A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A geometria kézikönyvei a háromszög területének képletei között felsorolják a következőt is: Azonban csak úgy szokták említeni, mint érdekes numerikus összefüggést a terület és a háromszög négy érintő körének sugarai között. Talán nem felesleges az a megjegyzés, hogy ennek a képletnek geometriai értelmezés is adható, úgy hogy a levezetése is nagyobbára geometriai úton végezhető. Ebben a közleményben ugyanis bebizonyítom a következő tételt: Minden háromszöghöz szerkeszthető olyan négyszög: . amelynek csúcsai a körülírt körre esnek és területe a háromszög területével egyenlő; . a négyszögnek oldalaiból alakított különbségek sorra nem egyebek, mint az érintő körök sugarai: Ennek a tételnek közvetlen következménye, hogy a négyszög területét az oldalakkal kifejezve, az elül említett képletet kapjuk. Tehát joggal mondhatjuk, hogy ez a tétel a mondott képletnek geometriai tartalmát adja meg. A bebizonyításhoz szükséges segédtételeket előre bocsátom. . A magassági pontnak a háromszög valamelyik csúcsától való távolsága kétszer akkora, mint a körülírt kör középpontjának távolsága a csúccsal szemben fekvő oldaltól. Ha az oldal felező pontja , körülírt kör középpontja és a magassági pont , azt kell megmutatni, hogy E végből vonjuk ( rajz) A parallelogrammában: Minthogy továbbá pontja a körülírt körnek, de mivel még átmérő , tehát az ponton átmegy. Ezért s a hasonlóság arányszáma ; a honnan következik, hogy vagy -re való tekintettel Jelöljük rövidség kedvéért, a magassági pont távolságát az csúcsoktól -vel, a körülírt kör középpontjának távolságát a szembenfekvő oldalaktól -mal, akkor még írhatjuk: | | (2) | Az előbbi bizonyítás hegyesszögű háromszögre vonatkozik, de tompaszögűre is változatlanul átvihető. . Az távolságok kifejezhetők a négy érintő kör sugaraival, - mal. Ez összefüggések geometriai levezetésére vonjuk meg az háromszögben (2. rajz) pl. a szög belső és külső szögfelezőit, melyek a körülírt kört -ben és -ben messék. Legyenek az érintő körök középpontjai ; vetületeik az oldalon sorra , a körülírt kör középpontja , az oldal felezőpontja . Úgy, hogy lévén, a körülírt kör átmérője: -n keresztül megy; azonkívül a miatt, hogy ív ív: , tehát is rajta van. Következőleg: Mindenekelőtt a távolságot fejezzük ki, mert lévén, ezzel -ra is nyertünk kifejezést. (Tompaszögű háromszögnél -at negatív jellel kell venni.) Fontoljuk meg erre nézve, hogy tehát még: amiből következik, lévén, hogy -ból vonjuk , amely egyenes -et -ben találja. Minthogy , a -re való tekintettel De a rajzból láthatólag: amely értékeket -be helyettesítve és -t meghatározva, ered: Ezt az egyenlőséget -mal egybevetve kapjuk: Az utolsó kifejezést még átalakítjuk, annak tekintetbe vételével, hogy Innen ugyanis amit -be téve, lesz: Egészen hasonló két kifejezést kaphatunk és -re. Következmény. A egyenletek alapján még ezeket nyerjük: Megjegyzés. A egyenlőséget újólag bebizonyíthatjuk, csak -et kell kifejeznünk. A megelőzőhöz egészen hasonló meggondolásokból következik, hogy Minthogy pedig a és egyenletek összeadása a összefüggést igazolja. A kifejezések tompaszögű háromszögnél annyiban változnak, hogy a tompaszög csúcsán átmenő magasság-darabot negatív jellel kell venni. A háromszög csúcsaiból a rajtuk át nem menő két magassági vonalhoz vont párhuzamosak a körülírt körbe írt hatszöget határolnák, melynek területe egyenlő a háromszög területének kétszeresével. A hatszög legyen , ahol stb. és azonkívül: | | Hegyesszögű háromszögnél az pontban mondottak a bizonyítást megadják, ha megjegyezzük, hogy pl. (. rajz).
Tompaszögű háromszög esetében a hatszög kerülete önmagát metszi. Ezért ezt az esetet részletesebben kell tárgyalnunk. Mindenekelőtt értelmeznünk kell ilyen esetre a területet. Ennek módjáról már e lapokban volt szó. Ebben az esetben a kerület önmagát az és pontokban metszi (. rajz). A hatszög területe most a parallelogrammából és az háromszögekből áll. Ha a kerületet az rendben végig járjuk, a parallelogramma kerülete pozitív, a két háromszögé negatív körüljárású lesz, ezért a területet az idézett helyen mondottak szerint így kell értelmeznünk: Az oldalok párhuzamos volta miatt, és mert tehát Másfelől vegyük tekintetbe, hogy a háromszög területe igy fejezhető ki: vagy egybevágó háromszögekkel helyettesítve: Eszerint írhatjuk: Azonban (a . rajzon láthatólag): úgy hogy -be helyettesítve ezt kapjuk: A és egybevetéséből ered végül A hatszög minden esetben szimmetrikus, pár csúcsának összekötő egyenesei átmérők, s mindenik felezi az idomot. Tompaszögű háromszög esetében csak a tompaszög csúcsából kiinduló átmérő (itt : ) halad a hatszög belsején át. egyszersmind átlója a parallelogrammának. A megelőző pontban mondottakból következik, hogy Mindig találhatunk olyan átmérőt, mely a hatszöget két egyenlő területű húrnégyszögre osztja. Ha a háromszög legnagyobb szögét jelöli, akkor mindenesetre: Evvel az elül jelzett tételnek első felét bebizonyítottuk. A tétel második felének bebizonyítására térünk át. Legyen először hegyesszögű háromszög. Meghatározzuk az négyszög területét az oldalaiból. Legyen akkor (lásd . pont) | | Vegyük tekintetbe a és összefüggéseket, akkor lesz: | | vagy továbbá | | -et -ból kifejezve, összevonás után és hasonlóan: Innen, a húrnégyszög területének ismert képletébe: | | helyettesítve, (15)-re való tekintettel, ered: Tompaszögű háromszög esetében a négyszög területének képlete annyiban módosul, hogy -t mindenütt negatív jellel kell venni. A számítás maga, s így a végső képlet nem szenved változást. A . pontokban a képletnek geometriai levezetése foglaltatik.
RátzL.Math.Gyakorlókönyv11.k.67.l.502.feladat.RátzL.Math.GyakorlókönyvII.k.67.l.498.feladat.L.Math.GyakorlókönyvII.68.l.508.feladat.Lásd Megjegyzések a talpponti háromszögről c. közleményben K.M.L. IX. évf. 126. lapon; v.ö. Baltzer: Elemente der Mathematik III. k. 6. kiadás, 67‐69. lap.L. K.M.L. XII. évf. 78. lapon. |