől: (ahová értékét -ból beírva a Heron képletét nyerjük), másfelől | | Ez utolsó két egyenletből kifejezhető az oldalakkal. Ezekből és jól ismert képletei szorzás- és osztással nyerhetők. . Ha a külső érintő köröket is tekintetbe vesszük, még más számításokat is rövid úton végezhetünk, a összefüggés alapján. Meghatározhatjuk, az előbbihez egészen hasonló számítással -at; bebizonyíthatjuk olyan összefüggések helyes voltát, ahol az mennyiségek az oldalakkal együtt szerepelnek. Mint ilyen úton bebizonyítandókat említem a következőket: 1370. | |
Hasonló, de más útat jelölnek ki pl.: Schuster: Geom. Aufgaben. II. Trigonometrie. 26. l. Reich: Sammlung von Aufgaben I. 97. l. (3. Aufl.)L.K.M.L.VI.évf.52.l.ésRátz L.Math.GyakorlókönyvII.köt.67.l.502.feladat. |