A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A stereometriában a polyederekről csupán egy általános tétel szokott a középiskolában tárgyaltatni, az ú. n. Euler-féle tétel. A következőkben a rendelkezésemre álló források alapján kiegészítendem a tanulóknak a polyederekről szerzett ismereteit, még pedig oly részletekkel, melyek minden nehézség nélkül könnyen megérthetők, s a tanuló látókörét tágítani alkalmasak. 1. Euler tétele. Convex polyeder alatt oly zárt testet értünk, melynek bármely oldallapját határtalanul kiterjeszthetjük a nélkül, hogy ez a lap a testet két darabra vágná. E szerint a convex polyeder minden oldal lapjának csakis egyik oldalán terül el. Ezeket előrebocsátva, mondhatjuk, hogy: minden convex polyedernél az éleknek -vel megnövesztett száma egyenlő a lapok és csúcsok összegével. A tankönyveinkben hagyományos bebizonyítás helyett a következőt hozom javaslatba, mely Cauchy-tól származott és egyszerűbb, valamint érthetőbb is amannál. Behizonyítandó, hogy: Tekintsünk egyelőre egy összefüggő, de nyitott convex polyedrális felületet. Ennek széle síkban fekvő vagy térbeli polygon leszen. Erre az alakzatra nézve áll az egyenlőség, a mit teljes inductió segítségével könnyen igazolhatunk. Ugyanis, ha a lapok száma , vagyis az alakzat egyetlen egy sík sokszögből áll, akkor a tétel közvetlenül világos; mert a sokszögben az élek száma egyenlő a csúcsok számával. Föltéve már most, hogy a tétel számú lap esetében áll, csupán azt kell bebizonyítanank, hogy számú lap esetében is érvényes. E czélból csatoljunk a tekintetbe vett alakzathoz egy új lapot, melynek oldala és csúcsa legyen. Ha ezen új lapnak az alakzathoz való csatolása nem létesít zárt polyedert, akkor az új lap kerülete nem eshetik össze az alakzat szélével. Föltéve, hogy az új lapnak számú éle esik egybe az alakzat szélével, akkor csúcsa is közössé válik (mert él csúcsot, él csúcsot stb. köt össze). Ennélfogva az új lapnak még éle és csúcsa marad szabadon. Az új lap hozzácsatolásával az eredeti alakzat lapjainak száma -gyé vált, éleinek száma -vel, csúcsainak száma pedig -gyel szaporodott, s így éleinek száma csúcsainak száma pedig Már pedig ezek az adatok eleget tesznek az egyenlőségnek. Tekintsünk már most egy zárt convex polyedert, és nyissuk ezt ki oly módon, hogy egyik oldallapját eltávolítjuk. Akkor az így előálló alakzatra érvényes föntebbi tételünk, a mennyiben az élek és csúcsok száma ugyanaz maradt, csupán a lapok száma csökkent -gyel. Így tehát a nyitott polyedrális lapra nézve honnét 2. Történeti adatok. A tétel már az ókorban ismeretes lehetett; mert e nélkül Archimedes nem sorolhatta volna fel a semi-reguláris testeket. Előfordul a tétel Descartes-nál is (Oeuvres inédites de D. par M. Foucher de Careil. II. p. 214.), de nincsen explicite kifejezve. Ennélfogva valódi feltalálója Euler, ki ezt 1752-ben közölte, bebizonyításával együtt. (Nov. comm. Petrop. 4. p. 109. és 156.) A Cauchy-féle bebizonyitás 1813-ban (Journ. de l'École polyt. Cah. 16. p. 577.) jelent meg. Vannak még számos más bizonyítások is, mint pl.Grunert-é (Crelle Journ. II. p. 367.); Staudt-é (Geometrie der Lage p. 49. 1847); Thicme-é, (Szt.