Kezdőlap


Cím:	A dodekaéder lapjainak hajlásszöge
Szerző(k):	Szabó Péter
Füzet:	1904/szeptember, 16. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következő sorokban a dodekaéder lapjainak hajlásszögét a gömbháromszögtan képletei nélkül határozzuk meg.
Legyen $A B C D E$ a dodekaéder egyik oldallapja. Az $E F$ élét hosszabbítsuk meg s $A$ és $D$ -ből bocsássunk reá merőlegeseket.

Ezek talppontja ugyanazon

M

pontba esik, mert

\begin{matrix} A E = E D, E A M ∢ = E D M ∢, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A M E ∢ ≅ D M E Δ . \end{matrix}

A hajlásszög, (amelyet

2 v

-vel jelölünk) nem más mint

A M D ∢

.
Az

A M D

háromszögben

A M = M D, 2 v

a csúcsnál levő szög, tehát

\begin{matrix} sin v = \frac{1}{2} \frac{A D}{A M} . \end{matrix}

(1)

A D

és

A M

hosszak egyszerűen kifejezhetők. Az

A E D

háromszögből:

\begin{matrix} D A E ∢ = 36^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} A D = 2 \cdot A E \cdot cos 36^{\circ}, \end{matrix}

(2)

továbbá az

A E M

háromszögből:

A E M ∢ = 72^{\circ}

\begin{matrix} A M = A E \cdot sin 72^{\circ} = 2 A E \cdot sin 36^{\circ} \cdot cos 36^{\circ} . \end{matrix}

(3)

(2)

és

(3)

-at

(1)

-be írva, ered :

\begin{matrix} sin v = \frac{1}{2 sin 36^{\circ}} \end{matrix}

(4)

mint ismeretes

\begin{matrix} sin 36^{\circ} = \sqrt[]{\frac{5 - \sqrt[]{5}}{8}} . \end{matrix}

Ezt helyettesítve és racionálissá téve, végre lesz:

\begin{matrix} sin v = \sqrt[]{\frac{5 - \sqrt[]{5}}{10}} . \end{matrix}

(5)

Ennek a segélyével könnyen levezethető a belül és körül írt gömb sugarának képlete, valamint a köbtartalom képlete is.