Kezdőlap


Cím:	A képzetes számokról 1.
Szerző(k):	Dr. Anderko Aurél
Füzet:	1902/február, 145 - 149. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} x^{2} = A \end{matrix}

(1)

egyenlet a valós számok körében megoldható, ha

A

nem negatív; ekkor az egyenlet megoldását az

\begin{matrix} x = \sqrt[]{A} \end{matrix}

(2)

alakban adhatjuk meg.
Ha

A

negativ, akkor két út áll előttünk: vagy azt mondjuk, hogy

A < O

esetében az

(1)

egyenletnek egyáltalában nincs megoldása, vagy olyan új számfogalmat építünk fel, melyben az

(1)

egyenletnek minden esetben van megoldása. Mi az utóbbi utat követjük és

\sqrt[]{A}

symbolum értelmét általánosítva, megállapodunk abban, hogy

\sqrt[]{A}

minden esetben

(A ⋚ 0)

oly számot jelentsen, melynek négyzetét számításainkban

A

-val helyettesíthetjük. Tehát

\begin{matrix} {(\sqrt[]{A})}^{2} = A . \end{matrix}

A

negatív

(A = - a)

, akkor

\sqrt[]{A}

-t tisztán képzetes vagy imaginárius számnak nevezzük.
Először is az a kérdés, mikor nevezünk két imaginárius számot egyenlőnek? Megállapodunk abban, hogy

(a ≧ 0, b ≧ 0)

\begin{matrix} \sqrt[]{- a} = \sqrt[]{- b}, \end{matrix}

\begin{matrix} a = b \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = \sqrt[]{b} . \end{matrix}

\sqrt[]{a}

-t és

\sqrt[]{b}

-t a

\sqrt[]{- a}

, illetőleg a

\sqrt[]{- b}

tisztán képzetes számok komponenseinek nevezzük, akkor mondhatjuk, hogy: "Két imaginárius számot egyenlőnek mondunk, ha komponenseik egyenlők." A legegyszerűbb imaginárius szám

\sqrt[]{- 1}

, melyet állandóan

i

-vel jelölünk és imaginárius egységnek nevezünk. Értelmezése az

\begin{matrix} i = \sqrt[]{- 1} \end{matrix}

vagy az

\begin{matrix} i^{2} = - 1 \end{matrix}

egyenletek segélyével történhetik.
Kényelmesnek és hasznosnak ígérkezik a képzetes számokkal való műveletek olynemű megállapítása, hogy a gyökmennyiségekkel való műveleti törvények érvényesek maradjanak akár positív, akár negatív a radikandus.
Megállapodunk tehát abban, hogy negatív radikandus esetében is:

\begin{matrix} a \sqrt[]{A} + b \sqrt[]{A} + ... + l \sqrt[]{A} = (a + b + ... + l) \sqrt[]{A} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \sqrt[]{A} \cdot \sqrt[]{B} \cdot \sqrt[]{C} ... \sqrt[]{L} = \sqrt[]{A \cdot B \cdot C ... L} \end{matrix}

legyen.
Most már kimutathatjuk, hogy:
"Minden imaginárius szám előállítható, mint a képzetes egység és komponensének (tehát egy valós szám) szorzata."
Ha ugyanis

a > 0

, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{- a} = \sqrt[]{- 1 \cdot a} = \sqrt[]{- 1} \cdot \sqrt[]{- a} = i \cdot \sqrt[]{a} . \end{matrix}

Minthogy :

\begin{matrix} i = \sqrt[]{- 1} és i^{2} = - 1, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} i^{3} = - i \end{matrix}

vagy általában

\begin{matrix} i^{4 n} = 1; \end{matrix}

i

-nek tehát van oly hatványa, mely a

+ 1

-gyel egyenlő, tehát jogosan nevezhető egységnek.
Végül megállapodunk abban is, hogy:

\begin{matrix} 0 \cdot i = 0, \end{matrix}

miáltal kimondhatjuk a következő szabályt:
"Képzetes számokkal a kijelölt műveleteket a közönséges algebrai szabály szerint végezzük el, de úgy, hogy folyton szem előtt tartjuk a képzetes egység különböző hatványainak értékét."
Ezek után áttérhetünk a komplex számok tárgyalására. Ha egy valós és egy imaginárius számot a plus vagy mínus jellel egymás mellé írunk, általános képzetes vagy komplex számot nyerünk. Általános alakja:

\begin{matrix} a + b i, \end{matrix}

a hol az

a

és

b

valós számokat a komplex szám komponenseinek nevezzük.
Itt is először avval a kérdéssel akarunk tisztába jönni, mikor mondjuk két komplex számról, hogy azok egyenlők.
Megállapodunk abban, hogy

\begin{matrix} a + b i = c + d i, \end{matrix}

\begin{matrix} a = c \end{matrix}

és

\begin{matrix} b = d . \end{matrix}

Vagyis: "Két komplex számot egyenlőnek mondunk, ha megfelelő komponenseik rendre egyenlők".
E megállapodásból rögtön következik, hogy:
"Valamely komplex szám nullával egyenlő, ha komponensei nullával egyenlők."
Ugyanis, ha

\begin{matrix} a + b i = 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a + b i = 0 + 0 \cdot i, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a = 0; \end{matrix}