-Pétervárról 1867. nov. 10-éről kelt levelében); August-é (a kölni realgymnasium 1854-iki értesítőjének 4. oldalán) végre Legendre (Geom. VII. 25.), L'Huilier (Gergonne Annales 1812. p. 178.) és Steiner (Crelle Journ. I. p. 364.) bizonyításai. A bizonyításoknak sokoldalúsága és nagy száma rendszerint a tétel kiváló fontossága mellett tanúskodik. 3. A tétel következményei. Tekintsünk ezek után egy oly polyedert, melynek oldallapjai közt van szám szerint: háromszögű, négyszögű, ötszögű lap. Akkor: és minthogy minden él két laphoz tartozik, tehát Az utóbbi egyenletből | | tehát | | Vgyis: a convex polyederben a páratlan oldalú oldallapok száma páros. Tekintsünk továbbá egy oly polyedert, melyen szám szerint trieder, tetraeder, pentaeder csúcs találhaló. Akkor: és minthogy minden él két csúcsot köt össze, tehát Az utóbbi egyenletből tehát | |
Vagyis: a convex polyederben a páratlan oldalú testszögletek száma páros. Ha az és egyenlőségekből és kiküszöböltetnek, akkor ha pedig az és egyenlőségekből és kiküszöböltetnek, akkor származik Ezek a tételek Legendre-től (Géom. Note 8.) származnak és Gergonne-tól (Ann. de Math. 15. p. 157.) egészíttettek ki. Segítségükkel nehány igen érdekes tételt bizonyíthatunk be. 4. Minden convex polyederben a háromszögű oldallapok és a triederek számainak összege legalább is . Ugyanis az Euler-féle egyenletet -gyel sokszorozván: Itt -et a és -t a egyenlettől helyettesítvén, -t pedig a és egyenletek összegéből állítván elő: | | Ezt pedig így is írhatjuk: | | | | más szóval: | | (8) | a mi előrebocsátott tételünk helyessége mellett bizonyít. 5.Olyan convex polyeder, a melynek minden oldallapja -nél többoldalú sokszög volna, nincsen. Ugyanis a egyenlőség -szorosát az egyenlőséggel összehasonlítva, azt találjuk hogy . Ebbe az egyenlőtlenségbe -nek és -nek értékeit a ill. egyenlőségekből helyettesítvén: | | | | | | (9) |
Innét az következik, hogy és egyszerre nem lehetnek zérus értékűek, a mi előrebocsátott tételünknek megfelel. 6. Olyan convex polyeder, a melynek minden csúcsában -nél több él találkoznék, nincsen. Ugyanis a egyenlőség -szorosát a egyenlőséggel összehasonlítva, azt találjuk, hogy . Ebbe az egyenlőtlenségbe -nek és -nek értékeit az és egyenlőségekből helyettesítvén: | | | | | | (10) |
Innét következik, hogy és egyszerre nem lehetnek zérus értékűek, a mi előrebocsátott tételünknek megfelel. 7. A tételek közti kapcsolatosság, melynél fogva a és egyenlőségek, és valamint és egymással szembeállíthatók, az Euler-féle tétel azon tulajdonságának tudandó be, hogy a tétel az és mennyiségekre, vagyis a lapok és csúcsok számaira nézve symmetrikus. Ez a kapcsolatosság olyan, mint a gömbháromszög és poláris gönbháromszöge közötti összefüggés. Minden adott polyedernek megfelel egy ugyanannyi élű poláris polyeder, ha az első minden -oldalú testszögletének a másodiknak egy-egy -oldalú oldallapja felel meg, és az első minden -oldalú lapjának a második egy -oldalú testszöglete felel meg. Ezt a polaritást 1532-ben Maurolyeus vette észre, Keppler (harm. mundi libri V.) és Meister (1785-ben Comm. Götting. VII. p. 39.) fejlesztették tovább. Általános érvényességű tételbe Gergonne foglalta. 8. További következtetések vonhatók le a és egyenletekből. Ugyanis a -ból következik, hogy nincs olyan polyeder, a melynek egyidejűleg se háromszöglapja, se trieder csúcsa ne volna. -ből, ha és az következik, hogy szóval: az olyan polyedernek, a melynek se háromszögű, se négyszögű oldallapja nincsen, legalább is ötszögű oldallapjának kell lennie. Ha -ben -et -ből helyettesítjük, akkor | | származik. Ha pedig -ban -t -ből helyettesítjük, akkor | | Ezekből új egyenleteket kapunk, ha az elsőnek -szorosához hozzáadjuk a másodiknak -szeresét. | | | | Innét: | |
