Kezdőlap


Cím:	A polyederekről 1.
Szerző(k):	Dr. Bozóky Endre
Füzet:	1902/december, 88 - 94. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A stereometriában a polyederekről csupán egy általános tétel szokott a középiskolában tárgyaltatni, az ú. n. Euler-féle tétel. A következőkben a rendelkezésemre álló források alapján kiegészítendem a tanulóknak a polyederekről szerzett ismereteit, még pedig oly részletekkel, melyek minden nehézség nélkül könnyen megérthetők, s a tanuló látókörét tágítani alkalmasak.
1. Euler tétele. Convex polyeder alatt oly zárt testet értünk, melynek bármely oldallapját határtalanul kiterjeszthetjük a nélkül, hogy ez a lap a testet két darabra vágná. E szerint a convex polyeder minden oldal lapjának csakis egyik oldalán terül el. Ezeket előrebocsátva, mondhatjuk, hogy: minden convex polyedernél az éleknek $2$ -vel megnövesztett száma egyenlő a lapok és csúcsok összegével.
A tankönyveinkben hagyományos bebizonyítás helyett a következőt hozom javaslatba, mely Cauchy-tól származott és egyszerűbb, valamint érthetőbb is amannál.
Behizonyítandó, hogy:

\begin{matrix} e + 2 = l + c . \end{matrix}

(1)

Tekintsünk egyelőre egy összefüggő, de nyitott convex polyedrális felületet. Ennek széle síkban fekvő vagy térbeli polygon leszen. Erre az alakzatra nézve áll az

\begin{matrix} e + 1 = l + c \end{matrix}

egyenlőség, a mit teljes inductió segítségével könnyen igazolhatunk. Ugyanis, ha a lapok száma

l = 1

, vagyis az alakzat egyetlen egy sík sokszögből áll, akkor a tétel közvetlenül világos; mert a sokszögben az élek száma egyenlő a csúcsok számával. Föltéve már most, hogy a tétel

l

számú lap esetében áll, csupán azt kell bebizonyítanank, hogy

l + 1

számú lap esetében is érvényes.
E czélból csatoljunk a tekintetbe vett alakzathoz egy új lapot, melynek

m

oldala és

m

csúcsa legyen. Ha ezen új lapnak az alakzathoz való csatolása nem létesít zárt polyedert, akkor az új lap kerülete nem eshetik össze az alakzat szélével. Föltéve, hogy az új lapnak

p

számú éle esik egybe az alakzat szélével, akkor

p + 1

csúcsa is közössé válik (mert

1

él

2

csúcsot,

2

él

3

csúcsot stb. köt össze). Ennélfogva az új lapnak még

m - p

éle és

m - p - 1

csúcsa marad szabadon. Az új lap hozzácsatolásával az eredeti alakzat lapjainak száma

(l + 1)

-gyé vált, éleinek száma

(m - p)

-vel, csúcsainak száma pedig

(m - p - 1)

-gyel szaporodott, s így éleinek száma

\begin{matrix} e + m - p \end{matrix}

csúcsainak száma pedig

\begin{matrix} c + m - p - 1. \end{matrix}

Már pedig ezek az adatok eleget tesznek az

\begin{matrix} e + 1 = l + c \end{matrix}

egyenlőségnek.
Tekintsünk már most egy zárt convex polyedert, és nyissuk ezt ki oly módon, hogy egyik oldallapját eltávolítjuk. Akkor az így előálló alakzatra érvényes föntebbi tételünk, a mennyiben az élek és csúcsok száma ugyanaz maradt, csupán a lapok száma csökkent

