Kezdőlap


Cím:	Fokozatosan közelítő módszer a másodfokú egyenletek megfejtésére
Szerző(k):	László Ignác, Makó
Füzet:	1905/április, 177 - 184. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiindulunk a másodfokú egyenlet általános alakjából

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} x = - \frac{c}{b} - \frac{a x^{2}}{b} . \end{matrix}

(1)

\frac{a}{b}

igen kis törtszám, akkor

- \frac{a x^{2}}{b}

tagot egyelőre elhanyagolva, az első közelítő érték

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{c}{b} . \end{matrix}

A második közelítő értéket úgy határozzuk meg, hogy

(1)

-ben

x^{2}

helyébe

x_{1} = - \frac{c}{b}

értéket írunk, azaz

\begin{matrix} x_{2} = - \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{1}^{2} . \end{matrix}

Hasonló módon

\begin{matrix} x_{3} = - \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{2}^{2}, \end{matrix}

és így tovább.
A számításnál két esetet különböztetünk meg, 1., ha a gyökök egyenlő előjelűek, 2., ha ellenkező előjelűek.

I. A két gyök egyenlő előjelű.

Az egyenlő előjelű gyököket mindig pozitívoknak vehetjük; mert ha negatívok volnának, csak

x

helyébe

- x

értéket kell írnunk. Az egyenlet, melynek pozitív gyökei vannak, ilyen alakú:

\begin{matrix} a x^{2} - b x + c = 0, \end{matrix}

(2)

hol

a, b, c

pozitív egész számokat jelentenek. A kisebbik gyök értéke:

\begin{matrix} x' = \frac{b - \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{2 c}{b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}, \end{matrix}

A gyöknek ezt az alakját vesszük a számítás alapjául.
Az adott egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{c}{b} + \frac{a x^{2}}{b}; \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c}{b}; \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = \frac{c}{b} + \frac{a x_{2}^{2}}{b}; ... x_{n} = \frac{c}{b} + \frac{a x_{n - 1}^{2}}{b} . \end{matrix}

Látni való, hogy

x_{1}

kisebb, mint a

(2)

alatti egyenlet kisebbik gyöke.
Tudjuk ugyanis, ha

a

és

c

egyenlő előjelűek, akkor

\begin{matrix} b^{2} - 4 a c < b^{2} \end{matrix}

következőleg

\begin{matrix} b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c} < 2 b . \end{matrix}

Azt is látjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... x_{n} < x', \end{matrix}

minthogy a közelítő értékek sorában

x^{2}

helyébe sohasem a valódi gyököt írtuk, hanem mindig annál kisebb számot. Eszerint

x_{1}, x_{2}, x_{3} ... x_{n}

számok folyton nőnek és mindinkább közelednek a valódi értékhez.
Ha az első közelítő érték és a valódi gyök közötti hibát

α_{1}

-gyel jelöljük, akkor

\begin{matrix} α_{1} = x' - x_{1} = \frac{c}{b} + \frac{a}{b} x'^{2} - \frac{c}{b} = \frac{a}{b} x'^{2} . \end{matrix}

De minthogy

\begin{matrix} x' = \frac{2 c}{b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} x' < \frac{2 c}{b}, x'^{2} < \frac{4 c^{2}}{b^{2}}, \frac{a x'^{2}}{b} < \frac{4 a c}{b^{2}} \cdot \frac{c}{b}; \end{matrix}

ebből pedig az következik, hogy

\begin{matrix} α_{1} < \frac{4 a c}{b^{2}} \cdot \frac{c}{b} . \end{matrix}

n

-edik közelítő értékre nézve pedig áll, hogy

\begin{matrix} α_{n} = x' - x_{n} = \frac{c}{b} + \frac{a}{b} x'^{2} - (\frac{c}{b} + \frac{a}{b} x_{n - 1}^{2}) = \frac{a}{b} (x'^{2} - x_{n - 1}^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a}{b} (x' + x_{n - 1}) (x' - x_{n - 1}) = \frac{a}{b} (x' + x_{n - 1}) α_{n - 1} . \end{matrix}

x' + x_{n - 1} < 2 x'

