Kezdőlap


Cím:	A determinánsokról
Szerző(k):	Antal Márkus
Füzet:	1902/március, 175 - 180. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Értsük az $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |$ jel alatt az $(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ különbséget. Az itt fölírt determinánsnak két sora és két oszlopa, és összesen $2^{2}$ eleme van.
Definíczió: Ha valamely determinánsnak $n$ sora és $n$ oszlopa, tehát $n^{2}$ eleme van, akkor azt $n$ -edrendű determinánsnak nevezzük. Hogy miként határozható meg valamely $n$ -edrendű determináns értéke, arról későbben fogunk szólni.
A felírt másodrendű determinánst megvizsgálva, a következő tételekhez jutunk:
$1^{\circ}$ . A másodrendű determináns értéke nem változik, ha sorait oszlopaival ugyanolyan rendben felcseréljük. Ugyanis:

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \end{matrix}

2^{\circ}

. A másodrendű determináns előjele megváltozik, ha két sorát egymással felcseréljük. Ugyanis:

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{1} & b_{1} \end{matrix} | = a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2} = - (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = - | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | . \end{matrix}

3^{\circ}

. A másodrendű determináns értéke

0

, ha két sora egyenlő.

\begin{matrix} | \begin{matrix} a & b \\ a & b \end{matrix} | = a b - a b = 0. \end{matrix}

4^{\circ}

. A másodrendű determináns értéke

0

, ha valamelyik sorának minden eleme

0

. Pl.

\begin{matrix} | \begin{matrix} 0 & 0 \\ c & d \end{matrix} | = 0 \cdot d - 0 \cdot c = 0. \end{matrix}

5^{\circ}

\begin{matrix} | \begin{matrix} (a_{1} + a'_{1} & (b_{1} + b'_{1}) \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = (a_{1} + a'_{1}) b_{2} - a_{2} (b_{1} + b'_{1}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) + (a'_{1} b_{2} - a_{2} b'_{1}) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a'_{1} & b'_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | . \end{matrix}

Vagyis: Két determináns összege, ha ezek csak egy-egy megfelelő sor elemeiben különbözők, ismét determináns alakjában állítható elő.

6^{\circ}

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{1} c & b_{1} c \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = a_{1} b_{2} c - a_{2} b_{1} c = c | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | . \end{matrix}

Vagyis: A másodrendű determinánst úgy szorozzunk valamely számmal, hogy valamelyik sorának minden egyes elemét megszorozzuk vele.
Megjegyezzük, hogy az itt levezetett tételek az oszlopokra is érvényesek az

1^{\circ}

. tétel értelmében.
A harmadrendű determináns értékének kiszámítására nézve megállapodunk abban, hogy:

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | = a_{1} A_{1} - b_{1} B_{1} + c_{1} C_{1}, \end{matrix}

a hol

\begin{matrix} A_{1} = | \begin{matrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{matrix} |; B_{1} = | \begin{matrix} a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3} \end{matrix} |; C_{1} = | \begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{matrix} | . \end{matrix}

A_{1}, B_{1}, C_{1}

másodrendű determinánsok, melyeket igen könnyen előállíthatunk.

A_{1}

-et ugyanis úgy képezzük, hogy az

a_{1}

elemet tartalmazó sort és oszlopot kitöröljük. Tehát:

\begin{matrix} A_{1} = | \begin{matrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{matrix} | . \end{matrix}

Ugyanez a szabály érvényes

B_{1}

és

C_{1}

-re nézve is.
Általában az

n

-edrendű determináns kiszámítását

(n - 1)

-edrendű determináns kiszámítísára vezetjük vissza. Tehát pl.

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | = a_{1} A_{1} - b_{1} B_{1} + c_{1} C_{1} - d_{1} D_{1}, \end{matrix}

a hol pl.

\begin{matrix} A_{1} = | \begin{matrix} b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | stb . \end{matrix}

3

-ad,

4

-ed stb. rendű determinánsokra is kimutathatjuk

1 - 5

-ig felírt tételeink helyességét, ha a számításokat végrehajtjuk.
Lássuk már most a determinánsok alkalmazását egyenletrendszerek megoldásánál. Legyen megadva pl. a következő egyenletrendszer:

\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} u = e_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} u = e_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z + d_{3} u = e_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} a_{4} x + b_{4} y + c_{4} z + d_{4} u = e_{4} \end{matrix}

Ha pl.

x

-et akarjuk kiszámítani, akkor írjuk fel a következő determinánst:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} u - e_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} u - e_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z + d_{3} u - e_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} x + b_{4} y + c_{4} z + d_{4} u - e_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | . \end{matrix}

Ezen determináns értéke

0

, mert hiszen első oszlopának minden egyes eleme

0

. Most az

5

-ik tétel alapján e determináns szétbontható, úgy hogy nyerjük:

\begin{matrix} D = x | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | + y | \begin{matrix} b_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ b_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ b_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ b_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | + z | \begin{matrix} c_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ c_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ c_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ c_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | + \end{matrix}

\begin{matrix} + u | \begin{matrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ d_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | - | \begin{matrix} e_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ e_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ e_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | = 0. \end{matrix}

A 2., 3. és 4. determináns értéke

0

, mert mindegyikében van két-két egyenlő oszlop, tehát

\begin{matrix} + x | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} | = | \begin{matrix} e_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ e_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ e_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} |, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{| \begin{matrix} e_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ e_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ e_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} |} = \frac{| \begin{matrix} e_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ e_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ e_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} |}{D} = \frac{D_{1}}{D} . \end{matrix}

x

nevezőjében előforduló determináns az egyenletrendszer ismeretleneinek együtthatóiból van összetéve és az egyenletrendszer determinánsának