1

-gyel. Így tehát a nyitott polyedrális lapra nézve

\begin{matrix} e + 1 = (l - 1) + c \end{matrix}

honnét

\begin{matrix} e + 2 = l + c . \end{matrix}

2. Történeti adatok. A tétel már az ókorban ismeretes lehetett; mert e nélkül Archimedes nem sorolhatta volna fel a semi-reguláris testeket. Előfordul a tétel Descartes-nál is (Oeuvres inédites de D. par M. Foucher de Careil. II. p. 214.), de nincsen explicite kifejezve. Ennélfogva valódi feltalálója Euler, ki ezt 1752-ben közölte, bebizonyításával együtt. (Nov. comm. Petrop. 4. p. 109. és 156.)
A Cauchy-féle bebizonyitás 1813-ban (Journ. de l'École polyt. Cah. 16. p. 577.) jelent meg. Vannak még számos más bizonyítások is, mint pl.Grunert-é (Crelle Journ. II. p. 367.); Staudt-é (Geometrie der Lage p. 49. 1847); Thicme-é, (Szt.-Pétervárról 1867. nov. 10-éről kelt levelében); August-é (a kölni realgymnasium 1854-iki értesítőjének 4. oldalán) végre Legendre (Geom. VII. 25.), L'Huilier (Gergonne Annales 1812. p. 178.) és Steiner (Crelle Journ. I. p. 364.) bizonyításai. A bizonyításoknak sokoldalúsága és nagy száma rendszerint a tétel kiváló fontossága mellett tanúskodik.
3. A tétel következményei. Tekintsünk ezek után egy oly polyedert, melynek oldallapjai közt van szám szerint:

l_{3}

háromszögű,

l_{4}

négyszögű,

l_{5}

ötszögű

...

lap. Akkor:

\begin{matrix} l = l_{3} + l_{4} + l_{5} + ... \end{matrix}

(2)

és minthogy minden él két laphoz tartozik, tehát

\begin{matrix} 2 c = 3 l_{3} + 4 l_{4} + 5 l_{5} + ... \end{matrix}

(3)

Az utóbbi egyenletből

\begin{matrix} 3 l_{3} + 5 l_{5} + ... = 2 c - 4 l_{4} - 6 l_{5} - ... \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 3 l_{3} + 5 l_{5} + ... = páros számmal . \end{matrix}

Vgyis: a convex polyederben a páratlan oldalú oldallapok száma páros.
Tekintsünk továbbá egy oly polyedert, melyen szám szerint

L_{3}

trieder,

L_{4}

tetraeder,

L_{5}

pentaeder

...

csúcs találhaló. Akkor:

\begin{matrix} c = L_{3} + L_{4} + L_{5} + ... \end{matrix}

(4)

és minthogy minden él két csúcsot köt össze, tehát

\begin{matrix} 2 c = 3 L_{3} + 4 L_{4} + 5 L_{5} + ... \end{matrix}

(5)

Az utóbbi egyenletből

\begin{matrix} 3 L_{3} + 5 L_{5} + ... = 2 c - 4 L_{4} - ... \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 3 l_{3} + 5 l_{5} + ... = páros számmal . \end{matrix}

Vagyis: a convex polyederben a páratlan oldalú testszögletek száma páros.
Ha az

(1), (2)

és

(3)

egyenlőségekből

l

és

c

kiküszöböltetnek, akkor

\begin{matrix} 2 c = 4 + l_{3} + 2 l_{4} + 3 l_{5} + ... \end{matrix}

(6)

ha pedig az

(1), (4)

és

(5)

egyenlőségekből

c

és

e

kiküszöböltetnek, akkor

\begin{matrix} 2 l = 4 + L_{3} + 2 L_{4} + 3 L_{5} + ... \end{matrix}

(7)

származik
Ezek a tételek Legendre-től (Géom. Note 8.) származnak és Gergonne-tól (Ann. de Math. 15. p. 157.) egészíttettek ki. Segítségükkel nehány igen érdekes tételt bizonyíthatunk be.
4. Minden convex polyederben a háromszögű oldallapok és a triederek számainak összege legalább is

8

.
Ugyanis az Euler-féle egyenletet

4

-gyel sokszorozván:

\begin{matrix} 4 l + 4 c = 4 e + 8. \end{matrix}

Itt

l

-et a

(2)

és

c

-t a

(4)

egyenlettől helyettesítvén,

4 e

-t pedig a

(3)

