Cím:	A Középiskolai Mathematikai Lapok versenyfeladatai - 1901. - 1. rész
Füzet:	1901/december, 102 - 103. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   VERSENY FELADATOK.   A Középiskolai Mathematikai Lapokban kitűzött feladatok száma elérte az első ezret. Ez alkalomból lapunk szerkesztősége nyolcz versenyfeladatot tűz ki. A feladatok legügyesebb megfejtőit jutalomdíjakkal tüntetjük ki. Összesen hat dolgozat részesül jutalomban. Az első díj $20$ korona, a második díj $15$ korona, egy-egy harmadik díj $10$ korona. A versenyen részt vehet minden középiskolai tanuló. Versenyezni egyes feladatokkal is lehet. Minden megoldás külön lapon legyen. A megoldások 1902 január hó 31 -éig küldendők be. A kitűzött feladatok a következők:   993. Mutassuk meg, hogy mindama hat vagy hét jegyű számok, melyek alakúak $(a\mathrm{,}b$ és $c$ tetszés szerinti számjegyek), $23$-mal és $29$-el oszthatók.   994. Bizonyítsuk be a következő tételt: Ha a természetes számsort $100$-ig, $1000$-ig, $10000$-ig stb. folytatjuk, a számok sorából a $4$-gyel osztható számokat kizárjuk és a megmaradt számok összegét $6$-tal elosztjuk, akkor a nyert hányados egy számnak teljes négyzete. Hogyan általánosítható e tétel?   995. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az $1^{\circ }\mathrm{,}{2}^{\circ }\mathrm{,}{3}^{\circ }\mathrm{,}\text{...}{179}^{\circ }$ szögekből tetszés szerint választott $3$ szög egy különoldalú háromszögnek a $3$ szöge ?   996. Adva van az $ABC$ háromszög $t$ területe és $3$ szöge. Rajzoljuk meg az $A{A}_1$ magasság $A_1$ talppontjából a $BA$ és $CA$ oldalakra az $A_{1}D$, illetőleg $A_{1}E$ merőlegeseket. Mekkora az $A_{1}DE$ háromszög $A_1{A}_2$ magassága és $t_2$ területe?   997. Egy kör alakú tekeasztalon egy átmérőt rajzolunk s ennek tetszés szerinti pontjába helyezzük el a golyót. Miként kell a golyót ellöknünk, hogy az kétszeri visszaverődés után ismét eredeti helyzetébe kerüljön.   998. Mutassuk meg, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{a}^n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\text{log}\left(a^{n-1}b\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\text{log}(a^{n-2b^2)}+\text{...}+}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)\text{log}\left(a{b}^{n-1}\right)+\text{log}{b}^n=\text{log}{\left(ab\right)}^{n{2}^{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$   Goldziher Károly.   999. Az $ABCD$ húrnégyszög csúcsaiból az $AC$ és $BD$ átlókra merőlegeseket bocsátunk, melyeknek talppontjai $A_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{,}{C}_1$ és $D_1$. Bizonyítsuk be, hogy az $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ négyszög az eredeti négyszöghöz hasonló, továbbá, hogy a merőlegesekből, mint oldalakból alkotott egyenközény átlói átmennek az eredeti négyszög két-két szemközt fekvő oldalának metszéspontjain.   Lukhaub Gyula.   1000. Két egyenes egy háromszögre vonatkozólag reciprok fekvésű, ha az oldalakkal való metszéspontjaik az oldalak középpontjaira nézve szimmetrikusak. Bebizonyitandó, hogy ha az egyik egyenes a súlyponton és egy érintő kör középpontján megy át, akkor a reciprok egyenes ezen érintő kört és a Feuerbach-féle kört közös pontjukban érinti.   Riesz Frigyes.