Kezdőlap


Cím:	Transzformácziók
Szerző(k):	Lakner József
Füzet:	1903/április, 210 - 213. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrázoló mértanban lépten‐nyomon előfordul, hogy a szerkesztések végrehajtása nagy nehézséget okoz. Így pl. egy adott egyenesre adott pontból merőleges egyenest ejteni, ha az egyenes általános helyzetű mindkét képsíkhoz, elég komplikált szerkesztést követel; ellenben, ha az egyenes merőlegesen áll az egyik képsíkra, a feladat megoldása nagyon egyszerű.
A szerkesztések végrehajtásának egyszerűsítését czélozzák a transzformácziók. Ezek abban állanak, hogy régi képsíkokról oly új képsíkokra térünk át, melyek speciális viszonyban vannak a megoldandó feladattal. Egy képsíkrendszerről egy másik képsíkrendszerre csak úgy térhetünk át, ha az új képsík a régiek egyikére merőlegesen áll. Mielőtt azonban áttérnénk a transzformácziók részletes tárgyalására, jelöléseinkben kell megállapodnunk.
Két egymásra merőleges (pl. egy vízszintes és egy függőleges) sík egymást két‐két részre osztja. Megkülönböztethető ilyenkor a vízszintes síknak a függőleges sík előtt és alatt és mögött levő része és viszont a függőleges síknak a vízszintes sík alatt és felett levő része. Ha e két síkot képsíkoknak tekintjük, a vízszintes síkot első $(P_{1})$ , a függőleges síkot második képsíknak $(P_{2})$ szoktuk nevezni és a következő megállapodások az általánosak: (a) Az első és második képsík metsző egyenesét, a vetítés tengelyét, $_{1} t_{2}$ -vel szokás jelölni; hol az $1, 2$ index azt jelenti, hogy e tengely az első és második képsíkok által meghatározott képsíkrendszer vetítés tengelye. Így $_{1} t_{3}$ jelenti az első és harmadik képsík metsző egyenesét. (b) Az $A$ pontnak első ill. második képét $A'$ ill. $A''$ jelenti. (c) Az $A$ pontnak leforgatását az első képsíkba ${(A)}_{1}$ , árnyékát az első képsíkon $A_{1}$ -gyel jelöljük. (d) $S_{1}$ és $S_{2}$ az egyenes első ill. második nyompontját, és a sík első ill. második nyomvonalát jelentik. $(a b) \equiv P$ jelentse az $a$ és $b$ egyenesek metszőpontját, a $P$ -t. (e) Az első képsíknak a második képsík előtt levő részét pozitívnak $(+ P_{1})$ , a másikat negatívnak $(- P_{1})$ , a második képsíknak az első képsík felett ill. alatt levő részét pozitív $(+ P_{2})$ , ill. negatívnak $(- P_{2})$ -nek nevezzük. (f) Az ordináták előjelei: az első képsík fölött, ill. alatt fekvő pontok első ordinátái pozitívak, ill. negatívak; a második képsík előtt, ill. mögött fekvő pontok második ordinátái pozitívak, ill. negatívak (értvén a pont első, második ordinátája alatti a pont távolságát az első, ill. második képsíktól).

Ezek után próbáljuk meg a pont transzformálását egy oly képsíkra, mely a régiek egyikére (pl. az elsőre) merőlegesen áll. Vegyük fel, hogy az új képsík az első képsíkot

_{1} t_{3}

egyenesben metszi (1. ábra) s a harmadik képsíknak a vízszintes képsík fölött levő részét az első képsíkba úgy forgattuk le, hogy ez az

_{1} t_{3}

azon oldalára esett, melyen a

(+ P_{3})

áll. Ilyenkor a harmadik (a transzformált) kép meghatározása a következő egyszerű elvek szerint történik: Két összetartozó kép mindig a megfelelő tengelyre merőleges egyenesbe esik. A pont első ordinátája egyenlő (jelre és nagyságra nézve) a pont harmadik képének távolságával az

_{1} t_{3}

vet. tengelytől. Ezen elvek szerint tehát a harmadik képet megkapjuk, ha

A'

-ból az

_{1} t_{3}

tengelyre merőlegest vonunk s erre az első ordinátát (=

A''

távolságával

_{1} t_{2}

-től), mely pozitív előjelű, az

_{1} t_{3}

tengelytől pozitív irányban rámérjük. Ugyanígy nyerhetjük a pont transzformált képét, ha az új képsíkot

_{1} t_{3}

körül az első képsíkba ellenkező irányban forgatjuk.
Lássuk már most a többi negyedben fekvő pont transzformalását (1.ábra). A

B

pont a második térrészben fekszik, tehát első ordinátája pozitív s így ezt az ordinátát is, úgy, mint az

A

pontéval történik, a

P_{3}

pozitív felére kell rámérni

_{1} t_{3}

-tól. A harmadik térrészben levő

C

pont első ordinátája negatív s ilyen értelemben van felmérve az

_{1} t_{3}

-tól is. Hasonló gondolatmenet vezérelt a többi pontok transzformálásánál is.
A pontok transzformálása után áttérhetünk az egyenes transzformálására. Egy egyenest úgy transzformálunk, hogy két pontját transzformáljuk.

A 2. ábra egy az

_{1} t_{2}

képsíkrendszerben egész általános helyzetű

g

egyenes transzformálását mutatja be az

_{1} t_{3}

képsíkrendszerben, hol a

g

egyenes már az egyik ‐ t. i. a harmadik ‐ képsíkkal párhuzamos.
A 3. ábra egy általános helyzetű

l

egyenes transzformálását tünteti fel, úgy, hogy az egyenes az új képsíkrendszerben a negyedik képsíkra merőlegesen áll.

Ily esetben a transzformáczió két lépésben történhetik meg csupán, mert a bevezetett képsíknak mindig merőlegesen kell állnia a régiek egyikére. A transzformálás sorrendje ez esetben a következő: Először az

_{1} t_{2}

-ről áttértünk

_{2} t_{3}

-ra (most tehát a második és harmadik képsíkokat tekintjük együvé tartozóknak) és a

_{2} t_{3}

-at úgy választottuk, hogy

l ∥ P_{3}

legyen, vagyis

l'' ∥_{2} t_{3}

; ezután a

_{2} t_{3}

-ról áttértünk

_{3} t_{4}

-re (vagyis most a harmadik és negyedik képsíkok tartoznak együvé) és a

_{3} t_{4}

-t úgy választottuk, hogy merőlegesen álljon

P_{4}

-re (tehát

_{3} t_{4}

merőleges

l''

).
A síkot úgy transzformáljuk, hogy felkeressük a sík nyomvonalát az új képsíkon. A 2. ábrán egy általános helyzetű síkot úgy transzformáltunk, hogy az új rendszerben vetítő sík lett.
Lássunk már most néhány példát a transzformácziók alkalmazására: (1) Adva van egy általános helyzetű

l

egyenes és egy

A

pont; meghatározandó a pont távolsága az egyenestől (3. ábra). Ismert elvek alapján az egyenest és a pontot oly képsíkrendszerbe transzformáljuk, melyben az egyenes a képsíkok egyikére merőlegesen áll. Miután

l