és

(5)

egyenletek összegéből állítván elő:

\begin{matrix} 4 (l_{3} + l_{4} + ...) + 4 (L_{3} + L_{4} + ...) = 8 + (3 l_{3} + 4 l_{4} + ...) + (3 L_{3} + 4 L_{4} + ...) . \end{matrix}

Ezt pedig így is írhatjuk:

\begin{matrix} 4 (l_{3} + L_{3}) + 4 (l_{4} + L_{4}) + 4 (l_{5} + L_{5}) + ... = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (l_{3} + L_{3}) + 4 (l_{4} + L_{4}) + 5 (l_{5} + L_{5} + ... + 8, \end{matrix}

más szóval:

\begin{matrix} l_{3} + L_{3} = 8 + (l_{5} + L_{5}) + 2 (l_{6} + L_{6}) + ... \end{matrix}

(8)

a mi előrebocsátott tételünk helyessége mellett bizonyít.
5.Olyan convex polyeder, a melynek minden oldallapja

5

-nél többoldalú sokszög volna, nincsen.
Ugyanis a

(4)

egyenlőség

3

-szorosát az

(5)

egyenlőséggel összehasonlítva, azt találjuk hogy

2 e > 3 c

. Ebbe az egyenlőtlenségbe

e

-nek és

c

-nek értékeit a

(8)

ill.

(6)

egyenlőségekből helyettesítvén:

\begin{matrix} 3 l_{3} + 4 l_{4} + 5 l_{5} + ... > \frac{1}{2} (12 + 3 l_{3} + 6 l_{4} + 9 l_{5} + ...) \end{matrix}

\begin{matrix} 6 l_{3} + 8 l_{4} + 10 l_{5} + ... > 12 + (3 l_{3} + 6 l_{4} + 9 l_{5} + ...) \end{matrix}

\begin{matrix} 3 l_{3} + 2 l_{4} + l_{5} > 12 + (l_{7} + 2 l_{8} + ...) \end{matrix}

(9)

Innét az következik, hogy

l_{3}, l_{4}

és

l_{5}

egyszerre nem lehetnek zérus értékűek, a mi előrebocsátott tételünknek megfelel.
6. Olyan convex polyeder, a melynek minden csúcsában

5

-nél több él találkoznék, nincsen.
Ugyanis a

(2)

egyenlőség

3

-szorosát a

(3)

egyenlőséggel összehasonlítva, azt találjuk, hogy

2 e > 3 l

. Ebbe az egyenlőtlenségbe

e

-nek és

l

-nek értékeit az

(5)

és

(6)

egyenlőségekből helyettesítvén:

\begin{matrix} 3 L_{3} + 4 L_{4} + 5 L_{5} + ... > \frac{1}{2} (12 + 3 L_{3} + 6 L_{4} + 9 L_{5} + ...) \end{matrix}

\begin{matrix} 6 L_{3} + 8 L_{4} + 10 L_{5} + ... > 12 + (3 L_{3} + 6 L_{4} + 9 L_{5} + ...) \end{matrix}

\begin{matrix} 3 L_{3} + 2 L_{4} + L_{5} > 12 + (L_{7} + 2 L_{8}) + ...) \end{matrix}

(10)

Innét következik, hogy

L_{3}, L_{4}

és

L_{5}

egyszerre nem lehetnek zérus értékűek, a mi előrebocsátott tételünknek megfelel.
7. A tételek közti kapcsolatosság, melynél fogva a

(2)

és

(4)

egyenlőségek,

(3)

és

(5)

valamint

(6)

és

(7)

egymással szembeállíthatók, az Euler-féle tétel azon tulajdonságának tudandó be, hogy a tétel az

l

és

c

mennyiségekre, vagyis a lapok és csúcsok számaira nézve symmetrikus. Ez a kapcsolatosság olyan, mint a gömbháromszög és poláris gönbháromszöge közötti összefüggés. Minden adott polyedernek megfelel egy ugyanannyi élű poláris polyeder, ha az első minden

m

-oldalú testszögletének a másodiknak egy-egy

m

-oldalú oldallapja felel meg, és az első minden

n

-oldalú lapjának a második egy

n

-oldalú testszöglete felel meg. Ezt a polaritást 1532-ben Maurolyeus vette észre, Keppler (harm. mundi libri V.) és Meister (1785-ben Comm. Götting. VII. p. 39.) fejlesztették tovább. Általános érvényességű tételbe Gergonne foglalta.
8. További következtetések vonhatók le a

(8), (9)

és

(10)

egyenletekből. Ugyanis a

(8)

-ból következik, hogy nincs olyan polyeder, a melynek egyidejűleg se háromszöglapja, se trieder csúcsa ne volna.

