Kezdőlap


Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből (Ptolemaios) 4.
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1903/március, 181 - 184. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ptolemaios.

A XII. fejezetben Ptolemaios a legutóbb nyert tételeket speciális esetre alkalmazza. Az

A B Γ Δ

legnagyobb kör a Föld egyik délköre, az

A E Γ

a Föld egyenlítőjének fele, a

B E Δ

pedig az ekliptika körének fele (1. ábra);

E

pont, két utóbbi félkör metszési pontja, a tavaszpont; legyen továbbá

B

a téli és

Δ

a nyári szolsticium; végre pedig

Z

a Föld sarka. Vegyünk fel az ekliptika körén egy

30^{\circ}

-ú

E H

ívet; vonjuk meg a

Z

és

H

pontokon át a

Z H Θ

ívet és számítsuk ki

H Θ

ív nagyságát."
Ebben a szerkesztésben a

(6)

tétel alapján ,,a

Z A

kétszeres ívéhez tartozó húr aránya az

A B

kétszeres ívéhez tartozó húrhoz összetevődik

Θ Z

kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg a

Θ H

kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából és a

H E

kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg az

E B

kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából. De a

Z A

kétszeres íve

180^{\circ}

és az ehhez tartozó húr

\bar{120}

, az

A B

kétszeres íve

47^{\circ} 42' 40''

^{$^{*}$} és az ehhez tartozó húr hossza

\bar{48} 31' 55''

; azonkívül a

H E

kétszeres íve

60^{\circ}

és az ehhez tartozó húr hossza

\bar{60}

; az

E B

kétszeres íve

180^{\circ}

és a hozzátartozó húr hossza

\bar{120}

." Ezeket az aránylatba behelyettesítve, lesz:

\begin{matrix} \frac{\bar{120}}{\bar{48} 31' 55''} = \frac{sin Θ Z}{sin Θ H} \cdot \frac{\bar{60}}{\bar{120}} . \end{matrix}

Rövidités után ,,marad a

Θ Z

kétszeres ívéhez tartozó húr aránya a

Θ H

kétszeres ívéhez tartozó húrhoz, a mely annyi, mint

\bar{120}

-nak aránya

\bar{24} 15' 57''

-hez. De a

Z Θ

kétszeres íve

180^{\circ}

és a hozzátartozó húr hossza

\bar{120}

, tehát a

Θ H

kétszeres ívéhez tartozó húr hossza

\bar{24} 15' 57''

: ennek következtében a

Θ H

ív kétszerese

23^{\circ} 19' 59''

és

Θ H

ív maga nagyon közelítőleg

11^{\circ} 40'

."
Hasonló számítást végez még

E H = 60^{\circ}

esetében, a mikor azután

Θ H

ívet

20^{\circ} 30' 9''

értékűnek találja. A fejezetet pedig ezzel zárja
,,Az egyes ívek értékeit külön-külön ily módon kiszámítva, összeállíthatunk a negyedkör

20^{\circ}

-áról egy táblázatot, hol megtalálhatjuk azokat a mennyiségeket, melyeket most tárgyaltunk. Itt mutatjuk be ezt a táblázatot."
Ennek a táblázatnak egyes sorait mi is bemutatjuk e helyen:

E táblázathoz még csak a következő magyarázatot kell adnunk: a XII. fejezet végczélja az

E Θ H

derékszögű gömbháromszög

Θ H

befogójának kiszámítása ebből az összefüggésből:

\begin{matrix} sin Θ H = sin E H \cdot sin 23^{\circ} 51' 20'', \end{matrix}

tehát a derékszögű gömbháromszög sinustételéből. Csillagászati szempontból pedig így fogalmazhatjuk a feladatot: Ptolemaios táblázatában a Napnak mindenkori deklinációját lehet megtalálni, ha megadjuk a Napnak az ekliptikán való távolságát (ívmértékben) a tavaszponttól. A Nap maximális deklinációját ennélfogva az ekliptikán a tavaszponttól

23^{\circ}

-nyira találjuk (vagyis a szolsticiumokban) az ekliptikai hajlásszög értékében.
A XIII. fejezet végre azzal foglalkozik, hogy mekkora az

E Θ

ív az egyenlítőn?
Ptolemaios ezt a számítást is abban az esetben végzi, a mikor az

E H

ív az ekliptikán

30^{\circ}

. ,,Az előbbiek szerint a

Z B

kétszeres ívéhez tartozó húr aránya a

B A

kétszeres ívéhez tartozó húrhoz összetevődik a

Z H

kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg a

H Θ

kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából és a

Θ E

kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg az

E A

kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából. ^{$^{*}$} De

Z B

ív kétszerese

132^{\circ} 17' 20''

és a hozzá tartozó húr

\bar{109} 44' 53''

; az

A B

kétszeres íve pedig

47^{\circ} 42' 40''

és a hozzá tartozó húr

\bar{48} 31' 55''

. Azonkívül a

Z H

kétszeres íve

156^{\circ} 40' 1''

és a hozzá tartozó húr

\bar{117} 31' 15''

. Az

H Θ

ívének kétszerese

23^{\circ} 19' 59''

és a hozzá tartozó húr

\bar{24} 15' 57''

. Így tehát a

\bar{109} 44' 53''

és a

\bar{48} 31' 55''

arányából nyerjük a

\bar{117} 31' 15''

arányát a

\bar{24} 15' 57''

-hez; marad tehát a

Θ E

kétszeres ívéhez tartozó húr aránya az

E A

kétszeres ívéhez tartozó húrhoz." A behelyettesítések után és annak tekintetbe vételével, hogy

E A

ívének kétszerese

180^{\circ}

és a hozzá tartozó húr

\bar{120}

, következik, hogy ,,a

Θ E

kétszeres ívéhez tartozó húr hossza

\bar{56} 1' 25''

. Ebből folyólag a

Θ E

kétszeres íve igen közel

55^{\circ} 40'

és

Θ E

ív maga

27^{\circ} 50'

."
A fejezet végén még egy hasonló számítást találunk, mely

E H = 60^{\circ}

esetében a

Θ E

ívet

57^{\circ} 44'

értékűnek találja. Végre pedig a

Θ E

közbeneső értékeire az arányos részek értékeit közli. Ezzel be is fejeződik az I. könyv.
E legutolsó fejezet feladatához csak még azt jegyezzük meg, hogy mai jelöléseinkkel azt a

\begin{matrix} tg Θ E = tg E H \cdot cos 23^{\circ} 51' 20'' \end{matrix}

képlet alapján végeznők el.

^{$^{*}$}Ez az egyenlítő és az ekliptika hajlásszögének kétszerese. Ptolemaios szerint tehát ez a hajlásszög:

23^{\circ} 51' 20''

, a mi elég pontos adat volt, mert Ptolemaios idejében az ekliptika hajlásszöge tényleg igen megközelítőleg akkora lehetett.

^{$^{*}$}Az (5) tétel alapján; l. 152. lap.