Kezdőlap


Cím:	Vázlatok a mathematika történetéből 7. (Menelaos)
Szerző(k):	Baumgartner Alajos
Füzet:	1902/június, 221 - 223. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Menelaos.

(Kr. u. I. és II. század.)

Alexandriai Menelaosnak működése Hipparchoséhoz (l. K. M. L. IX. évf. 53. l.) hasonlatos és egyik művének: A húrok kiszámításáról szóló hat könyvének tartalma is részben ugyanaz lehetett, mint elődjének húrtáblázatos munkájáé. Még a sorsa is közös lett e két tudós műveinek, mert Menelaos hat könyve is nyomtalanul elveszett.
Személyéről szóló adatok nem maradtak fenn, csak egy kronológiai adatot találunk róla egy későbbi mathematikus: Ptolemaios egyik művében. A Hold állására vonatkozó két csillagászati megfigyelésről van ott szó, melyeket Menelaos a Kr. u. 98. évben, Rómában végzett.
Másik műve: a Sphaerica három könyve sincs meg ugyan eredetiben, de fennmaradtak megegyező arab és zsidó fordítások, melyek alapján több ízben latin kiadásokat rendeztek a műből. (A legnevezetesebb és legjobb ezek között a Halley- és Costard-féle 1758-iki oxfordi kiadás.)
E munkában megtaláljuk a gömbháromszögtan alapvető tételeit, többek között, hogy minden gömbháromszögben a három oldal összege kisebb

360^{\circ}

-nál, a három szög összege pedig nagyobb

180^{\circ}

-nál; hogy egyenlő oldalokkal szemben egyenlő, nagyobb oldalokkal szemben nagyobb szögek vannak. Egyéb tételek közül még említésre méltók azok, melyek arról szólnak, hogy a gömbháromszög szögeit felező legnagyobb körök egy pontban metszik egymást és ugyanezek mily arányban metszik a szemben fekvő oldalokat. A legnevezetesebb tétel azonban az, mely éppen Menelaos nevével kapcsolatosan ismeretes és mind a sík-, mind a gömbháromszög metszési viszonyaira vonatkozik.
Menelaos síkbeli tétele manapság úgy szól: hogy ha egy háromszög oldalait egy tetszőleges egyenes vonal metszi, oly szeletek keletkeznek, hogy azok közül három-három, melyeknek nincsen közös végpontjuk, egyenlő szorzatokat ad; vagy pedig egyszerűbben: az egyes oldalakon keletkező szeletek arányainak szorzata a positív egység. Tehát:

\begin{matrix} B_{1} C \cdot C_{1} A \cdot A_{1} B = C_{1} B \cdot A_{1} C \cdot B_{1} A \end{matrix}

vagy pedig^{$^{*}$}:

\begin{matrix} \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} \cdot \frac{C_{1} A}{C_{1} B} = 1, \end{matrix}

ha az egyenesnek az

A B C

hármszög oldalaival való metszési pontjait

A_{1}, B_{1}

és

C_{1}

-gyel jelöljük (1. ábra).

Menelaos maga azonban tételét még nem mondta ki sem az egyik, sem a másik alakban, hanem

\begin{matrix} B_{1} C : C_{1} B = A_{1} C \cdot B_{1} A : A_{1} C \cdot A_{1} B \end{matrix}

alapján oly fogalmazásban, hogy

B_{1} C

és

C_{1} B

A_{1} C

-nek

A_{1} C

-hoz és

B_{1} A

-nak

A_{1} B

-hez való összetett arányában állanak egymással.
Ezt a síkmértani tételt - melyet állítólag már Menelaos előtt is ismertek - Menelaos bebizonyította a gömbháromszögre is, a melynek oldalait valamely legnagyobb kör metszi. Ekkor azonban a gömbháromszög oldalainak szeletei helyébe e szeletek kétszeres íveihez tartozó húrok kerülnek, a mi mai jelzéseinkkel végeredményben erre az alakra vezet:

\begin{matrix} \frac{sin A_{1} B}{sin A_{1} C} \cdot \frac{sin B_{1} C}{sin B_{1} A} \cdot \frac{sin C_{1} A}{sin C_{1} B} = 1. \end{matrix}

Menelaos tétele egyébképpen még a hat mennyiség tétele: regula sex quantitatum neve alatt is ismeretes.

^{$^{*}$}*E tétel bizonyítását és alkalmazását lásd Visnya Aladár "A Menelaos-féle tétel alkalmazása czímű czikkében: K. M. L. IV. évf. (18968212;97.) 148. lap.