(9)

-ből, ha

l_{3} = 0

és

l_{4} = 0

az következik, hogy

\begin{matrix} l_{5} > 12 + (l_{7} + 2 l_{8} + ...) \end{matrix}

szóval: az olyan polyedernek, a melynek se háromszögű, se négyszögű oldallapja nincsen, legalább is

12

ötszögű oldallapjának kell lennie.
Ha

(7)

-ben

l

-et

(2)

-ből helyettesítjük, akkor

\begin{matrix} 2 (l_{3} + l_{4} + l_{5} + ...) = 4 + (L_{3} + 2 L_{4} + 3 L_{5} + ...) \end{matrix}

származik. Ha pedig

(6)

-ban

c

-t

(4)

-ből helyettesítjük, akkor

\begin{matrix} 2 (L_{3} + L_{4} + L_{5} + ...) = 4 + (l_{3} + 2 l_{4} + 3 l_{5} + ...) \end{matrix}

Ezekből új egyenleteket kapunk, ha az elsőnek

3

-szorosához hozzáadjuk a másodiknak

2

-szeresét.

\begin{matrix} 6 l_{3} + 6 l_{4} + 6 l_{5} + ... + 4 L_{3} + 4 L_{4} + 4 L_{5} + ... = \end{matrix}

\begin{matrix} = 12 + 3 L_{3} + 6 L_{4} + 9 L_{5} + ... + 8 + 2 l_{3} + 4 l_{4} + 6 l_{5} + ... \end{matrix}

Innét:

\begin{matrix} 4 l_{3} + 2 l_{4} + L_{3} = 20 + (2 L_{4} + 5 L_{5} + 8 L_{6} + ...) + (2 l_{6} + 4 l_{7} + ...) \end{matrix}

Ha itt föltételezzük, hogy

l_{3} = 0

és

l_{4} = 0

, akkor:

\begin{matrix} L_{3} = 20 + (2 L_{4} + ...) + (2 l_{6} + ...) \end{matrix}

szóval: az olyan polyederen, a melynek se háromszögletű, se négyszögletű oldallapja nincsen, legalább is

20

háromoldalú csúcsot találunk.
Hasonlóképpen áll:

\begin{matrix} 4 L_{3} + 2 L_{4} + l_{3} = 20 + 2 l_{4} + 5 l_{5} + 8 l_{8} + ... + 2 L_{6} + ... \end{matrix}

Ha itt föltételezzük, hogy

L_{3} = 0

és

L_{4} = 0

, akkor

\begin{matrix} l_{3} = 20 + (2 l_{4} + ...) + (2 L_{6} + ...) \end{matrix}

szóval: az olyan polyederen, a melynek se háromoldalú, se négyoldalú testszöglete nincsen, legalább is

20

háromszöglapot találunk.
Hasonlóképpen még számos tételt állíthatunk fel.
9. Szabályos testek. Az Euler-féle tétel alapján könnyen kimutatható, hogy csakis

