Kezdőlap


Cím:	A polyederekről 2.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1903/január, 125 - 129. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

11. Az Archimedes-féle testek másképpen semi-regularis testeknek is neveztetnek. Ezeket Pappas irataiból ismerjük. Hálózataikat 1538-ban Dürer Albrecht készítette el. Keppler a harmonices mundi libri V.-ben (II.28.) tesz róluk említést. A hozzájuk tartozó poláris polyedereket pedig Müller I. H. T. trigonometriájában (1852. p. 345.) találjuk fölemlítve.
Ezeknek a testeknek oldallapjai különböző nemű szabályos sokszögek, testszögleteik pedig egyneműek és hasonlóak. A poláris polyedereknek egynemű és hasonló oldallapjaik vannak, testszögleteik pedig különböző neműek, de szabályosak. Az alább következő tárgyalásban dr. Baltzer Richard Elemente der Mathematik II. §. 7 után indulok.
I. A polyedereknek testszögletei mindannyian $m$ -élűek legyenek. Ekkor:

\begin{matrix} 2 e = m c = 2 c + 2 l - 4. \end{matrix}

Innét:

\begin{matrix} c = 2 \frac{l - 2}{m - 2} . \end{matrix}

A lehetséges esetek:

\begin{matrix} m = 3, 2 e = 3 c = 6 (l - 2) \end{matrix}

\begin{matrix} m = 4, e = 2 c = 2 (l - 2) \end{matrix}

\begin{matrix} m = 5, 2 e = 5 c = \frac{10}{3} (l - 2) . \end{matrix}

II. Ha a polyeder minden csúcsában szám szerint

\begin{matrix} α n -szögű \end{matrix}

\begin{matrix} β n' -szögű \end{matrix}

\begin{matrix} γ n'' -szögű stb. \end{matrix}

lap találkozik, akkor

\begin{matrix} 2 c = (α + β + γ ...) \cdot c . \end{matrix}

A polyederen van

a c

számú, az

n

oldalú sokszögekhez tartozó szög, s így az

n

-oldalú sokszöglapok száma

= \frac{a c}{n}

. Ezt a többiekre is alkalmazván, a lapok száma

\begin{matrix} l = (\frac{α}{n} + \frac{β}{n'} + \frac{γ}{n''} + ...) \cdot c . \end{matrix}

Az Euler-féle egyenlet

2

-szerese alapján

\begin{matrix} 2 l + 2 c - 2 e = 4 \end{matrix}

s ha ebbe a megelőzőleg nyert értékeket helyettesítjük, akkor

\begin{matrix} {2 (\frac{α}{n} + \frac{β}{n'} + \frac{γ}{n''} + ...) + 2 - (α + β + γ ...)} c = 4. \end{matrix}

honnét:

\begin{matrix} (2 - α \cdot \frac{n - 2}{n} - β \cdot \frac{n' - 2}{n'} - ...) \cdot c = 4. \end{matrix}

Ezt az egyenlőségét Meier Hirsch Geometrische Aufgaben II. p. 171. találhatjuk.
A kivonandó akkor legkisebb értékű, ha:

\begin{matrix} α = β = γ = ... = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} n = 3, n' = 4, n'' = 5, n''' = 6. \end{matrix}

Ebben az esetben

\begin{matrix} 2 - (\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{3}{5} + \frac{4}{6}) \end{matrix}

negatív szám volna, s így olyan polyederek, a melyeknek testszögletei egyneműek és hasonlóak, s melyeknek oldallapjai 4-féle sokszögek volnának, nem léteznek.
II. A polyeder testszögleteire nézve a II.-ben megállapított föltevéseket fenntartva, és föltéve, hogy az

n, n', n'' ...

számok egyike, pl.

n

páratlan, könnyen kimutatható, hogy akkor az

\begin{matrix} n - 1, n' n'' ... \end{matrix}

számok egyikének legalább is

2

-vel egyenlőnek kell lennie.
Ugyanis, ha az

n

oldalú sokszög első, harmadik, ötödik

...

oldalához egy

n

-oldalú sokszög egy-egy oldalát kapcsoljuk, akkor végre egy csúcsban

3

ilyen

n

-oldalú lap fog találkozni. De ha az

n

-oldalú első, harmadik, ötödik

...

oldalához egy

n'

-oldalú sokszög egy-egy oldalát kapcsoljuk, akkor végre oly csúcsra találunk, a melyben

2

olyan

n'

-oldalú lap találkozik. Ennélfogva az

\begin{matrix} n - 1, n \end{matrix}

számok mindegyike nem lehet kisebb

2

-nél.
Ezt a tételt Keppler-nek köszönhetjük.
Ezek alapján most már az összes lehetőségeket megismerhetjük.
12. Háromélű testszögletekkel bíró polyederek.

(a)

Minden csúcsban egy

n

-oldalú és két

n'

oldalú sokszög találkozik. A III. tétel miatt

n'

páros szám. A II. tétel alapján:

\begin{matrix} (\frac{2}{n} + \frac{4}{n'} - 1) \cdot c = 4, \end{matrix}

s így a lehetőségek a következők:

\begin{matrix} n = k, & 3, & 3, & 3, & 4, & 5 \\ n' = 4, & 6, & 8, & 10, & 6, & 6 \\ e = 2 k, & 12, & 24, & 60, & 24, & 60 \end{matrix}

Az ilyen polyederek oldallapjai közt van szám szerint

\frac{c}{n}

olyan, mely

n

-szögű és

\frac{2 c}{n'}

olyan, a mely

n'

-szögű.