(D)

neveztetik.
Az

y

kiszámításánál

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{1} & a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} u - e_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & ... & ... & ... \\ a_{3} & ... & ... & ... \\ a_{4} & ... & ... & ... \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

determinánsból indulunk ki és akkor nyerjük, hogy :

\begin{matrix} y = \frac{| \begin{matrix} a_{1} & e_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & e_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & e_{3} & c_{3} & d_{3} \\ a_{4} & e_{4} & c_{4} & d_{4} \end{matrix} |}{D} = \frac{D_{2}}{D} . \end{matrix}

Épp így számíthatjuk ki a

z

és

u

értéket is. Egybevetve a nyert eredményeket, nyerjük a következő szabályt:
Az ismeretlen értéke tört alakjában állítható elő, melynek nevezője az egyenletrendszer determinánsa, számlálója pedig oly determináns, melyet az egyenletrendszer determinánsából úgy kapunk, hogy a kérdéses ismeretlen együtthatói helyébe a jobb oldalon álló ismeretes tagokat tesszük.
Ha

D

nem

0

, akkor

x, y, z, u

stb. ismeretleneknek bizonyos meghatározott értékük van, melyek mint a helyettesítés megmutatná, csakugyan megfelelnek az egyenletrendszernek. Ez a közönséges eset, midőn az egyenletrendszernek csak egy megoldása van.
Ha

D = 0

és a számlálók egyike nem

0

, ellenmondásba jutunk és egyenletrendszernek nincs megoldása; ha pedig a számlálók mindegyike

0

, akkor

\frac{0}{0}

alakra jutunk, tehát az egyenletrendszer határozatlan.
Lássuk most, hogy mi történik akkor, ha az egyenletrendszer homogén, vagyis ha

e_{1} = e_{2} = ... = 0

. Ilyenkor a

\begin{matrix} D x = D_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} D y = D_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

egyenletek mindegyikében:

D_{1} = D_{2} = ... = 0

, mert hiszen egy-egy oszlop minden egyes eleme

0

. Tehát

\begin{matrix} D x = 0, D y = 0 ... \end{matrix}

Ha az ismeretlenek mindegyike

0

, akkor ez az értékrendszer csakugyan kielégíti az egyenletrendszert, ha azonban az ismeretleneknek csak egyike is különbözik

0

-tól, akkor kell hogy

D = 0

legyen. Tehát:
Ha valamely homogén lineáris egyenletrendszernek nullától különböző megoldása van, akkor ennek szükséges feltétele, hogy az egyenletrendszer determinánsa egyenlő legyen

0

-val.
Az eddig tanultak alapján igen egyszerű megoldása adható a 978-ik feladatnak.
A Mollveide-féle tételek alapján ugyanis, ha valamely háromszög oldalai

a, b, c

és szögei

A, B, C

\begin{matrix} (b + c) : a = cos \frac{B - C}{2} : sin \frac{A}{2} . \end{matrix}

Innen pedig :

\begin{matrix} - a \cdot cos \frac{B - C}{2} + b \cdot sin \frac{A}{2} + c \cdot sin \frac{A}{2} = 0 \end{matrix}

és épp így

\begin{matrix} a \cdot sin \frac{B}{2} - b \cdot cos \frac{C - A}{2} + c \cdot sin \frac{B}{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} a \cdot sin \frac{C}{2} + b \cdot sin \frac{C}{2} - c \cdot cos \frac{A - B}{2} = 0. \end{matrix}

(1)

Másrészt ugyancsak a Mollveide-féle tétel értelmében:

\begin{matrix} (b - c) : a = sin \frac{B - C}{2} : cos \frac{A}{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a \cdot sin \frac{B - C}{2} - b \cdot cos \frac{A}{2} + c \cdot cos \frac{A}{2} = 0 \end{matrix}

és épp így

\begin{matrix} a \cdot cos \frac{B}{2} + b \cdot sin \frac{C - A}{2} - c \cdot cos \frac{B}{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} - a \cdot cos \frac{C}{2} + b \cdot cos \frac{C}{2} + c \cdot sin \frac{A - B}{2} = 0. \end{matrix}

(2)

Ha az (1) és (2) egyenletrendszerekben

a

-t,

b

-t és

c

-t ismeretleneknek tekintem, akkor oly két homogén lineáris egyenletrendszerem van, melyekben az ismeretleneknek van

0

-tól különböző megoldásuk, mivel egy háromszög oldalainak mérőszámai

0

-tól különbözők. Kell tehát, hogy az egyenletrendszerek determinánsai

0

-val egyenlők legyenek, tehát kell hogy legyen:

\begin{matrix} | \begin{matrix} - cos \frac{B - C}{2} & sin \frac{A}{2} & sin \frac{A}{2} \\ sin \frac{B}{2} & - cos \frac{C - A}{2} & sin \frac{B}{2} \\ sin \frac{C}{2} & sin \frac{C}{2} & - cos \frac{A - B}{2} \end{matrix} | = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} | \begin{matrix} sin \frac{B - C}{2} & - c o s \frac{A}{2} & cos \frac{A}{2} \\ cos \frac{B}{2} & sin \frac{C - A}{2} & - cos \frac{B}{2} \\ - cos \frac{C}{2} & cos \frac{C}{2} & sin \frac{A - B}{2} \end{matrix} | = 0 \end{matrix}