Kezdőlap


Cím:	A körbe írt szabályos tizennégyszög oldalának megszerkesztése
Szerző(k):	Molnár Sándor
Füzet:	1902/június, 223 - 224. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jelen kis dolgozat annak a kimutatását tűzte ki czélul, hogy hogyan lehet a kört a körsugár századrészénél kisebb hibával tizennégy egyenlő részre osztani; azaz, hogy hogyan lehet a körbe írt szabályos tizennégyszög oldalát a körsugár századrészénél kisebb hibával megszerkeszteni.
Bármely $r$ sugarú körben számtalan oly derékszögű háromszög szerkeszthető, melyek átfogója

\begin{matrix} a = \sqrt[]{r^{2} + \frac{r^{2}}{4}} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a = \frac{r}{2} \sqrt[]{5} . \end{matrix}

(1)

Ha az ily derékszögű háromszögnek átfogójára a kör középpontjából merőlegest bocsátunk, ez az

m

távolság a kört az említett pontossággal tizennégy részre osztja.

A rajzból látható, hogy

\begin{matrix} m = \sqrt[]{r^{2} - {(a - x)}^{2}} \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} m = \sqrt[]{\frac{r^{2}}{4} - x^{2}}, \end{matrix}

(3)

miből következik, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{r^{2} - {(a - x)}^{2}} = \sqrt[]{\frac{r^{2}}{4} - x^{2}}, \end{matrix}

a miból az (1) alatti kifejezés behelyettesítése után kapjuk, hogy

\begin{matrix} x = \frac{r}{2 \sqrt[]{5}} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = \frac{r \sqrt[]{5}}{10} . \end{matrix}

(4)

Ha már most a (2) és (3) alatti egyenletekbe az (1) és (4) alatti kifejezéseket helyettesítjük, kapjuk, hogy

\begin{matrix} m = \sqrt[]{r^{2} - {(\frac{r}{2} \sqrt[]{5} - \frac{r \sqrt[]{4}}{10})}^{2}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} m = \sqrt[]{\frac{r^{2}}{4} 4 - \frac{5 r^{2}}{100}} \end{matrix}

melyekből

m

távolságra külön-külön kapjuk, hogy

\begin{matrix} m = \frac{r}{\sqrt[]{5}} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} m = \frac{r \sqrt[]{5}}{5} . \end{matrix}

A körbe írt szabályos tizennégyszög oldala pedig

\begin{matrix} s_{14} = 2 r sin {(\frac{180}{14})}^{\circ} . \end{matrix}

Legyen hosszúságegység a kör sugara, akkor

\begin{matrix} m = \frac{\sqrt[]{5}}{5} . \end{matrix}

\begin{matrix} s_{14} = 2 sin {(\frac{180}{14})}^{\circ} . \end{matrix}

A számítások elvégzése azt mutatja, hogy három tizedesnyi pontossággal

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{5}}{5} = 0,447 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 sin {(\frac{180}{14})}^{\circ} = 0,445. \end{matrix}

Ebből kitűnik, hogy:
1. A kérdéses távolság ugyan nem egyenlő a kérdéses sokszögoldallal, de a szerkesztés egységnyi sugrú körnél közelítőleg olyan hibával adja meg a sokszögoldalt, mely kisebb a hosszúságegység századrészénél.
2. Tetszőleges sugarú körnél ez az eredmény így fejezhető ki:
A kérdéses szerkesztés közelítőleg olyan hibával szolgáltatja a sokszögoldalt, mely mindig kisebb a körsugár századrészénél.

Miskolcz.