A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ptolemaios. Az ,,Almagest". A IX. fejezet czíme: A körbe írt egyenesek értékéről. Rendkívül érdekes és fontos fejezet ez, mert nem egyéb, mint egy rendszeres goniometriai táblázat, melyet a kiszámításához szükséges elméleti vonatkozások előznek meg. Minden hosszadalmas magyarázat helyett legczélszerűbb magát a szerzőt megszólaltatni: ,,A gyakorlat könnyebbsége végett egy táblázatot állítunk össze ez egyenesek értékéről, miközben a kerületet fokra osztjuk fel. Táblázatunknak összes ívei fél fokkal növekednek, állandóan, és mi megadjuk ez ívek mindegyikéhez a húr értékét, azzal a föltevéssel, hogy az átmérőt részre osztottuk fel. A használat révén látni fogjuk, hogy ez a szám a legkényelmesebb, melyet választani lehet. Megmutatjuk előbb, miképpen készül oly tételek lehető legkisebb számának segítségével, melyek mindig ugyanazok, általános és pontos módszer amaz értékek meghatározására. Nem szorítkozunk azonban erre a táblázatra, a melyből ez értékeket kivehetjük, az elmélet ismerete nélkül, de megkönnyítjük az eszközöket, hogy azokat kipróbáljuk és igazoljuk, megadva a szerkesztési módszereket. Általánosságban a hatvanas számozást használjuk, hogy elkerüljük a törtek bonyodalmasságát; és a szorzásokban és osztásokban mindig a legmegközelítőbb eredményeket vesszük, oly módon, hogy az, a mit elhanyagolunk, nem zavarja meg azok pontosságát." Ezek után minden átmenet nélkül meghatározza a körbe írt szabályos ötszög és szabályos tízszög oldalát, oly módon, hogy a kör sugarának felező pontjából (. ábra) az hosszúságot az átmérőre leforgatja -be és kimutatja, hogy a szabályos tízszög és a szabályos ötszög oldala.
Most következik a legérdekesebb részek egyike: a goniometriai értékek kiszámítása. Ez a rész mindenekfölött arra érdemes, hogy szó szerint ismertessük e helyen: ,,Miután, mint mondottam, a kör átmérőjét felosztottuk 120 részre, , mely a sugár fele, résznyi és négyzete . A sugár, résznyi és négyzete ; de , vagyis négyzete : következőleg ennek az vonalnak hossza egész és rész) és így -nek a hossza egész és rész). Továbbá, mivel maga , négyzete ; de négyzete és e két négyzet összege egyenlő négyzetével, mely ennélfogva , tehát maga . Nyilvánvaló, hogy a szabályos hatszög oldala, mely -ú ívet befog és mely a sugárral egyenlő, részt foglal magában. Éppen így a négyzet oldalának, mely a kerületnek -ját fogja be, a négyzete kétszerese a sugár négyzetének; és a háromszög oldalának, mely -ot fog be, a négyzete háromszorosa a sugár négyzetének. De a sugár négyzete és így a négyzet oldalának négyzete , a háromszög oldaláé pedig . Ennélfogva az az oldal, mely a kerületnek -ját fogja be, és az az oldal, mely -ot fog be, résznyi hosszú." Ezek után hasonló módon kiszámitja még a -ú ívhez tartorzó húrt, melyet hosszúnak talál, azután egyéb húrok kiszámítása czéljából áttér a körbe írt négyszög tárgyalására és ennek folyamán levezeti azt a nevezetes tételt, mely Ptolemaios nevével kapcsolatosan ismeretes. E tétel is arra érdemes mathemtikai fontosságánál és történeti érdekességénél fogva, hogy levezetését egész terjedelmében közöljük: ,,Legyen a körbe írt tetszőleges négyszög ; húzzuk meg az átlóit: és . Be kell bizonyítani, hogy az és vonalokkal megszerkesztett téglalap egyenlő az és meg az és szembenfekvő oldalakkal megszerkesztett téglalapokkal (mai kifejezéseinkkel: .