(b)

Ide tartoznak azok a testek is, melyek

3

-féle oldallapoktól határoltatnak. Ha minden csúcsban egy

n

-oldalú, egy

n'

-oldalú és egy

n''

sokszög találkozik, akkor

n, n'

és

n''

páros számok tartoznak lenni és a

\begin{matrix} (\frac{2}{n} + \frac{2}{n'} + \frac{2}{n''} - 1) \cdot c = 4 \end{matrix}

egyenletnek csak

2

megfejtése van:

\begin{matrix} n & n' & n'' & c \\ 4 & 6 & 8 & 48 \\ 4 & 6 & 10 & 120 \end{matrix}

Az ilyen polyedernek van

\begin{matrix} \frac{c}{n} számú n oldalú \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{c}{n'} " n' oldalú \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{c}{n''} " n'' oldalú lapja. \end{matrix}

13. Négyélű testszögletekkel bíró polyederek.

(a)

Minden csúcsban három

n

-szögű és egy

n'

szögű, sokszög találkozik, akkor

\begin{matrix} (\frac{3}{n} + \frac{1}{n'} - 1) \cdot c = 2 \end{matrix}

s ennek az egyenletnek csak két megfejtése van:

\begin{matrix} n & n' & c \\ 3 & n & 2k \\ 4 & 3 & 24 \end{matrix}

Az ilyen polyedernek van

\frac{3 c}{n}

számú

n

-oldalú és

\frac{c}{n'}

számú

n'

oldalú oldallapjuk.

(b)

Ha minden csúcsban két

n

-oldalú és két

n'

-oldalú sokszög találkozik, akkor

\begin{matrix} (\frac{2}{n} + \frac{2}{n'} - 1) \cdot c = 2 \end{matrix}

alapján csak két test áll elő:

\begin{matrix} n & n' & c \\ 3 & 4 & 12 \\ 3 & 5 & 30 \end{matrix}

Ezeknek van

\frac{2 c}{n}

számú

n

-oldalú és

\frac{2 c}{n'}

számú

n'

-oldalú oldallapjuk.

(c)

Ha minden csúcsban egy

n

-oldalú és két

n'

oldalú és egy

n''

oldalú sokszög találkozik, akkor

n'

-nek párosnak kell lennie, s az

\begin{matrix} (\frac{1}{n} + \frac{2}{n'} + \frac{1}{n''} - 1) \cdot c = 2 \end{matrix}

egyenletnek csakis egy megoldása van, t.i.

\begin{matrix} n & n' & n'' & c \\ 3 & 4 & 5 & 60 \end{matrix}

Ennek a polyedernek oldallapjai közt van

20

háromszög,

30

négyszög és

12

ötszög. 14. Ötélű testszögletekkel bíró polyederek. Föltéve, hogy minden csúcsban négy

n

-szög és egy

n'

szög találkozik, akkor

\begin{matrix} (\frac{8}{n} + \frac{2}{n'} - 3) \cdot c = 4 \end{matrix}

s ennek az egyenletnek csak két megoldása van:

\begin{matrix} n & n' & c \\ 3 & 4 & 24 \\ 3 & 5 & 60 \end{matrix}

Ezeknek a polyedereknek van

\frac{4 c}{n}

számú

n

-oldalú és

\frac{c}{n'}

számú

n'

-oldalú oldallapjuk.
15. Általános megjegyzések. Pappus és Keppler csak

13

-féle Archimedikus testet ismertek; mert a

2 k

csúccsal bíró polyedereket a felsorolásból kihagyták. Ilyen pedig kétféle van, a szerint, a mint minden csúcsban két négyszög és egy

k

-szög, illetőleg három háromszög és egy

k

-szög találkozik.
A poláris testek csupán

m

-szögű oldallapokkal vannak határolva. Az ezeknek megfelelő eredmények a megelőzőkből úgy nyerhetők, ha a már több ízben jellemzett reciprocitás értelmében

c

helyébe

l

-et teszünk és

n

-oldalú oldallapok helyett

n

-oldalú testszögleteket mondunk. Vannak tehát archimedikus testek, melyek csupa háromszöglapokkal, négyszöglapokkal és ötszöglapokkal határoltak. Az utóbbiak közül Keppler és Hirsch Meier különösen a rhomboedereket vizsgálták meg közelebbről.
Ezzel egyelőre befejezzük a polyederekről elmondandókat; egy későbbi alkalommal azonban újra felvesszük a fonalat és tovább fűzzük, megismertetvén lapunk olvasóit a Poinsot-féle polyederekkel.^{$^{*}$}

^{$^{*}$} Lapunk deczemberi számába értelemzavaró sajtóhiba csúszott be; a 94. lap hetedik sorában a helyes szöveg ez: Mint azt az alábbi táblázat mutatja, megvan köztük a reciprocitás, a mennyiben az oktaederrel szembe helyezhető a hexaeder, a dodekaederrel az ikosaeder, a tetraeder önönmagának a conjugáltja.