, minthogy pedig

x' < \frac{2 c}{b}

, annyival inkább áll, hogy

x' + x_{n - 1} < \frac{4 c}{b}

. Ezt figyelembe véve, látjuk, hogy

\begin{matrix} α_{n} < \frac{4 a c}{b^{2}} α_{n - 1} . \end{matrix}

n

helyébe

2, 3, 4, ... n - 1, n

értékeket írunk, a következő sort kapjuk:

\begin{matrix} α_{1} < \frac{4 a c}{b^{2}} \times \frac{c}{b}; α_{2} < \frac{4 a c}{b^{2}} \times α_{1}; \end{matrix}

\begin{matrix} α_{3} < \frac{4 a c}{b^{2}} α_{2}, ... α_{n} < \frac{4 a c}{b^{2}} α_{n - 1} . \end{matrix}

Ezeket az egyenlőtlenségeket egymással sokszorozva a következő eredményre jutunk

\begin{matrix} α_{n} < \frac{c}{b} {(\frac{4 a c}{b^{2}})}^{n} . \end{matrix}

Ha az egyenlet két gyöke reális, vagyis ha

\frac{4 a c}{b^{2}} < 1

, akkor

x_{n}

közelítő értékénél a hiba

(α_{n})

kisebb lesz bármely adott számnál, ha

n

elég nagy.
Példa. Keressük a következő egyenlet gyökeit:

\begin{matrix} 5 x^{2} - 12500 x + 516 = 0. \end{matrix}

Ebben az egyenletben

\begin{matrix} a = 5; b = 12500; c = 516. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{4 a c}{b} = \frac{10320}{156250000}; \frac{4 a c}{b^{2}} < \frac{1}{10^{4}}, \end{matrix}

tehát az eljárás alkalmazható.

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c}{b} = \frac{516}{12500} . \end{matrix}

A hiba

\begin{matrix} α_{1} < \frac{4 a c}{b^{2}} \times \frac{c}{b}; \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{c}{b} < 0,05, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} α_{1} < \frac{5}{10^{6}} . \end{matrix}

Ha még egyszer alkalmazzuk az eljárást, akkor

\begin{matrix} x_{2} = \frac{c}{b} + \frac{a}{b} x_{1}^{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben a hiba

\begin{matrix} α_{2} < \frac{4 a c}{b^{2}} a_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α_{2} < \frac{1032}{15625 \cdot 10^{3}} \cdot \frac{5}{10^{6}}; \end{matrix}

A második közelítő gyök pedig

\begin{matrix} x_{2} = 0,04128 + 0,00000068161536 = 0,041280681. \end{matrix}

A második gyököt most már könnyen kiszámíthatjuk; a gyökök összege ugyanis

\begin{matrix} x' + x'' = - \frac{b}{a} = 2500, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x'' = 2500 - 0,041280681 = 2499 \cdot 958719319. \end{matrix}

II. A két gyök ellenkező előjelű.

Ha a gyökök ellenkező előjelűek, mindig feltehetjük, hogy a kisebb absolut értékű gyök a pozitív; mert ha a kisebb absolut értékű gyök negatív volna, akkor

x

helyébe

- x

-et írva, oly egyenletet kapunk, mely ennek a feltételnek megfelel. Az adott egyenlet tehát ilyen alakú lesz:

\begin{matrix} a x^{2} + b x - c = 0, \end{matrix}

(1)

ebből pedig

\begin{matrix} x = \frac{c}{b} - \frac{a x^{2}}{b} . \end{matrix}

(2)

A közelitő értékek:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c}{b}, x_{2} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{1}^{2}; \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{2}^{2}, ..., x_{n} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{n - 1}^{2} . \end{matrix}

Amint látjuk,

x_{1}

nagyobb a

(2)

alatti egyenlet bármelyik közelitő gyökénél, tehát

x_{1} > x'