A komplex számokkal való műveletekre a következő megállapodásokat tartjuk szem előtt.

\begin{matrix} (a + b i) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i \end{matrix}

II.

\begin{matrix} (a + b i) \cdot (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i \end{matrix}

III.

\begin{matrix} \frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) \cdot (c - d i)}{(c + d i) \cdot (c - d i)} = \frac{a c + b d + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i \end{matrix}

Mindezekből látható, hogy a komplex számok összeadásánál és szorzásánál stb. a valós számokra vonatkozó műveleti törvények szerint járunk el, figyelembe vesszük azonban, hogy

i^{2} = - 1, i^{3} = - i

stb.
Az is látható, hogy komplex számok összege, különbsége, szorzata és evvel együtt hatványa és hányadosa általában ismét komplex számok.
Kivételt csakis az u.n. konjugált komplex számok, mint pl.

a + b i

és

a - b i

képeznek, melyeknek összege és szorzata valós:

\begin{matrix} (a + b i) + (a - b i) = 2 a \end{matrix}

és

\begin{matrix} (a + b i) + (a - b i) = a^{2} + b^{2} . \end{matrix}

A komplex számok bevezetése után a másodfokú egyenlet minden esetben megoldható. Ha ugyanis az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}

egyenletben az együtthatók valós számok, akkor, ha a diskriminánsa

\begin{matrix} D = b^{2} - 4 a c < 0, \end{matrix}

úgy

\begin{matrix} - D > 0, \end{matrix}

tehát az egyenlet megoldása az

\begin{matrix} x = \frac{- b \pm i \sqrt[]{- D}}{2 a} = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt[]{- D}}{2 a} \cdot i \end{matrix}

alakban jelenik meg.

A képzetes számok geometriai előállítása.

Láttuk, hogy valamely képzetes szám egészen meg van határozva, ha komponenseit ismerjük. Másrészt pedig tudjuk, hogy a sík bármely pontja egészen meghatározott, ha ismerjük koordinátáit. Közelfekvő gondolat tehát, hogy valamely sík pontjait oly módon hozzuk vonatkozásba a képzetes számokkal, hogy minden

(a_{1} + a_{2} i

) számnak oly

A

pont feleljen meg, melynek koordinátái

a_{1}

és

a_{2}

és pedig úgy, hogy

a_{1}

legyen az

A

abscissája,

a_{2}

pedig az ordinátája.
Ha

a_{2} = 0

akkor az ilyen számoknak megfelelő pontok az abcissa tengelyen feküsznek, tehát
"A valós számok összesége az abscissa tengelyen ábrázolható."
Ha

a_{1} = 0

, akkor az ilyen számoknak megfelelő pontok abscissái nullával egyenlők, tehát az ordináta tengelyen feküsznek, vagyis:
"A tiszta képzetes számoknak megfelelő pontok az ordináta tengelyen feküsznek."
Az

O A

távolságot, vagyis a komplex szám távolságát a koordináták kezdőpontjától, az illető szám modulusának, azt a szöget pedig, melyet az

O A

az abscissa tengely positív irányával bezár, a szám argumentumának vagy azimutjának nevezzük. A modulus

r

mindig positív, az argumentumról

(φ)

pedig megjegyezzük, hogy

0

-tól

2 π

-ig

(360^{\circ})

változik.
Az

A = a_{1} + a_{2} i

complex szám komponensei, modulusa és argumentuma között a következő összefüggések állanak fenn:

\begin{matrix} a_{1} = r \cdot cos φ, a_{2} = r \cdot sin φ \end{matrix}

és

\begin{matrix} r = + \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}, tg φ = \frac{a_{2}}{a_{1}} . \end{matrix}

a_{1}

és

a_{2}

itt talált értékeit felhasználva, nyerjük az

A

komplex szám trigonometrikus alakját; t. i.

\begin{matrix} A = r (cos φ + i sin φ) \end{matrix}

vagy, mert

\begin{matrix} cos (φ + 2 k π) = cos φ \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin (φ + 2 k π) = sin φ \end{matrix}

egész általánosan:

\begin{matrix} A = r (cos (φ + 2 k π) + i sin (φ + 2 k π)) \end{matrix}

(a hol

k = 0, \pm 1;