Legyen szög akkora, mint . Ha mindegyikhez hozzácsatoljuk a közös szöget, az szög akkora lesz, mint az szög. De és szögek egyenlők egymással, mert ugyanazon az íven nyugvó kerületi szögek. Tehát az és háromszögek egyenlő szögűek. Ennélfogva úgy aránylik a -hoz, mint a -hoz. Így (értsd: ) annyi, mint . Továbbá, mivel szög egyenlő szöggel és szög egyenlő szöggel, az és háromszögek is egyenlő szögűek; ennélfogva úgy aránylik az -hez, mint a -hoz. Így annyi, mint . Kimutattuk tehát, hogy akkora, mint . Következőleg az egész négyszög akkora, mint az és négyszögek. Ezt kellett kimutatni." Hogy mi czélból volt szüksége Ptolemaiosnak erre a tételre, az a következőkből derül ki. A körbe írt négyszög egyik oldalának a kör átmérőjét ) veszi, másik két oldalának pedig oly húrokat, melyeket már ismer, pl. és húrokat. Mivel tehát most már az húrnégyszögnek két átlóját és három oldalát ismeri, kiszámíthatja a ívhez tartozó húr hosszát is. Így egyebek között a -ú és -ú ívekhez tartozó húrokból a -ú ívhez tartozó húrt.
Továbbá meg tudja határozni egy kis segédszerkesztéssel a ívhez tartozó ismert húrból a ívhez tartozó húr nagyságát is. ,,Így például a -ú szöghöz tartozó húrból megtaláljuk a -ú, a -ú, az -ú és a -ú ívhez tartozó húrokat. A számítás által azt találjuk, hogy az -ú ívhez tartozó húr és a -hoz tartozó húr ." Végre pedig, miután két szöghöz tartozó húrokból kiszámította az e szögek összegéhez tartozó húr nagyságát, a nagyon kis szögekhez: az ‐ és -ú szögekhez tartozó húrokat határozza meg, ez esetben már egyszerű arányosság révén. És most mindezek után következik maga a táblázat, az ókori mathematikai munkálkodásnak egyik legérdekesebb és legbecsesebb gyümölcse. Mivel az Almagest kiadásához meglehetősen ritkán lehet csak hozzá férni, a táblázat pedig nagyon is arra érdemes, hogy megismerjük, nem tartom fölösleges dolognak, hogy egyes töredékeit e helyen bemutassam. Itt közlöm a táblázat kezdetét, mellette a magyar fordítását, illetőleg mai számainkkal való értelmezését:
A második rovatban találhat jel, mint a görög betű fele, fokot jelent. Nem tartjuk érdektelen vagy hiábavaló dolognak, ha kissé mélyebben bocsátkozunk e táblázat fejtegetésébe és egy-egy adatának utána számításába. A táblázat első sora megadja a -nyi ívhez tartozó húr nagyságát az átmérő részeiben kifejezve, mint a hogy minden sor az általános szöghöz tartozó húr: nagyságát adja meg. Ennélfogva az első sorbeli húr értéke: | | | | tehát csakugyan , a mint Ptolemaios a szövegben jelölte. Mivel pedig látja, hogy kis szögekhez tartozó húrok korlátolt pontossággal arányosak a szögekkel (hiszen még a -ú szöghöz tartozó húr is kétszer akkora, mint az -ú szöghöz tartozó húr: ), bátran térhet át a -nél kisebb szögekhez tartozó húrokra egyszerű arányosság útján. Ha tehát a -nyi szöghöz tartozó húr: értékét elosztja -cal, megkapja az -nyi szöghöz tartozó húr nagyságát ez értékben: | | a mint azt a táblázatban csakugyan így meg is találjuk. Ugyane rovat többi sorai pedig szintén arányos részek, melyek szerint a kis szögkülönbségekhez tartozó húrkülönbségek korlátolt pontossággal változnak. Ezek tehát egyszerűen az -hez tartozó arányos részek, mint a milyeneket a mi logarithmus-könyveinkben is találunk. Ptolemaios táblázatát tovább kísérve, még a következő nevezetesebb szögekhez tartozó húrokat említhetjük meg:
6006000005421
mert a 60∘-ú szöghöz tartozó húr akkora, mint a sugár, tehát 60 egység; érdekesebb sor továbbá ez:
ζδπδναιδδμδϰ 900845110004420
mert a 90∘-ú szöghöz tartozó húrnak, vagyis a körbe irt négyzet oldalának nagysága | r2=60⋅1,414213=84+51(160)+10(13600). | Végre pedig a táblázat utolsó sora ez: ϱπδϱϰδδδδδδ 18001200100000
mert a 180∘-ú szöghöz tartozó húr maga az átmérő, vagyis 120 egység. Mindezekből azt látjuk, hogy Ptolemaios táblázatának tartalma nem egyéb, mint a szögek sinusai, melyeknek értékei az iskolai logarithmus-könyvekben rendesen a II. táblázatban megvannak. Hiszen a Ptolemaios-féle táblázatból minden szög sinusát lehet kiszámitani: Ptolemaios-féle adatot csak el kell osztani 120-szal és megvan az illető szög felének a sinusa.
|