; ellenben

x_{2} < x'

mivel

\frac{c}{b}

törtből egy másik törtszámot kell levonni, mely nagyobb a valódi gyöknél. Pozitív gyökről lévén szó,

x_{2}

negatív nem lehet, tehát

\begin{matrix} x_{2} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} \cdot \frac{c^{2}}{b^{2}} > 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a c < b^{2} . \end{matrix}

Ha ennek a feltételnek megfelelünk, akkor

\begin{matrix} 0 k < x_{2} < x', \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{2}^{2} . \end{matrix}

(3)

Összehasonlítva a valódi gyököt kifejező egyenlettel:

\begin{matrix} x' = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x'^{2}, \end{matrix}

látjuk, hogy a

(3)

alatti egyenlet kivonandója

\begin{matrix} \frac{a}{b} x_{2}^{2} < \frac{a}{b} x'^{2}, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} x_{3} > x'; \end{matrix}

de mivel

x_{2} > x_{1}

, ennélfogva

\begin{matrix} x_{1} > x_{3} > x' . \end{matrix}

Hasonló okoskodással találjuk, hogy

\begin{matrix} x_{4} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{3}^{2} . \end{matrix}

(4)

kifejezésben

x_{4} < x'

, mivel

x_{3} > x'

. Mivel továbbá

x_{3} < x_{1}

, ennélfogva

\begin{matrix} x_{2} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{1}^{2} \end{matrix}

kifejezéssel hasonlítva össze a

(4)

alatti kifejezést, látjuk, hogy

\begin{matrix} x_{4} > x_{2} . \end{matrix}

Ezt az eljárást folytatva, a következő két egyenlőtlenségre jutunk

\begin{matrix} x_{1} > x_{3} > x_{5} ... > x_{2 n - 1} > x' \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} < x_{4} < x_{6} ... < x_{2 n} < x' \end{matrix}

A páratlan mutatójú közelítő gyökök folyton kisebbedő sort adnak, melynek általános tagja annál jobban megközelíti a valódi gyököt

(x')

minél nagyobb

n

. A páros mutatójú közelítő gyökök ellenben folyton növekedő sort alkotnak, melynek általános tagja annál jobban megközelíti a valódi

(x')

gyököt, minél nagyobb

n

.
Ha

x_{2 p + 1}

páratlan mutatójú közelítő gyöknek megfelelő hibát

α_{2 p + 1}

-gyel jelöljük, akkor

\begin{matrix} α_{2 p + 1} = x_{2 p + 1} - x' = (\frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{2 p}^{2}) - (\frac{c}{b} - \frac{a}{b} x'^{2}) = \frac{a}{b} (x'^{2} - x_{2 p}^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a}{b} (x' + x_{2 p}) (x' - x_{2 p}) = \frac{a}{b} (x' + x_{2 p}) α_{2 p} . \end{matrix}

x_{2 p}

kisebb, mint

x_{1} = \frac{c}{b}

, hogy pedig

x' < \frac{c}{b}

, az az adott egyenlet gyökének megvizsgálásából következik:

\begin{matrix} x' = \frac{2 c}{b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}} . \end{matrix}

Mivel

a

és

c

ellenkező előjelűek, ennélfogva

- 4 a c

szorzat pozitív előjelű, tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{b^{2} - 4 a c} > b; \end{matrix}

ha tehát a gyökmennyiség helyett a kisebb értéket írjuk, akkor

\begin{matrix} x' > \frac{c}{b} . \end{matrix}

Mivel tehát

\begin{matrix} x' + x_{2 p} < \frac{2 c}{b}, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} α_{2 p + 1} < \frac{2 a c}{b^{2}} α_{2 p} . \end{matrix}

(5)

Az első közelítő törtre nézve

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c}{b}, x' = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x'^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} α_{1} = \frac{a}{b} x'^{2} < \frac{a}{b} \cdot \frac{c^{2}}{b^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} α_{1} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot \frac{c}{2 b} . \end{matrix}

