A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ptolemaios 3.
Az "Almagest". A X. fejezet egy nagyon egyszerű készüléket ír le, mely a Nap magasságának meghatározására szolgál annak delelésekor. A XI. fejezet, melynek czíme körülbelül ez: "Bevezető tételek a gömbi tárgyalásokhoz" ismét kiválóan fontos és érdekes tételeket vezet le. Az első ezek közül így szól: ha két ( és egyeneshez más kettőt és húzunk, melyek egymást pontban metszik, akkor és aránya és meg és arányából tevődik össze.
Ez azt jelenti, hogy a miből: Ptolemaios a tétel bizonyítását is adja. Meghúzza a -val párhuzamos segédvonalat, miáltal ezeket az aránylatokat kapja: és Ez aránylatokból és a miből rendezés után máris megkapjuk a bebizonyítandó tételt.
Ptolemaios ugyanezekre az egyenesekre hasonló módon (ez esetben az pontból a -vel párhuzamosan vont segédvonal révén) egy másik tételt vezet le: vagy:
Egy harmadik levezetése a következő: legyen egy kör középpontja és a kör kerületén három pont: és . Kössük össze és pontokat és vonjuk meg és pontokon át az átmérőt. E két vonal pontban metszi egymást. Rajzoljuk meg az és pontokból az átmérőre bocsátott és merőlegeseket; ekkor
"De ugyanaz az arány van és között, mint az kétszeres ívéhez tartozó húr és a kétszeres ívéhez tartozó húr között. Mert a merőlegesek e húrok e. Tehát az arány és között ugyanaz, mint az kétszeres ívéhez tartozó húr és a kétszeres ívéhez tartozó húr között". (3) Nem szabad többé elsiklanunk e kifejezés fölött, mellyel a mathematika történetében immár másodszor találkozunk: a kétszeres ívhez tartozó húr; első ízben a Menelaos-féle tételnek gömbháromszögre való kiterjesztésénél tűnt fel (K. M. L. IX. évf. 222. l.). Tudjuk, hogy a kör sugarához viszonyítva ennek a húrnak a fele nem egyéb, mint a húrhoz tartozó középponti szög felének a sinusa. Ennélfogva nem túlságos merész az az állítás, hogy a goniometria lényege már a görögök mathematikájában bukkan fel és hogy inkább csak a szavak, az elnevezések hiánya miatt nem ismerjük fel rögtön, első pillantásra. A legutóbb tárgyalt aránylat mai jelöléseinkkel tehát ez: A következő tételt arra az esetre bizonyítja be, a mikor az pont a körön kívül esik: ekkor "a kétszeres ívéhez tartozó húr úgy aránylik az kétszeres ívéhez tartozó húrhoz. mint az -hoz" ... vagyis:
Ezekkel a tételekkel most már követhetjük Ptolemaiost gömbháromszögtani fejtegetéseibe is. Ezeket így vezeti be: rajzoljunk egy gömb felületére különböző íveket (ld. ábra), melyek legnagyobb körökhöz tartoznak; legyenek ezek és ívek, melyek a és íveket metszik; és ívek pontban metszik egymást.
Ekkor "a kétszeres ívéhez tartozó húr aránya az kétszeres ívéhez tartozó húrhoz összetevődik a kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg a kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából és a kétszeres ívéhez tartozó húrnak meg a kétszeres ívéhez tartozó húrnak arányából." "Mert legyen a gömb középpontja és húzzuk meg e pontból a és pontokhoz, melyek ugyanegy körön feküsznek, az és egyeneseket. Húzzuk meg az egyenest, a mely meghosszabbítva meghosszabbítását pontban metszi. Húzzuk meg a és húrokat, melyek megfelelően -t pontban és -t pontban metszik. A , és pontok egy egyenesben feküsznek. Ugyanis mind a három egyidejűleg két síkban fekszik: az háromszög és a kör síkjában. Így azután a és egyenesek pontban metszik egymást. Ennélfogva: De a miképpen aránylik -hoz, úgy aránylik kétszeres ívéhez tartozó húr az kétszeres ívéhez tartozó húrhoz. És úgy aránylik -hez, mint a kétszeres ívéhez tartozó húr a kétszeres ívéhez tartozó húrhoz. De még úgy aránylik -hoz, mint a kétszeres ívéhez tartozó húr a kétszeres ívéhez tartozó húrhoz." Ezekből pedig már következik az a tétel, melyet Ptolemaios e gömbháromszögtani fejtegetés elején kimondott és a mely mai goniometriai jelöléseinkkel ily alakú: | | (5) | A fejezet végén még egy hasonló összefüggés van: | | (6) |
A(2)egyenletalapján;l.150.lap. A (3) tétel alapján; l. 151. lap. A (4) tétel alapján; l. 151. lap. |
|