5

-féle olyan convex polyeder létezik, a melyeken minden oldallap ugyanannyi-oldalú sokszög és minden testszögleten ugyanannyi él találkozik.
Ha az oldallapok

n

oldalú sokszögek, s a testszögletek

m

-élűek, akkor minden él két lapnak levén metszésvonala és két csúcsot kötvén össze:

\begin{matrix} 2 e = n l = m c . \end{matrix}

Ezen egyenlőségekkel az Euler-féle egyenlőségből

e

és

c

kiküszöböltetvén:

\begin{matrix} l = \frac{4 m}{2 (m + n) - m n} . \end{matrix}

Itt

n

-nek, rendre a lehetséges értékeket tulajdonítván, a következő esetek állanak elő:
(1)

\begin{matrix} n = 3, l = \frac{4 m}{6 - m} . \begin{matrix} H a & m = 3 & a k k o r & l = 4 \\ " & m = 4 & " & l = 8 \\ " & m = 5 & " & l = 20 \end{matrix} \end{matrix}

s így a tetraeder, oktaeder és ikosaeder származnak.
(2)

\begin{matrix} n = 4, l = \frac{2 m}{4} . Ha m = 3 akkor l = 6 \end{matrix}

s így a hexaeder létesül.
(3)

\begin{matrix} n = 5, l = \frac{4 m}{10 - 3 m} . Ha m = 3 akkor l = 12 \end{matrix}

s ygy a dodekaeder keletkezik.
Minthogy

n = 6

esetében

\begin{matrix} l = \frac{m}{3 - m}, \end{matrix}

s így

m

-nek nem adhatunk elfogadható értéket; még kevésbé akkor, ha

n > 6

, tehát csakis ezek a polyederek lehetségesek.
Ezek az ú. n. Plato-féle testek, a mennyiben Timaeus és Euclides is de anima mundi czímű munkákban tétetik róluk említés. Róluk szól Euclides is (Elementa XIII.) és valószínű, hogy ismeretük a pythagoraeusokra vezethető vissza.
Ha a felsorolt testek oldallapjai egybevágó szabályos sokszögek, tehát testszögleteik is egybevágóak, akkor ezek a testek szabályosak. Mint azt az alábbi táblázat mutatja, megvan köztük a reciprocitás, a mennyiben az oktaederrel szembe helyezhető a hexaeder, a dodekaederrel szembe az ikosaeder, a teraeder önönmagának a conjugáltja.

\begin{matrix} \begin{matrix} A test neve & n & m & l & e & c \\ Tetraeder & 3 & 3 & 4 & 6 & 4 \\ Oktaeder & 3 & 4 & 8 & 12 & 6 \\ Hexaeder & 4 & 3 & 6 & 12 & 8 \\ Ikosaeder & 3 & 5 & 20 & 30 & 12 \\ Dodekaeder & 5 & 3 & 12 & 30 & 20 \end{matrix} \end{matrix}

A szabályos testekről elmondottakra a középiskolai tanítás is kiterjeszkedik, s ha itt tárgyaltuk, akkor ez csak a teljesség okáért történt.
10. A convex polyederek lapjainak szögösszege az eddigiek alapján könnyen megállapítható. A derékszöget egységül véve, az

n

-oldalú sokszög szögösszege

= 2 n - 4

. Ha tehát a polyeder oldallapjai közt

n, n', n'', ...

-oldalú sokszögek vannak, a keresett szögösszeg:

\begin{matrix} (2 n - 4) + (2 n' - 4) + (2 n'' - 4) + ... \end{matrix}

Ebben az összegben szám szerint

l

tag szerepelvén, tehát az így írható:

\begin{matrix} 2 (n + n' + n'' + ...) - 4 l . \end{matrix}

Minthogy minden él két laphoz tartozik, tehát

\begin{matrix} n + n' + n'' + ... = 2 e \end{matrix}

s így a szögösszeg

= 4 (e - l)

. Euler tétele szerint azonban

\begin{matrix} e - l = c - 2 \end{matrix}

tehát a szögösszeg

= 4 (c - 2)

.
Ezt tétel alakjában így fejezhetjük ki: ha a derékszöget vesszük szögegységül, akkor minden convex polyederen az oldallapok szögösszege

4

‐szer akkora, mint a

2

‐vel kevesbített csúcsok száma.
E szerint a platonikus testek lapjainak szögösszege a táblázat szerinti sorrendben

8, 16, 24, 40, 72

rectus. Ezekből az adatokból megállapíthatók a szabályos platonikus testek testszögleteiben az oldalak szögösszegei.