(6)

Számítsuk ki most a páros mutatójú közelítő gyöknek megfelelő hibát.

\begin{matrix} α_{2 p} = x' - x_{2 p} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x'^{2} - (\frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{2 p - 1}^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a}{b} (x' + x_{2 p - 1}) (x' - x_{2 p - 1}) = \frac{a}{b} (x' + x_{2 p}) α_{2 p - 1} . \end{matrix}

De tudjuk, hogy

x'

is,

x_{2 p - 1}

is kisebb, mint

x_{1} = \frac{c}{b}

, azaz

\begin{matrix} x' + x_{2 p - 1} < \frac{2 c}{b}, \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} α_{2 p} < \frac{2 a c}{b^{2}} α_{2 p - 1} . \end{matrix}

(7)

(5), (6)

és

(7)

alatti egyenlőtlenségek segítségével az egyenlőtlenségek következő sorához jutunk, ha

p

helyébe

2, 3, 4, ..., n - 1, n

értékeket írunk:

\begin{matrix} α_{1} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot \frac{c}{2 b} \end{matrix}

\begin{matrix} α_{2} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot α_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} α_{3} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot α_{2} \end{matrix}

(8)

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} α_{n} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot α_{n - 1} . \end{matrix}

Ezen egyenlőtlenségek megfelelő tagjait egymással sokszorozva, a következő eredményre jutunk:

\begin{matrix} α_{n} < {(\frac{2 a c}{b^{2}})}^{n} \frac{c}{2 b} . \end{matrix}

\frac{2 a c}{b^{2}} < 1

, a hiba annál kisebb lesz, minél nagyobb

n

; sőt ha

n

elég nagy, a hiba kisebb lehet bármely pozitív számnál.
Példa: Keressük

\begin{matrix} 3 x^{2} + 132 x - 11 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökeit. Mivel itt

\frac{2 a c}{b^{2}} = \frac{1}{264}

, az eljárás alkalmazható. Az első közelítő gyök

\begin{matrix} x_{1} = \frac{c}{b} = \frac{11}{132} = \frac{1}{12}; \end{matrix}

a hiba ezen a fokon

\begin{matrix} α_{1} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot \frac{c}{2 b} < \frac{1}{264} \cdot \frac{11}{264}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} α_{1} < \frac{1}{6336} \end{matrix}

annyival inkább

\begin{matrix} α_{1} < 0,0002 < \frac{2}{10^{4}} . \end{matrix}

Menjünk át a második közelítő értékre

\begin{matrix} x_{2} = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x_{1}^{2} = \frac{1}{12} - \frac{3}{132} \cdot \frac{1}{12^{2}} = \frac{1}{12} - \frac{1}{44 \cdot 144} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{12} (1 - \frac{1}{44 \cdot 12}) = \frac{1}{12} \cdot \frac{527}{528} = \frac{527}{6336} = 0,083177083. \end{matrix}

A hiba ezen a fokon

\begin{matrix} α_{2} < \frac{2 a c}{b^{2}} \cdot α_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} α_{2} < \frac{1}{264} \cdot \frac{1}{6336} \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2} < \frac{1}{264^{2}} \cdot \frac{1}{24} . \end{matrix}

Annyival inkább áll, hogy

\begin{matrix} α_{2} < \frac{1}{250^{2}} \cdot \frac{1}{24}; \end{matrix}

ebből pedig

\begin{matrix} α_{2} < \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1000^{2}} = \frac{0,6}{10^{6}} . \end{matrix}

Eszerint

10^{- 6}

pontossággal

\begin{matrix} x' = 0,083177. \end{matrix}

A másik gyök értékét most már könnyen kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} x' + x'' = - 44, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x'' = - 44,083177. \end{matrix}

Makó.

László Ignác.

^{$^{*}$}

^{$^{*}$}Jegyzet. Forrásul felhasználtam: Vacquant, Lecons d 'Algebre, XIII. kiadás.