Ha itt föltételezzük, hogy és , akkor: | | szóval: az olyan polyederen, a melynek se háromszögletű, se négyszögletű oldallapja nincsen, legalább is háromoldalú csúcsot találunk. Hasonlóképpen áll: | | Ha itt föltételezzük, hogy és , akkor | | szóval: az olyan polyederen, a melynek se háromoldalú, se négyoldalú testszöglete nincsen, legalább is háromszöglapot találunk. Hasonlóképpen még számos tételt állíthatunk fel. 9. Szabályos testek. Az Euler-féle tétel alapján könnyen kimutatható, hogy csakis -féle olyan convex polyeder létezik, a melyeken minden oldallap ugyanannyi-oldalú sokszög és minden testszögleten ugyanannyi él találkozik. Ha az oldallapok oldalú sokszögek, s a testszögletek -élűek, akkor minden él két lapnak levén metszésvonala és két csúcsot kötvén össze: Ezen egyenlőségekkel az Euler-féle egyenlőségből és kiküszöböltetvén: Itt -nek, rendre a lehetséges értékeket tulajdonítván, a következő esetek állanak elő: (1) | |
s így a tetraeder, oktaeder és ikosaeder származnak. (2) s így a hexaeder létesül. (3) | | s ygy a dodekaeder keletkezik. Minthogy esetében s így -nek nem adhatunk elfogadható értéket; még kevésbé akkor, ha , tehát csakis ezek a polyederek lehetségesek. Ezek az ú. n. Plato-féle testek, a mennyiben Timaeus és Euclides is de anima mundi czímű munkákban tétetik róluk említés. Róluk szól Euclides is (Elementa XIII.) és valószínű, hogy ismeretük a pythagoraeusokra vezethető vissza. Ha a felsorolt testek oldallapjai egybevágó szabályos sokszögek, tehát testszögleteik is egybevágóak, akkor ezek a testek szabályosak. Mint azt az alábbi táblázat mutatja, megvan köztük a reciprocitás, a mennyiben az oktaederrel szembe helyezhető a hexaeder, a dodekaederrel szembe az ikosaeder, a teraeder önönmagának a conjugáltja.
| |
A szabályos testekről elmondottakra a középiskolai tanítás is kiterjeszkedik, s ha itt tárgyaltuk, akkor ez csak a teljesség okáért történt. 10. A convex polyederek lapjainak szögösszege az eddigiek alapján könnyen megállapítható. A derékszöget egységül véve, az -oldalú sokszög szögösszege . Ha tehát a polyeder oldallapjai közt -oldalú sokszögek vannak, a keresett szögösszeg: | | Ebben az összegben szám szerint tag szerepelvén, tehát az így írható: Minthogy minden él két laphoz tartozik, tehát s így a szögösszeg . Euler tétele szerint azonban tehát a szögösszeg . Ezt tétel alakjában így fejezhetjük ki: ha a derékszöget vesszük szögegységül, akkor minden convex polyederen az oldallapok szögösszege ‐szer akkora, mint a ‐vel kevesbített csúcsok száma. E szerint a platonikus testek lapjainak szögösszege a táblázat szerinti sorrendben rectus. Ezekből az adatokból megállapíthatók a szabályos platonikus testek testszögleteiben az oldalak szögösszegei. |